精品解析：青海省海东市互助县第二片区2024-2025学年八年级下学期学习评价数学试卷（1）

八年级第二学期学习评价 数学（1） 满分：120分 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，正确理解定义是关键．根据二次根式的定义，即可作出判断． 【详解】解：A、无意义，不是二次根式，故选项错误； B、当时，无意义，不是二次根式，故选项错误； C、是二次根式，故选项正确； D、不是二次根式，故选项错误． 故选：C． 2. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 7，8，10 C. 3，4，5 D. 1，1，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键．先计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于，则是直角三角形，否则就不能围成直角三角形． 【详解】解：A、，故不能围成直角三角形，此选项错误； B、，故不能围成直角三角形，此选项错误； C、，能围成直角三角形，此选项正确； D、，故不能围成直角三角形，此选项错误． 故选：C． 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义，分别判断出即可． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ． ，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ． ，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，同类二次根式才可以合并，熟记定义并应用是解本题的关键．先化简各项，再根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、，不能与合并，故本选项不符合题意； 、，不能与合并，故本选项不符合题意； 、，能与合并，故本选项符合题意； 、不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：． 5. 在中，，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及勾股定理，根据三角形的内角和定理得出，再根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴为斜边， ∴， 故选：A 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质，根据二次根式的乘除法以及性质一一计算即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 7. 当时，化简二次根式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断 再利用进行化简即可. 【详解】解： 故选D 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，根据隐含条件判断是解本题的关键，易错点的是化简过程中出现二次根式没有意义的情况. 8. 如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 225 B. 250 C. 275 D. 300 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3， ∴设，则， 根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，，， ∴图①中正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：，故D正确． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二．填空题．（每题3分，共24分） 9. －的倒数是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查倒数的概念及二次根式的运算，属于基础题，熟练掌握其概念是解决本题的关键． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 下列三组数中：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③4，5，6．其中是勾股数的是________．（填序号） 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查勾股数．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义逐一进行判断即可． 【详解】解：①0.6，0.8，不是正整数，故0.6，0.8，1不是勾股数； ②，故5，12，13是勾股数； ③，4，5，6不是勾股数； 综上：是勾股数的是：②； 故答案为：②． 12. 若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是__． 【答案】100或28##28或100 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．分两种情况：当两直角边的长分别为6和8时，当斜边长为，一条直角边长为时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为6和8， ∴当两直角边的长分别为6和8时，第三边的平方是， 当斜边长为，一条直角边长为时，第三边的平方是， 故答案为：100或28． 13. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，由二次根式有意义的条件求出的值x和y，再代入二次根式计算即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，， 解得：， 则， 解得：， ∴， 故答案为： 14. 若，，则用含a，b的式子表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是______． 【答案】北偏西60° 【解析】 【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案． 【详解】解：甲的路程：， 乙的路程：， ， 甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系， 甲客轮沿着北偏东， 乙客轮的航行方向是北偏西60°， 故答案为：北偏西60°． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、方位角，解题的关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 16. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为25． 三．解答题．（本大题9个小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，二次根式的乘法，算术平方根．先根据平方差公式，二次根式的乘法，算术平方根计算，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 已知是的边上的高，若，，，求的长． 【答案】的长为2或2 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．分两种情况：①当是锐角或直角三角形，如图1，②当是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算和即可． 【详解】解：分两种情况： 当是锐角或直角三角形，如图1， ， ， ，， ， ， ， ， ； 当是钝角三角形，如图2， 同理得：，， ． 综上所述，的长为或． 19. 如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点D落在对角线处，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．根据长方形的性质可得，，，在中，运用勾股定理求得．设，由折叠可得，，，从而，，在中，运用勾股定理构造方程即可求解． 【详解】解：因为四边形是长方形， 所以， 所以 由折叠的性质得：，， ， 所以， 设，则， 在中， ，即， 解得：，即． 20. 综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： （1）试比较与的大小； （2）试比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图为甲工厂生产的某零件结构简化示意图．在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D，E，．根据安全标准，该零件需满足． （1）请判断该零件是否符合标准，并说明理由： （2）若测量出，求的长． 【答案】（1）该零件符合安全标准 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，线段垂直平分线的性质，灵活应用勾股定理及逆定理是解决问题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件得到，根据勾股定理的逆定理即可证得结论； （2）在中，根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 解：该零件符合安全标准，理由如下： 连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴该零件符合安全标准； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 解得：． 22. 数学社团小组同学在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 2 3 4 5 … … 4 6 8 10 … … （1）请你分别观察，，与之间的关系，并用含自然数的代数式表示：_____，_____，_____． （2）猜想：以，，为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想． 【答案】（1），， （2） 解：以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ， ∴， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了数字规律及勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是减1，加1，而为的两倍，即可得出答案． （2）利用完全平方公式计算出的值，以及的值，再利用勾股定理逆定理即可求出． 【小问1详解】 解：由图表可以得出： ∵时，， 时，， 时，， …， ∴． 【小问2详解】 略 23. 定义：若两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于4的共轭二次根式，则_____． （2）若与是关于2的共轭二次根式，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵a与是关于4的共轭二次根式， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 24. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）； （2）写出根分式中的取值范围______； （3）已知两个根分式，．若，求的值； 【答案】（1）③ （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据根分式的定义可得答案； （2）由二次根式与分式有意义的条件可得答案； （3）根据列分式方程，再解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：①的分子不是二次根式，不是根分式， ②的分母不是整式，不是根分式， ③是根分式， 故答案为：③ 【小问2详解】 由题意得：且， 解得：且， 故x的取值范围是：且； 故答案为：且； 【小问3详解】 当，时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解； 【点睛】本题考查的是根分式的含义，二次根式有意义的条件，分式方程的解法，理解题意，根据新定义的含义作答是解本题的关键． 25. 已知：是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点在线段上，且．为中点， ①线段　 　； ②猜想：连接，则与的位置关系为　 　；，，三者之间的数量关系为　 　； （2）如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论是否仍然成立，请你利用图②给出证明过程． 【答案】（1）①1；②；（2）结论仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得，再根据中点的性质即可求出PB的长度；②连接，通过证明，可得 从而得到，即，得证为直角三角形，再根据勾股定理可得 ； （2）过点作，垂足为．连接，根据等腰直角三角形的性质可得 即可证明 ，可得 从而可得，即 ，故为直角三角形，再根据勾股定理即可得证.． 【详解】解：（1）①，，为中点， ，， 故答案为：1 ②连接， 和均为等腰直角三角形， ，即， 为直角三角形． 故答案为：； （2）结论仍然成立， 理由如下：如图②：过点作，垂足为．连接， 和均为等腰直角三角形， ，即， 为直角三角形． . 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的相关问题，掌握勾股定理、全等三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第二学期学习评价 数学（1） 满分：120分 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 7，8，10 C. 3，4，5 D. 1，1，2 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 当时，化简二次根式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 225 B. 250 C. 275 D. 300 二．填空题．（每题3分，共24分） 9. －的倒数是________________． 10. 计算：______． 11. 下列三组数中：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③4，5，6．其中是勾股数的是________．（填序号） 12. 若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是__． 13. 已知，则的值为________． 14. 若，，则用含a，b的式子表示为________． 15. 如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是______． 16. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 三．解答题．（本大题9个小题，共72分） 17. 计算：． 18. 已知是的边上的高，若，，，求的长． 19. 如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点D落在对角线处，若，，求的长． 20. 综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： （1）试比较与的大小； （2）试比较与的大小． 21. 如图为甲工厂生产的某零件结构简化示意图．在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D，E，．根据安全标准，该零件需满足． （1）请判断该零件是否符合标准，并说明理由： （2）若测量出，求的长． 22. 数学社团小组同学在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 2 3 4 5 … … 4 6 8 10 … … （1）请你分别观察，，与之间的关系，并用含自然数的代数式表示：_____，_____，_____． （2）猜想：以，，为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想． 23. 定义：若两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于4的共轭二次根式，则_____． （2）若与是关于2的共轭二次根式，求的值． 24. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）； （2）写出根分式中的取值范围______； （3）已知两个根分式，．若，求的值； 25. 已知：是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点在线段上，且．为中点， ①线段　 　； ②猜想：连接，则与的位置关系为　 　；，，三者之间的数量关系为　 　； （2）如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论是否仍然成立，请你利用图②给出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $