精品解析：山东省青岛第五十八中学2024-2025学年高二下学期阶段性检测数学试题

2024—2025学年第二学期高二年级阶段性检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则y在上的平均变化率为（ ） A. 0.82 B. 8.2 C. 0.41 D. 4.1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率进行计算． 【详解】，，所以． 故选：B． 2. 四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，那么不同的涂法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】先确定底面的涂色种数，然后依次确定侧面、平面的涂色方法种数，对侧面与侧面的所涂颜色是否相同进行分类讨论，确定侧面的涂色方法种数，利用分步和分类计数原理可得结果. 【详解】如下图所示： 底面的涂色有种选择，侧面有种选择，侧面有2种选择. ①若侧面与侧面所涂颜色相同，则侧面有种选择； ②若侧面与侧面所涂颜色不同，则侧面有种选择，侧面有种选择. 综上所述，不同的涂法种数为种. 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义，把转化为，利用导数的四则运算求出，代入即可求解. 【详解】由可得，， ． 故选：C 4. 体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 16种 【答案】B 【解析】 【分析】首先在三个箱子中放入与编号相同的足球的个数，下面是一个分类计数问题，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；可以把球分成两份，这两份在三个位置排列，有种结果；可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果，相加得到结果. 【详解】首先在三个箱子中放入与编号相同的足球的个数，这样就剩三个足球了，这三个足球随便放置， 下面是一个分类计数问题， 第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果； 第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置排列，有种结果； 第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果， 综上可知共有种结果. 故选：B. 5. 已知定义在上的函数的导数为，且，若对任意恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0．x∈（0，+∞）．xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．可得函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调性，即可解出． 【详解】解：令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0，x∈（0，+∞）． ∵xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立． ∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增． 由lnx，可得，即 又 ∴g（x）＞0=g（e）， ∴x＞e． 即不等式lnx的解集为{x|x＞e}． 故选C． 【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6. 已知函数在处的切线与函数的图象相切，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数在处的切线方程，设直线与函数的图象相切于，再由斜率相等及在处的函数值相等联立求解. 【详解】由，得，则， 又， 函数在处切线方程为， 设直线与函数的图象相切于， 则，， 联立解得，. 故选：A 7. 已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，所以令，题意转化成有两个根，分和两种情况，当时，可转化成和有两个交点，通过导数画出的图象即可求解 【详解】， 令，显然该函数单调递增，，则有两个根， 当时，等式为，不符合题意； 故，等式转化为有两个根，即和有两个交点， 设，求导得， 故当和时，，单调递减； 时，，单调递增； 且当时，，， 故如图所示 由图可得，取值范围是 故选：D 8. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较的大小，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较的大小. 【详解】设， 恒成立，所以单调递增， 因为，所以，即， 所以， 设，，恒成立， 所以函数在上单调递增，， 即，所以， 综上可知，. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数比较实数大小，思路是观察3个实数，通过构造函数，判断单调性，再比较大小，本题的关键是，用表示，从而构造函数，问题就会迎刃而解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（ ） A. 选1人为负责人的选法种数为30 B. 每组选1名组长的选法种数为3024 C. 若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D. 若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用加法计数原理判断选项A；利用乘法计数原理判断选项B；利用乘法及加法计数原理判断选项C；利用间接法并结合乘法计数原理判断选项D. 【详解】对于A，选1人为负责人的选法种数：，故A正确； 对于B，每组选1名组长的选法：，故B正确； 对于C，2人需来自不同的小组的选法：，故C正确； 对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有种选择， 所以不同的选法有：，故D错误； 故选：ABC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，函数没有最值 C 对任意，函数恒有两个极值点 D. 对任意，过原点且与相切的直线恒有两条 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求函数的单调性、最值、极值，从而判断选项A，B，C；利用导数的几何意义求切线的方程，分析切线的斜率，从而判断选项D． 【详解】对于A选项，当时，，则，当时，恒有，因此在上单调递减，故A正确； 对于选项B，，令，可得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，故无最大值，又当时，，且，故有最小值，且最小值在处取得，故B错误； 对于选项C，由题可得，令，因为，所以，，即存在两个不同的根，所以恒有两个极值点，故C正确； 对于选项D，设切点为，则切线方程为，因为该切线过原点，所以，即，即，当时，方程有唯一解，即，所以当时，过原点且与相切的直线只有一条，故D错误． 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调性、最值，判断极值，求切线方程，解题的关键是正确求出导数，理解函数的单调性与导数的关系，清楚导数的几何意义. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 当时，的零点只有1个 C. 若函数有两个不同的零点，，则 D. 当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】采用分离变量法可得，利用导数可求得的单调性，进而得到最大值，从而得到，知A错误；根据恒成立可知单调递增，利用零点存在定理可说明存在唯一零点，知B正确；要得到，只需得到，可化简得到，从而将问题转化为证明，设，利用导数可说明，即可判断C正确；将恒成立的不等式变形为，根据单调递增可得，即，利用导数的知识即可判断D正确. 【详解】对于A，定义域为，由得：， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，则，A错误； 对于B，定义域为，， 当时，，在上单调递增， 又，， ，使得，当时，有且仅有一个零点，B正确； 对于C，，， ； 要证，只需证，即证， 不妨令，则只需证， 令，则， 令， 则， 在上单调递增，，， 即恒成立，，C正确； 对于D，当时，由得：， 即，； 令，则，在上单调递增， 由得：，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 即，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则在上的最大值为___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由导函数，由导函数确定极值点，结合区间端点处函数值可得最大值． 【详解】由题意，得，， 时，，递减，时，，递增， 所以，又16，， 所以最大值为16． 故答案为：16． 13. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【详解】设切点坐标为，由，得，所以切线方程为，将代入切线方程，得，， 在上递减，在上递增，极小值为，极大值为，有条切线，方程有三个不同的解， 与的图象有三个不同的交点， ，故答案为. 【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义以及方程的根与函数图像之间的关系，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 已知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.本题是根据(1)求出切线方程后，再方程的根与函数图象之间的关系求解. 14. 已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】分析 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解. 【详解】 ，所以 是奇函数， 又 ， 在R的范围内是增函数， 有解等价于 ， 有解， 令 ， 当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意； 当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数， ； 令 ，则 ，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数， 并且当 时， ， ， 当 时 ，即当 时， 满足题意， 所以a的取值范围是 ； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 用0，1，2，3，…，9这十个数字． （1）可组成多少个三位数？ （2）可组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 【答案】（1）900； （2）648； （3）379 【解析】 【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算出正确答案. （3）根据分类加法、分步乘法计数原理，分别分析1位数，两位数与三位数满足条件的数字计算出正确答案. 【小问1详解】 要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法； 第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法， 根据分步乘法计数原理，共有个. 【小问2详解】 要确定一个无重复数字三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法， 根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个． 【小问3详解】 作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类： 第一类，满足条件的一位自然数：有10个， 第二类，满足条件的两位自然数：有个， 第三类，满足条件的三位自然数： 第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法； 第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个， 所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）. 16. 已知：函数. （1）若，求的单调性； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用，求出的值，解不等式，即可求出的单调性；（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ，， ，，. 将代入得，令得或. 3 0 0 在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 方法1：在上是增函数， 在上恒成立， ， 当时，是增函数，其最小值为， .实数的取值范围是. 方法2：在上是增函数， 在上恒成立， ，. 实数的取值范围是. 17. 某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元. （1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的. 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由圆柱和球的体积的表达式, 得到和的关系. 再由圆柱和球的表面积公式建立关系 式, 将表达式中的用表示，并注意到写定义域时, 利用, 求出自变量的范围. （2）用导数的知识解决, 注意到定义域的限制, 在区间中, 极值末必存在, 将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论. 【小问1详解】 设该容器的体积为，则， 又，所以 因为，所以. 所以建造费用， 因此，. 【小问2详解】 由（1）得，. 由于，所以，令，得. 若，即，当时，，为减函数，当时，，为增函数，此时为函数的极小值点，也是最小值点. 若，即，当时，，为减函数，此时是的最小值点. 综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时. 18. 已知函数（）． （1）当，求f（x）的极值． （2）当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，） 【答案】（1）极小值为3；极大值为4ln7－3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断单调性，求出极值即可； （2）存在，使，转化为在区间上,即可求解. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，， ∴， 令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7， ∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7） ∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3； 【小问2详解】 ，令， 若，则， ∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减， ∴当时，f（x）在上单调递减， ∴f（x）在上的最大值为， ，令，得， 当时，，∴单调递减， 当时，，∴g（x）单调递增， ∴在上的最小值为， 由题意可知，解得， 又∵， ∴实数a的取值范围为[1，4）． 19. 已知函数. （1）若，求证：； （2）设，若函数有两个极值点，且，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可得，等价于，构建新函数，求导，利用导数证明不等式； （2）根据题意整理可得，求导，分类讨论利用导数判断原函数的单调性与极值，可得，若证，等价于，构建新函数，求导，利用导数证明不等式. 【小问1详解】 时，，即，等价于， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 故. 【小问2详解】 ， 则， 1.当，即时，上恒成立， 故函数在上单调递增，无极值点，不合题意，舍去； 2.当，即时，由，得， 且的定义域为，则有： ①当，即时，可知当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故只有一个极值点，不合题意，舍去； ②当，即时，可知当或时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点； 综上所述：当时，有两个极值点. 当时，则， 可得，则， 要证，即，等价于， ∵，即， 等价于， 构建， 则，当时恒成立， 故在上单调递增，则， 即，故. 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数h(x)． （3）利用导数研究h(x)的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期高二年级阶段性检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则y在上的平均变化率为（ ） A. 0.82 B. 8.2 C. 0.41 D. 4.1 2. 四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于年由毕业于伦敦大学格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，那么不同的涂法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 16种 5. 已知定义在上的函数的导数为，且，若对任意恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处的切线与函数的图象相切，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（ ） A. 选1人为负责人选法种数为30 B. 每组选1名组长的选法种数为3024 C. 若推选2人发言，这2人需来自不同小组，则不同的选法种数为335 D. 若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，函数没有最值 C 对任意，函数恒有两个极值点 D. 对任意，过原点且与相切的直线恒有两条 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 当时，的零点只有1个 C. 若函数有两个不同的零点，，则 D. 当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则在上的最大值为___________. 13. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是__________ 14. 已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 用0，1，2，3，…，9这十个数字． （1）可组成多少个三位数？ （2）可组成多少个无重复数字三位数？ （3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 16. 已知：函数. （1）若，求的单调性； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围. 17. 某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元. （1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的. 18. 已知函数（）． （1）当，求f（x）的极值． （2）当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，） 19. 已知函数. （1）若，求证：； （2）设，若函数有两个极值点，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$