精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学新城学校2024-2025学年九年级下学期3月质量调研数学试题

东北师大附中新城学校九年级月质量调研数学试题 命题：王桂新 审题人：焦娜 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数加法法则，熟练法则是解决本题的关键．根据有理数加法法则求解即可． 【详解】据有理数加法法则：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 故选：D 2. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是（ ） A. ＞ B. ＜ C. D. ＝ 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 3. 若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的三视图，熟悉掌握三视图是解题的关键． 根据三视图的特征判断即可． 【详解】解：由三视图可得：三面都为矩形，因此该几何体是四棱柱， 故选：B． 4. 如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好标本遮盖的数学作业本的一个正n边形一部分．若直线所夹锐角为36°，则n的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形外角的相关知识，三角形内角和定理应用，正多边形每个外角都相等，外角和为，据此计算即可求解． 【详解】解：延长、交于点C，如图所示： 则， ∵、为正多边形的外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，、、、是上的四个点，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 连接，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到的度数，根据圆周角定理计算，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， 故选：B 6. 如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由锐角三角函数定义得，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 7. 综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作平行线的三种方案：①作同位角相等，得到平行线；②作垂直于同一条直线的两条直线，得到平行线；③作角的平分线与等腰三角形，得到平行线．图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ） A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 【详解】解：图2的依据是同位角相等，两直线平行；图3的依据是垂直于同一条直线的两条直线平行；图1的依据是角的平分线与等腰三角形，得到平行线． 故答案为：②③①． 故选：C． 8. 如图，正方形的顶点B在x轴上，点点C在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，求出点、点的坐标，根据正方形的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，则，根据反比例函数图象上点点C的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示， 在中，令，则， 令，则， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 轴，轴， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ，， ，， 点点C在反比例函数图象上， ， （不合题意舍去）， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 多项式是______次三项式． 【答案】三 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的次数，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的次数的定义即可解答． 【详解】解：多项式是三次三项式， 故答案为：三． 10. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，直接根据乘法公式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11. 一次函数y＝（k﹣1）x＋3中，函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是_____． 【答案】k＜1 【解析】 【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式k-1＜0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一次函数y=（k-1）x+3中，y随x的增大而减小， ∴k-1＜0， 解得k＜1； 故答案为：k＜1． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点与点O之间的距离为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线得到顶点坐标为，再由两点间距离公式即可解答． 本题考查了二次函数的性质，两点间距离公式，熟练掌握顶点坐标是解题的关键． 【详解】∵抛物线， ∴顶点坐标为， ∵O为坐标原点， ∴两点间的距离公式为， 将顶点与原点坐标代入，得． 故答案为：． 13. 如图，为半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，使点O的对应点恰好落在弧上，点为点B的对应点，连结．若，则阴影部分的面积为______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质和已知条件得出，，求出是等边三角形，根据直角三角形的判定和等边三角形的性质得出，，根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积的面积-扇形的面积求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵是直径，， ∴， ∵将半圆O绕点A逆时针旋转，使点O的对应点恰好落在弧上，点为点B的对应点， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵阴影部分的面积=扇形的面积的面积的面积-扇形的面积， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定，扇形面积的计算，旋转的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 14. 如图，点E为正方形对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连结．给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． ①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确； ③根据②的结论可得，所以，故③正确； ④根据②中，得出，则可得出，在中，根据勾股定理得出，得出，故④错误． 【详解】解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 又， 在和中，， ， ， 故①正确； ②∵矩形为正方形； ，， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中，， ， 故②正确； ③根据②得， ， ， 故③正确； ④根据②中， ， ， 在中，，， ， ， 故④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把的值代入计算即可得到答案，熟练掌握整式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，，原式． 16. 某博物馆一号展厅有两道门，参观者需先进第一道门，参观部分展台，再进第二道门参观另一部分展台．佳佳进入展厅参观时，先随机选择第一道门的一个门，再随机选择第二道门的一个门．用画树状图的方法或列表的方法，求佳佳全部参观完一号展厅所选择的两道门门号都是奇数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中所选择的两道门门号都是奇数的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： ； 共有6种等可能的结果，其中所选择的两道门门号都是奇数的结果有2种， ∴所选择的两道门门号都是奇数的概率为． 17. 分式方程应用题：近日，北京教育考试院发布了《北京市义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分准（试行）》，2024年中考中对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少 56秒，按照中考考核标准来看，这名女生能否能拿到满分？ 【答案】这名女生能拿到满分 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．设女生所用的时间为秒，则男生所用时间为秒，根据两人的平均速度相同，列出方程求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设女生所用的时间为秒，则男生所用时间为秒，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解； ∵分55秒秒，， ∴这名女生能拿到满分． 18. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线经过点C，且与边相交于点E，与的延长线交于点F． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，四边形的周长为52，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是关键． （1）证明，则，得到四边形是平行四边形，由垂直平分线的性质得到，即可得到结论； （2）求出，得到证明，则，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵，对角线的垂直平分线经过点C，且与边相交于点E，与的延长线交于点F． ∴，，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ∵四边形的周长为52，四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画的图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中在边上找到格点D，连结，使． （2）在图②中的的内部找到一个格点E，连结，使与图①中的相等． （3）在图③中的的外部找到一个格点F，连结，使与图①中的相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1）根据网格的特点作图即可； （2）构造全等三角形即可； （3）构造全等三角形即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 如图，即为所求， 【小问3详解】 如图，即为所求， 20. 某校进行了初三的体育进行模拟测试，现从班和班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的模拟成绩（满分50），并对成绩进行了收集、整理、分析（其中成绩大于等于40的视为优秀）． 【收集数据】班10名学生体测成绩：9，20，50，30，40，30，40，46，40，35 班10名学生体测成绩：12，45，20，44，34，43，34，36，37，35 【整理数据】 班级 班 1 0 1 3 5 班 0 1 1 5 3 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 优秀率 班 34 40 班 a 35.5 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由； （3）班有学生46人，班有学生50人．估计这两个班被评为优秀的总人数是多少？ 【答案】（1） （2）班成绩比较好 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，优秀率，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平均数，中位数和众数的定义进行求解即可； （2）根据平均数，中位数和优秀率的意义进行解答即可； （3）分别用A、B两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在分及以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：班名学生竞赛成绩的平均数 ； 班名学生竞赛成绩中，出现了两次，次数最多，所以众数； 班名学生竞赛成绩从低到高排列为：，故中位数； 故答案为:； 【小问2详解】 班成绩比较好，理由如下： 、 两个班的平均数相同，而A班中位数、众数以及优秀率均高于班，所以A班成绩比较好； 【小问3详解】 (人)， 答：估计这两个班被评为优秀的总人数是人. 21. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． （1）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，该模式下烤制的食物能否健康食用？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：能，理由如下； 设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系为． 由题意，得解得 所以该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系式为． 当时， 令，则． 解得． 当时， 令，则． 解得． ∵， ∴该模式下烤制的食物能健康食用． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用待定系数法解答，求出下降期间y与x之间的函数关系式，分别求出时，上升期间与下降期间x对应的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系为， 由题意，得， 解得， ∴该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 略 22. （1）【问题原型】如图①，在中，，平分交边于点D，则______ （2）【提出问题】如图②，点E是图①中边上的点（不与点A重合），连接，以为直角边，向左侧作，，边与边交于点G，连接．判断与的位置关系，并加以证明． 【解决问题】小明利用所学知识，给出了如下不完整的证明过程． ．理由如下： ，平分， ． ， ． ， ． ， ， …… 根据小明的解答思路，将过程补充完整． （3）【结论应用】 ①在图②中，连结，则的最小值为______． ②在图②中，当四边形是轴对称图形时，则四边形的周长为______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用锐角三角函数即可求解； （2）证得，可得，结合对顶角相等，证得，即可推得，即； （3）①根据含角的直角三角形的性质进行解答即可； ②当四边形是轴对称图形时，分类讨论：①设与关于对称，对称轴为时，即垂直平分，可得，利用求出，求出，即可求解四边形的周长；②设四边形关于直线或关于直线对称，证得四边形是矩形，即可得，利用勾股定理求出，即可求解四边形的周长；③当时，四边形非轴对称图形． 【详解】解：（1）平分， ， ， ． （2）．理由如下： ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）①连结，当时，取得最小值， ∵， ∴ 即的最小值为． 故答案为： ②四边形是轴对称图形， 如图，设与关于对称，对称轴为时： 垂直平分， 由（1）得， ， 在中，， ， 在中，， ， 四边形的周长； ②如图，设四边形关于直线或关于直线对称， 由（2）得，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， 四边形的周长为； ③如图，当时，四边形非轴对称图形： 综上所述，当四边形是轴对称图形时，则四边形的周长为或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键． 23. 如图①，在中（顶点、、、按逆时针方向排列），为锐角，且．点在边上，连结，将绕点P按逆时针方向旋转得到． （1）的长为______． （2）当时，求的长． （3）当点落在射线上时，求的长． （4）连结、，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的比值关系及勾股定理求解即可； （2）利用三角函数的比值关系求解即可； （3）过点作于点，由（1）得，过点作交的延长线于点，证出，设，则，，，证出，再利用相似三角形的比值关系运算求解即可； （4）分类讨论直角的可能性，利用相似三角形的比值关系列式运算即可． 【小问1详解】 解：当时，如图所示： 则， ， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时，如图所示： ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：过点作于点，由（1）得，过点作交的延长线于点，则，如图所示： ∴， ∵， ∴， 由旋转可得：， ∴， 设，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：由旋转得：，，， ∵， ∴， ①：当以为直角顶点时，如图所示： ∵， ∴点落在线段的延长线上， ∵， ∴， 由（1）可得： ； ②：当以为直角顶点时，设与射线的交点为，过点作于点， 如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∴； ③当以为直角时，点落在的延长线上，不符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题为几何综合题，涉及到了平行四边的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其顶点的横坐标为2．点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，连结，将线段绕着点Q逆时针旋转得到，以为邻边构造矩形． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点Q、点A重合时，求值． （3）当，且矩形的面积x轴分为两部分时，求m的值． （4）当点A在矩形外部，且此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，或者y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点，当点Q、点A重合时，，则，即，则，故，由即可求解； （3）过点作轴平行线交于点，过点P作于点T，可得，则，求出，则，得到x轴上或下的部分面积与正方形面积比为，①当与x轴重合时，符合题意，如图，则解得：（舍负）；②过点作轴平行线交于点，过点P作于点T，同上当与与x轴重合时，符合题意，如图，此时关于点K对称，则，解得：或（舍）； （4）分类讨论，画出临界状态进行分析即可． 【小问1详解】 解：由题意得，将A代入得：， ∵顶点的横坐标为2， ∴， ∴， ∴解析式为：； 【小问2详解】 解：过点作轴于点， 当点Q、点A重合时，， ∴，即 ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作轴平行线交于点，过点P作于点T， 由旋转得，而矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵矩形的面积x轴分为两部分， ∴x轴或下的部分面积与正方形面积比为， ∴①当与x轴重合时，符合题意，如图： ∴ 解得：（舍负）； ②过点作轴平行线交于点，过点P作于点T，同上当与与x轴重合时，符合题意，如图： ∵同上可得点K为中点，点K在轴上， ∴此时关于点K对称， ∴ ∴， 解得：或（舍）， 综上：或； 【小问4详解】 解：当P与A重合时，此时A在矩形上，如图： ∴，此时，而可求抛物线顶点为， ∴此时Q与抛物线顶点重合，此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小； 当且在增大时，在减小，点逐渐靠拢，如图，此时符合题意： 当点重合时，则，解得：，矩形不存在； ∴； 当时，此时抛物线在矩形的内部无图像，不符合题意，如图： 当点N恰好落在抛物线上时，过点P作x轴的平行线，过点Q，N作平行线的垂线，垂足为X，Y， ∴， ∵， ∴， ∴∴， 将代入得： 解得：或（舍）， 当时，如图，符合题意； 当点Q与点A重合时，，解得，此时A在矩形上， ∴； 当时，如图，符合题意： 综上：当点A在矩形外部，且此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，或者y随x的增大而增大时，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质等知识点，难度很大，解题的关键在于画图，分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中新城学校九年级月质量调研数学试题 命题：王桂新 审题人：焦娜 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是（ ） A. ＞ B. ＜ C. D. ＝ 3. 若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 4. 如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好标本遮盖的数学作业本的一个正n边形一部分．若直线所夹锐角为36°，则n的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 5. 如图，、、、是上的四个点，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为（    ） A. B. C. D. 7. 综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作平行线的三种方案：①作同位角相等，得到平行线；②作垂直于同一条直线的两条直线，得到平行线；③作角的平分线与等腰三角形，得到平行线．图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ） A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③ 8. 如图，正方形的顶点B在x轴上，点点C在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 多项式是______次三项式． 10. 计算：__________． 11. 一次函数y＝（k﹣1）x＋3中，函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是_____． 12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点与点O之间的距离为______ 13. 如图，为半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，使点O的对应点恰好落在弧上，点为点B的对应点，连结．若，则阴影部分的面积为______（结果保留） 14. 如图，点E为正方形对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连结．给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 某博物馆一号展厅有两道门，参观者需先进第一道门，参观部分展台，再进第二道门参观另一部分展台．佳佳进入展厅参观时，先随机选择第一道门的一个门，再随机选择第二道门的一个门．用画树状图的方法或列表的方法，求佳佳全部参观完一号展厅所选择的两道门门号都是奇数的概率． 17. 分式方程应用题：近日，北京教育考试院发布了《北京市义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分准（试行）》，2024年中考中对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少 56秒，按照中考考核标准来看，这名女生能否能拿到满分？ 18. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线经过点C，且与边相交于点E，与的延长线交于点F． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，四边形的周长为52，则的长为______． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画的图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中在边上找到格点D，连结，使． （2）在图②中的的内部找到一个格点E，连结，使与图①中的相等． （3）在图③中的的外部找到一个格点F，连结，使与图①中的相等． 20. 某校进行了初三的体育进行模拟测试，现从班和班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的模拟成绩（满分50），并对成绩进行了收集、整理、分析（其中成绩大于等于40的视为优秀）． 【收集数据】班10名学生体测成绩：9，20，50，30，40，30，40，46，40，35 班10名学生体测成绩：12，45，20，44，34，43，34，36，37，35 【整理数据】 班级 班 1 0 1 3 5 班 0 1 1 5 3 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 优秀率 班 34 40 班 a 35.5 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由； （3）班有学生46人，班有学生50人．估计这两个班被评为优秀的总人数是多少？ 21. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． （1）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，该模式下烤制的食物能否健康食用？并说明理由． 22. （1）【问题原型】如图①，在中，，平分交边于点D，则______ （2）【提出问题】如图②，点E是图①中边上的点（不与点A重合），连接，以为直角边，向左侧作，，边与边交于点G，连接．判断与的位置关系，并加以证明． 【解决问题】小明利用所学知识，给出了如下不完整的证明过程． ．理由如下： ，平分， ． ， ． ， ． ， ， …… 根据小明的解答思路，将过程补充完整． （3）【结论应用】 ①在图②中，连结，则的最小值为______． ②在图②中，当四边形是轴对称图形时，则四边形的周长为______． 23. 如图①，在中（顶点、、、按逆时针方向排列），为锐角，且．点在边上，连结，将绕点P按逆时针方向旋转得到． （1）的长为______． （2）当时，求的长． （3）当点落在射线上时，求的长． （4）连结、，当是直角三角形时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其顶点的横坐标为2．点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，连结，将线段绕着点Q逆时针旋转得到，以为邻边构造矩形． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点Q、点A重合时，求值． （3）当，且矩形的面积x轴分为两部分时，求m的值． （4）当点A在矩形外部，且此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，或者y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $