专题讲义04：圆锥曲线填选压轴题（五大题型）-2025届高三数学二轮复习压轴题突破（上海专用）

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（填选压轴篇） 专题04 圆锥曲线填选压轴题 1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等． 2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养． 3、常见题型有：求圆锥曲线的离心率、焦点三角形的周长和面积、最值与范围问题、焦半径问题、三角形的四心问题、轨迹与方程等。 题型一：圆锥曲线的离心率 【例1】（23-24高三下·上海浦东新·二模）已知双曲线的焦点分别为、，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设，先利用余弦定理得，然后根据，两边同时平方得，再结合可得答案. 【详解】不妨设点在第一象限，设，又， 所以 ， 所以， 因为为的中点，所以，即， 所以 ， 所以，即，即 所以，则. 故答案为：.    【例2】（华师大第三附属中学2024-2025学年高三下第一次阶段测试）已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意利用直线与圆相切可得，，，再由余弦定理计算得出，利用椭圆的定义即可求出离心率. 【详解】椭圆，左焦点， 设右焦点为，连接，, 如下图所示： 由圆可知圆心，半径， 显然，， 过左焦点作直线与圆的相切于点， 可知， 因此可得，可得， 所以，， 即可得，, 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 又，即， 因此离心率. 故答案为：. 【例3】（南汇中学2024-2025高三下3月阶段测试）设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及已知有、、，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设及图知，且，， 所以，则， 所以，即，可得（负值舍）. 故答案为： 【例4】（2024·上海虹口·一模）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 【例5】（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的焦点分别为、，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设，先利用余弦定理得，然后根据，两边同时平方得，再结合可得答案. 【详解】不妨设点在第一象限，设，又， 所以 ， 所以， 因为为的中点，所以，即， 所以 ， 所以，即，即 所以，则. 故答案为：.    【例6】（上海交大附中2025届3月阶段性测试）已知反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线分别为轴和轴，且它们的夹角为，将该双曲线绕其中心（坐标原点）旋转可使其渐近线为直线和，由此可求得双曲线的离心率为.已知函数的图象也是双曲线，那么该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线得几何性质即可求解. 【详解】由，可得渐近线为直线与轴， 因为渐近线得斜率为，所以该渐近线得倾斜角为， 所以两条渐近线与轴得夹角为， 所以将双曲线的图象绕其中心旋转可使其渐近线变为直线， 所以， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为：. 【例7】（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）如图，椭圆的中心在原点，长轴在x轴上．以、为焦点的双曲线交椭圆于C、D、、四点，且．椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，双曲线的离心率的取值范围为______．    【答案】 【分析】由题意设，则可设，根据向量的共线求得点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率化简可得，求出的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案. 【详解】设，则设，(其中为双曲线的半焦距，为C.到轴的距离)， ，则，即， ， 即点坐标为， 设双曲线的方程为，将代入方程，得①， 将，E代入①式，整理得， 消去，得，所以， 由于.所以，故， 故答案为： 【例8】已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点为，则直线， 联立方程，消去y得：， 则可得， 则， 设线段的中点，则， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则， 注意到双曲线的离心率， ∴双曲线的离心率取值范围是. 故选：A. 【例9】设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】由以线段为直径的圆与椭圆在第二象限相交于点， 所以半径，即，且． 所以， 由于，令，则，则 ． 由于函数在上单调递减， 故在上单调递减， 故，即，满足，符合题意． 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为： 【例10】设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设为的中点，根据重心性质可得， 因为，则， 因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部， 故有，解得， 当直线斜率不存在时，的中点在轴上， 故三点不共线，不符合题意舍， 设直线斜率为，设， 所以，， 因为在双曲线上，所以， 两式相减可得：， 即， 即有成立， 即有，因为不共线， 即，即，即， 所以的离心率的取值范围为， 因为 ， 因为，即， 所以， 所以. 故选：C 【例11】已知、是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】设点，则，可得，且， ，， 所以，， 即，可得， 整理可得，即， 又因为，则，即，故，故， 故答案为：. 【例12】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理可得, 又由，即，即, 设点，可得， 则，解得， 由椭圆的几何性质可得，即， 整理得，解得或， 又由，所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 【例13】如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为（    ） A．6+ B． C． D． 【答案】C 【解析】连接AF2，BF2，则由对称性及AF1⊥BF1，得矩形 ， 故. 由，，得. 令，代入上式得 故. 设， 由，得t=2， 当1<t<2时， ，函数是减函数，t>2时，，函数是增函数， 故t=2时，函数取得最小值，故． 故选：C. 题型二：最值与范围问题 【例14】（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 【例15】已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，点为椭圆上的两点，且，为中点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆可得，，    所以，即，所以右焦点； 因为，所以， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程，代入椭圆的方程可得，解得， 设，， 则，解得， 这时的中点在轴上，且的横坐标为， 这时的最小值为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，则的中点，， 联立，整理可得：， △，即， 且，，所以，， 则， 可得，符合△， 可得的轨迹方程为，整理可得：，两式平方相加可得：， 即的轨迹方程为：，焦点在轴上的椭圆，所以，当为该椭圆的右顶点时，取等号， 综上所述：的最小值为， 故选：D． 【例16】已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】记，若直线与轴重合，此时，； 若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时， 当时，则，此时，；当，可得，则， 所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为； 当直线与轴不重合时，记，则点， 设直线的方程为，其中，设点、， 联立可得， 由题意可得，可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ，即， 所以，关于的方程由四个不等的实数解. 当时，即当时，可得， 可得，整理可得，因为，解得； 当时，即当，可得， 可得，整理可得，可得. 综上所述，. 故答案为：. 【例17】（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知点P是抛物线上的动点，Q是圆上的动点，则的最大值是______. 【答案】/ 【分析】过点作垂直准线，设，利用抛物线的定义、圆的几何性质可得，换元法求解最大值即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 圆的圆心为，半径， 过点作垂直准线，垂足为，由抛物线的定义可知，    设，则，， 所以， 令，则， 所以， 所以当即时，取到最大值， 所以的最大值为， 因此，，所以的最大值是. 故答案为：. 【例18】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先判断椭圆与双曲线共焦点，再由结合求解可得. 【详解】记椭圆，双曲线的半焦距分别为， 由题意知椭圆的，双曲线的，则椭圆与双曲线共焦点， 设，则， ，设，则，解得，即， 又，且，故的取值范围是. 故答案为： 【例19】已实数满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】确定动点的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得. 【详解】显然点在圆及内部，直线，直线， 由，得直线与圆相离，且， 由，解得或，即直线与圆交于点， ①当时，即点在直线与圆所围成的小弓形及内部， ， 目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系， 画出直线，平移直线分别到直线， 当过点时，取得最大值，最小， 当过点时，取得最小值，最大， 因此，，从而； ②当时，即点在直线与圆所围成的大弓形及内部（不含直线上的点）， ， 目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系， 画出直线，显直线，平移直线分别到直线，直线与圆分别相切于点， 当过点时，取得最大值，最小，因此， 当过点时，取得最小值，最大，因此， 从而， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值． 【例20】 已知正实数满足，，则当取得最小值时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】将转化为与两点间距离的平方，进而转化为与圆心的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可. 【详解】可将转化为与两点间距离的平方， 由，得， 而表示以为圆心，1为半径的圆，为圆上一点， 则与圆心的距离为：， 当且仅当，即时等号成立， 此时与圆心的距离最小，即与两点间距离的平方最小， 即取得最小值. 当时，， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆上的点到上的点的距离的最小值的求解问题，进而求解. 【例21】已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为实数，满足， 所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点）， 当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分， 当时，其图象不存在， 当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分， 作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下： 任意一点到直线的距离 所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍， 双曲线，其中一条渐近线与直线平行， 通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍， 设与其图像在第一象限相切于点， 由 因为或（舍去） 所以直线与直线的距离为 此时， 所以的取值范围是． 故选：B． 【例22】（2024·上海闵行·二模）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线.设共轭双曲线，的离心率分别为，，则的最大值是 . 【答案】 【分析】由，设，然后由辅助角公式化简即可求解. 【详解】由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为c， 则，所以， 又，故设， 所以， 当时，取得最大值. 故答案为： 【例23】（23-24高三下·上海·七宝模拟）已知曲线由抛物线及抛物线组成，若，，，是曲线上关于轴对称的两点，，，，四点不共线，其中点在第一象限，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】设抛物线的焦点为，则利用抛物线的定义得到，从而求出其最小值. 【详解】设抛物线的焦点为，则，所以，根据对称可知四边形为等腰梯形， 四边形周长 ， 当且仅当，，三点共线时，等号成立，又， 四边形周长的最小值为.    故答案为： 【例24】（2024·上海交大附中·模拟）已知是抛物线上的两个不同的点，且，若点为线段的中点，则到轴的距离的最小值为 ． 【答案】4 【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得. 【详解】抛物线的焦点，准线方程，令过点与抛物线交于两点的直线方程为， 由消去得，，设两个交点为， 则，， 于是，当且仅当时取等号， 令点的横坐标分别为，而， 则， 当且仅当三点共线时取等号， 所以到轴的距离的最小值为4. 故答案为：4 【例25】已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由双曲线方程得：，，则， 设内切圆与三边相切于点， ，，， ， 又，，， 设，则，解得：，即； 同理可知：内切圆与轴相切于点； 分别为的角平分线，， 又，∽，则， 设内切圆半径分别为， ，，即， ， 双曲线的渐近线斜率，直线的倾斜角， ，则， ，解得：， 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； ，. 故选：A. 题型三：轨迹与方程 命题结论真假辨析 【例26】（2024·上海静安·二模）我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，曲线上任意一点求得的最小值为，进而求得心吧面积的最大值. 【详解】解：由曲线方程， 由点“爱心线”上任意一点且点在轴的右侧， 所以点“爱心线”上任意一点的最小距离，一定出现在爱心线位于轴的右侧的点， 当时，可得， 设曲线上任意一点，且， 有， 因为的最小值为，所以的最小值为， 当时，心吧面积为的最小值为； 当时，心吧面积为的最大值为. 故答案为：. 【例27】 定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确是（ ）. A. 和均为真命题 B. 和均为假命题 C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程确定研究曲线的性质，判断命题的真假． 【详解】记， 易得，因此曲线关于轴，轴成轴对称，关于原点成中心对称， 从几何上讲，曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹， 由可得，因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象，这两个函数图象在轴上有公共点（方程的解相同）， 由得， 时，或， 所以曲线与轴无公共点，曲线是在轴两侧的两个曲线构成，是双轨道曲线， 当时，，结合对称性知，曲线是一个封闭曲线，是单轨道曲线， （实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可） 命题均正确， 故选：A． 【点睛】方法点睛：用方程确定曲线的性质，例如对称性，在曲线方程中用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，如果同时用替换，替换，方程不变，则说明曲线关于原点对称，同样如果互换后方程不变，曲线则关于直线对称等等，通过方程中变量的变化范围得出曲线点的坐标的变化范围，即曲线的范围，由变量变化的趋势得出曲线的变化趋势． 【例28】已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） 命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形； 命题②：集合表示的平面图形的面积不大于. A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据是奇函数，可以分析出当时，所以集合表示的平面图形是中心对称图形；结合集合代表的曲线及不等式的范围可以确定集合表示的平面图形，从而求得面积，与进行比较. 【详解】对于，集合关于原点中心对称，且函数是奇函数， 若则则， 即若则，即集合表示平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题； 对于， 由即知， 设，则与一一对应且随的增大而增大，， 又由知， 结合知在范围内，与一一对应且随的增大而减小， 所以在范围内，与一一对应且是关于的减函数， 由①可知图象关于原点中心对称，所以可得到在的图象，如图 代入点可得，所以的区域是右半部分， 面积为正方形面积的一半，即集合表示的平面图形的面积，故②是假命题. 故选：A. 【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围 第一步：得到等式对应的曲线； 第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式； 第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式所表示的区域. 【例29】双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段长度为，动点满足，那么的轨迹称为双纽线.已知曲线为双纽线，下列选项判断不正确的是（ ） A．曲线过点 B．曲线上的点的纵坐标的取值范围是 C．曲线关于轴对称 D．为曲线上的动点，的坐标为和，则面积的最大值为 【解析】对于A，将代入曲线方程，知方程成立，曲线过点，A正确； 对于B，（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号），即，，解得：，即曲线上的点的纵坐标的取值范围是，B正确； 对于C，设曲线上任一点为，则其关于轴对称的点为， ， 即点也在曲线上，曲线关于轴对称，C正确； 对于D，设，则， 为曲线上的点，，， 则当，即时，， 当时，设，则，解得：， 即曲线上存在点，使得，，D错误. 故选：D. 【例30】（2023普陀区二模）设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论： ①任意，中总有2个元素；②存在，使得． 其中正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①不成立，②成立 C ①成立，②不成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的圆心，证明当点在原点处时，点在点的轨迹圆外，即可得出结论. 【详解】曲线C:的焦点， 则， 由得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 的圆心， 当点在原点处时，，此时， 此时点的轨迹方程为， 因为，所以点在圆外， 则存在，使得两圆相离，即， 故①错误，②正确. 故选：B. 题型四：新定义问题 【例31】（2022杨浦区二模）定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一求出给定四个函数的曲径，比较后，可得答案． 【详解】当y＝f（x）＝sinx时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y， 故||＝sinx，当x时，||的最大值为1，即该函数的“曲径”为1， 当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2， 故||＝3x﹣2﹣x2，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为， 当y＝f（x）时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3， 故||＝﹣x+3，当x时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2， 当y＝f（x）＝x时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为yx， 故||＝xxx，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为， 故函数y＝x的曲径最小， 故选：D． 【点睛】本题以新定义﹣﹣函数的曲径为载体，考查了函数的图象，函数的最值，难度中档． 【例32】（2023·全国·高三专题练习）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，设， 因为点A、B分别在函数和的图象上， 所以， 当且仅当时等号成立. 设，，则， 令，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以， 即，所以的最小值为. 故选：A. 【例33】 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①②都假命题 D. ①②都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得. 【详解】椭圆是“自稳定曲线”. 设椭圆方程为，令，则，设， 由是的重心，知，直线过点， 当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 则当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 当时，，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与椭圆交于两点，且是的重心， 即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为重心， 综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题； 双曲线不是“自稳定曲线”. 由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设， 假设是的重心，则，直线过点， 当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此， ，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与双曲线不相交， 所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证. 题型五：圆锥曲线与向量、数列综合 【例34】已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，将，，依次顺时针排列，求=________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出，的表达式，根据等比数列求和公式以及数列极限的求解方法得到结果.． 【详解】因为，且顺时针排列，所以， 由题意得，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标不变. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标减小. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标减小. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标不变. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标增加. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标增加. 所以，因为，， 所以 ，， 所以. 所以 ，， 所以 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：需要分别找到横纵坐标的增减规律，然后结合等比数列和数列求极限从而求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（填选压轴篇） 专题04 圆锥曲线填选压轴题 1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等． 2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养． 3、常见题型有：求圆锥曲线的离心率、焦点三角形的周长和面积、最值与范围问题、焦半径问题、三角形的四心问题、轨迹与方程等。 题型一：圆锥曲线的离心率 【例1】（23-24高三下·上海浦东新·二模）已知双曲线的焦点分别为、，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为 . 【例2】（华师大第三附属中学2024-2025学年高三下第一次阶段测试）已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为___________． 【例3】（南汇中学2024-2025高三下3月阶段测试）设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________. 【例4】（2024·上海虹口·一模）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 【例5】（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的焦点分别为、，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为 . 【例6】（上海交大附中2025届3月阶段性测试）已知反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线分别为轴和轴，且它们的夹角为，将该双曲线绕其中心（坐标原点）旋转可使其渐近线为直线和，由此可求得双曲线的离心率为.已知函数的图象也是双曲线，那么该双曲线的离心率为__________. 【例7】（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）如图，椭圆的中心在原点，长轴在x轴上．以、为焦点的双曲线交椭圆于C、D、、四点，且．椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，双曲线的离心率的取值范围为______．    【例8】已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例9】设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为______． 【例10】设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例11】已知、是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【例12】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例13】如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为（    ） A．6+ B． C． D． 题型二：最值与范围问题 【例14】（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【例15】已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，点为椭圆上的两点，且，为中点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【例16】已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是 . 【例17】（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知点P是抛物线上的动点，Q是圆上的动点，则的最大值是______. 【例18】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是__________. 【例19】已实数满足，则的取值范围是________． 【例20】 已知正实数满足，，则当取得最小值时，__________． 【例21】已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例22】（2024·上海闵行·二模）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线.设共轭双曲线，的离心率分别为，，则的最大值是 . 【例23】（23-24高三下·上海·七宝模拟）已知曲线由抛物线及抛物线组成，若，，，是曲线上关于轴对称的两点，，，，四点不共线，其中点在第一象限，则四边形周长的最小值为 ． 【例24】（2024·上海交大附中·模拟）已知是抛物线上的两个不同的点，且，若点为线段的中点，则到轴的距离的最小值为 ． 【例25】已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：轨迹与方程 命题结论真假辨析 【例26】（2024·上海静安·二模）我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 ． 【例27】 定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确是（ ）. A. 和均为真命题 B. 和均为假命题 C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题 【例28】已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） 命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形； 命题②：集合表示的平面图形的面积不大于. A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【例29】双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段长度为，动点满足，那么的轨迹称为双纽线.已知曲线为双纽线，下列选项判断不正确的是（ ） A．曲线过点 B．曲线上的点的纵坐标的取值范围是 C．曲线关于轴对称 D．为曲线上的动点，的坐标为和，则面积的最大值为 【例30】（2023普陀区二模）设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论： ①任意，中总有2个元素；②存在，使得． 其中正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①不成立，②成立 C ①成立，②不成立 D. ①不成立，②不成立 题型四：新定义问题 【例31】（2022杨浦区二模）定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ ） A. B. C. D. 【例32】（2023·全国·高三专题练习）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例33】 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①②都假命题 D. ①②都是真命题 题型五：圆锥曲线与向量、数列综合 【例34】已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，将，，依次顺时针排列，求=________ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$