山东高密市第一中学卓越部2025-2026学年高二5月检测数学试题

**基本信息** 融合文化传承与科技情境，以《莱因德纸草书》古题、AI答题活动等为载体，考查数列、概率、导数等知识，注重数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|等差数列性质、条件概率、函数单调性|第4题结合古数学文献，考查数列实际应用| |多选|3/18|正态分布、导数应用、统计尾概率|第11题引入“尾概率”概念，体现数学思维严谨性| |填空|3/15|数学期望、函数方程、抽卡概率|第14题设计抽卡游戏，考查概率与期望计算| |解答|5/77|导数极值、概率分布列、数列求和、独立性检验|第16题网络安全竞赛情境，第19题AI答题活动，综合考查数学建模与数据分析能力|

卓越高二5月检测数学试题参考答案 1、 B B A A D A D B 2、 AC ABD ACD 3、 3 ， 2 ， ； 四.15.解：（1）由f（x）＝eax+3x，得f'（x）＝aeax+3，若函数f（x）有极值点，则f'（x）＝0有解，即aeax+3＝0，因为eax＞0，所以a必须满足a＜0，由aeax＝﹣3，得， 两边取对数得，解得，因为极值点x＞0，且a＜0， 所以，即，解得a＜﹣3．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）； （2）由题意得g（x）＝ln（eax）+sinx＝ax+sinx，则g'（x）＝a+cosx， 因为g（x）在其定义域上不是单调函数，所以g'（x）在R上既有正值又有负值， 因为cosx∈[﹣1，1]，所以g'（x）∈[a﹣1，a+1]， 故需满足，解得﹣1＜a＜1，故实数a的取值范围为（﹣1，1）． 16.解：（1）根据题目：已知小明能正确回答A类问题的概率为p∈[0.3，0.7]， 能正确回答B类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． X＝0，10，30，60， 且P（X＝0）＝0.3×0.4＝0.12，P（X＝10）＝0.3×0.6＝0.18，P（X＝30）＝0.7×0.3＝0.21，P（X＝60）＝0.7×0.7＝0.49， 所以X的分布列为 X 0 10 30 60 P 0.12 0.18 0.21 0.49 （2）设累计得分为Y，则Y＝0，10，20，30， 且P（Y＝0）＝0.3（1﹣p），P（Y＝10）＝p（1﹣p）＝p﹣p2，P（Y＝20）＝p2，P（Y＝30）＝（1﹣p）×0.7＝0.7﹣0.7p， 所以累计得分的期望为E（Y）＝0×0.3（1﹣p）+10×p（1﹣p）+20p2+30×（0.7﹣0.7p） ＝10p2﹣11p+21＝10（p﹣0.55）2+17.975， 因为p∈[0.3，0.7]，|0.3﹣0.55|＝0.25＞0.15＝|0.7﹣0.55|， 所以当p＝0.3时，累计得分的期望最大为10（0.3﹣0.55）2+17.975＝18.6． 17.解：（1）由是公差为的等差数列，且， 所以，所以， 当时，，解得， 当时，由得，所以， 即，所以， 所以数列为常数列，所以，即， 当时，，所以； （2）由（1）得， 所以 ， 令①， 所以②， 由①②有：， 所以，所以. 18.解：（1）由题意可知：，，则， 可知在内单调递增，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为. （2）若，，可得， 原题意等价于在内恒成立，令，，则， 令，，则， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，可知在内单调递增， 则，可得，可知在内单调递增， 则，可得，所以实数k的取值范围为. （3）令，，则， 原题意等价于对任意，与在内有且仅有1个交点，则在内的值域为，且为单调函数， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知在内单调递增， 则在内恒成立， 可得，即在内恒成立， 因为，由（1）可知：当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 可得，即，所以实数m的取值范围为. 19.解：（1）因为，所以报名参加答题活动人数为100×＝45， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为， 报名参加答题活动的女生人数为45﹣30＝15， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50， 得到2×2列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为H0：学生报名参加答题活动与性别无关， 则 依据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为1，2，3，…，m， 其中p（ξ＝i）＝×（i＝1，2，3，…，m﹣1）， 所以E（ξ）＝+2×+...+（m﹣1）××+， 所以E（ξ）＝+2×...+（m﹣1）×+， 两式相减E（ξ）＝， 所以 ＝＝3﹣（m+3）×． ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得，， 当n≥3时，则， 因为，且， 所以数列{Pn+1﹣Pn}是首项为，公比为的等比数列， 故， 又目， 所以数列是各项均为1的常数列，则， 所以，解得． 当n为奇数时，，＜， 当n为偶数时，（﹣）n+1＜0，＞， 所以Pn的最大值在n为偶数时产生， 又当n为偶数时，随着n的增大而减小， 所以当n＝2时，Pn的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓越高二5月检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d≥0”是“{Sn}是递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 3．一个袋子中有3个红球和2个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件A＝“第一次抽到红球”，B＝“第二次抽到红球”，则概率P（B|A）是（　　） A． B． C． D． 4．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（　　） A． B． C． D． 5．已知，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a 6．将数列{2n﹣1}与数列{3n﹣2}的公共项从小到大排列得到新数列{an}，则＝（　 ） A． B． C． D． 7. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8．若函数f（x）＝x3+ax+b有且仅有两个零点，则a+b2的最小值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 二、多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分。 9．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件A＝“第1次抽到代数题”，B＝“第2次抽到几何题”，则（　　） A． B． C． D． 10．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，满足且f（1）＝0，则以下结论正确的是（　　） A． B．过原点且与f（x）相切的直线方程为 C．不等式的解集是（1，+∞） D．若k＜f（x）恰有两个整数解，则k的取值范围是 11．在质量检测中，常用“尾概率”来度量某项指标偏离期望值的可能性大小．某质检部门拟对n（n≥2）件产品逐件进行质量检测，假设每件产品检测达标的概率均为p（0＜p＜1），且各件产品检测结果互不影响，记n件产品中检测达标的件数为X，其相应的“尾概率”f（t）＝P（|X﹣np|≥t），t∈[0，max{np，n（1﹣p）}]，则下列结论正确的有（　　） A．若n＝2，，则 B．若，则f（t）≥2P（X≥np+t） C．若t≤min{np，n（1﹣p）}，则f（t）≥pn+（1﹣p）n D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某人工智能博览会有4个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X，则X的数学期望为　 　 ． 13．已知关于x，y的方程组恰有一组解（x0，y0），其中e为自然常数（e≈2.71828），则y0+m的值为 14. 甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1,2,3,4，5，6,7,8的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设a∈R，函数f（x）＝eax+3x（x∈R）． （1）若函数f（x）有大于零的极值点，求实数a的取值范围； （2）若函数g（x）＝ln（f（x）﹣3x）+sinx在其定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围． 16．（15分）某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为p∈[0.3，0.7]，能正确回答B类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若p＝0.6且小明先回答B类问题，记X为小明累计得分，求X的分布列； （2）若小明先回答A类问题，当p为何值时累计得分的期望最大？ 17．(15分） 已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前2n项和． 18. 已知函数． （1）设函数，求的最小值； （2）对任意，都有，求k的取值范围； （3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围． 19．近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（ArtificialIntelligence，简称AD）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A＝“学生报名参加答题活动”，B＝“学生为男生”，据统计P（A）＝，P（B|A）＝，P（A|B）＝． （1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置m（m≥3）道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为Pn（n∈N*），求Pn的最大值． 参考公式与数据：χ2＝，其中n＝a+b+c+d． α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1 学科网（北京）股份有限公司 $