精品解析：安徽省芜湖市无为市部分学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级数学 下册第十六～十七章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组数据中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 1，2， D. 3，4，5 3. 若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 5 D. 3 4. 计算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2025 D. 4050 7. 如图，已知钓竿长为5m，露在水面上的鱼线的长为，某钓鱼人想看看鱼钩上的情况，把钓竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长为，则的长为（ ） A 1m B. 2m C. 3m D. 4m 8. 如图，在平面直角坐标系中，两点分别位于坐标轴上，且，若，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中有两个相邻的直角三角形，恰好能拼成如图2所示的四边形．已知，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 10. 我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 12. 写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________________． 13. 如图，将弹性皮筋拉直放置在一数轴上，固定两端点和，然后把中点竖直向上拉升至点．已知，，则弹性皮筋被拉长了______． 14. 如图，在四边形中，，，． （1）的度数是______． （2）连接，则的长为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在四边形中，，为对角线．已知，，，．求证：是直角三角形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在一个边长为的正方形木板的内部挖去一个长为、宽为的长方形，求剩余部分木板的面积． 18. 如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以20海里／时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若B，C两岛相距50海里，求乙船的航行速度． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）化简：______； （2）写出第个等式（用含式子表示）； （3）若，求值． 20. 一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 六、（本题满分12分） 21. 【初步感知】 （1）已知，求的值． 【拓展应用】 对于这样的式子，我们可以利用“配方法”进行因式分解： ． （2）请解答：已知，求的值． 七、（本题满分12分） 22. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． （1）如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． （2）如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，中，，点D在边上，点F在射线上，连接，，作，交射线于点E，连接． （1）求证：． （2）如图2，当，时． ①若，求的长； ②若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学 下册第十六～十七章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的识别，涉及最简二次根式判定方法：①被开方数不含能开得尽的因式或因数；②被开方数不含分母，从这两个方面逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 下列四组数据中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 1，2， D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股数定义进行分析即可． 此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A．，因此不是勾股数，故此选项不符合题意； B．，因此不是勾股数，故此选项不合题意； C．，不是整数，因此不是勾股数，故此选项不符合题意； D．，因此是勾股数，故此选项合题意； 故选：D． 3. 若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可知，且，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：若代数式在实数范围内有意义，则有，且， A.当时，，故本选项不符合题意； B. 当时，，故本选项符合题意； C. 当时，，故本选项不符合题意； D. 当时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 计算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算、无理数估算大小等知识，熟练掌握二次根式运算法则是解题关键．首先计算，然后估算的大小，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，即的值在3和4之间． 故选：C． 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质，先分别算出的三边的长度，再运用勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：C 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2025 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得，则，代入求值即可． 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 【详解】解：由题意，得， 解得． ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，已知钓竿的长为5m，露在水面上的鱼线的长为，某钓鱼人想看看鱼钩上的情况，把钓竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长为，则的长为（ ） A 1m B. 2m C. 3m D. 4m 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理分别求出和的长，再根据即可得出答案． 本题考查了勾股定理，解题关键是根据已知条件求出和的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，两点分别位于坐标轴上，且，若，，则点的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质、勾股定理等知识，先由全等三角形的性质得到，，再由勾股定理求出，结合点在第四象限，即可得到答案．熟记全等三角形的性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， 则由勾股定理可得， 点在第四象限， ， 故选：D． 9. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中有两个相邻的直角三角形，恰好能拼成如图2所示的四边形．已知，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，是直角三角形，可以求得的值，再根据勾股定理可以求得的值．本题考查勾股定理、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 【详解】解：解：∵，，是直角三角形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 故选：D． 10. 我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意，数形结合，根据勾股定理得到另一条直角边为，从而得到小正方形的边长，最后由正方形面积公式求解即可得到答案，熟记勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12， 由勾股定理可知，另一条直角边为， 小正方形的边长为，则小正方形的面积是， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，把被开方数相乘，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 12. 写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________________． 【答案】两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】考查了命题与与逆命题，熟练掌握知识点是解题关键． 交换原命题的特设与结论即可写出逆命题． 【详解】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：两直线平行，内错角相等， 故答案为：两直线平行，内错角相等． 13. 如图，将弹性皮筋拉直放置在一数轴上，固定两端点和，然后把中点竖直向上拉升至点．已知，，则弹性皮筋被拉长了______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，理解题意是解题关键．由题意可知，垂直平分，利用勾股定理得到，从而得出弹性皮筋拉伸之后的长度为，即可求解． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ，，， ， ，即弹性皮筋拉伸之后的长度为， 弹性皮筋被拉长了， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，，． （1）的度数是______． （2）连接，则的长为______． 【答案】 ①. ##105度 ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，结合等腰三角形性质得到，证明为等边三角形，得到，最后根据求解，即可解题； （2）连接，交于点，证明，结合全等三角形性质，等腰三角形性质，以及勾股定理求出，，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：（1），， ，， ， ，即为等边三角形， ， ， 故答案为：． （2）连接，交于点， ，，， ， ，， ，，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式化简计算即可．本题考查了二次根式的化简． 【详解】解：原式． 16. 如图，在四边形中，，为对角线．已知，，，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理求出，再根据，得出是直角三角形即可． 【详解】证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在一个边长为的正方形木板的内部挖去一个长为、宽为的长方形，求剩余部分木板的面积． 【答案】剩余部分木板的面积为． 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算解应用题，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，根据题意，由正方形面积与长方形面积作差可得剩余部分木板的面积，运用平方差公式、完全平方公式先展开，再由二次根式加减运算求解即可得到答案，熟记平方差公式、完全平方公式是解决问题的关键． 【详解】解： ， 答：剩余部分木板的面积为． 18. 如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以20海里／时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若B，C两岛相距50海里，求乙船的航行速度． 【答案】乙船的航行速度是15海里／时． 【解析】 【分析】本题考查了方位角，勾股定理，解题的关键是得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵甲船沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行， ∴． 在中，（海里），海里， ∴（海里）， ∴乙船的航行速度是（海里／时）． 答：乙船的航行速度是15海里／时． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）化简：______； （2）写出第个等式（用含的式子表示）； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查找规律，根据题中所给的等式的结构特征，找准规律，按照题中问题，运用规律求解即可得到答案． （1）根据所给的等式即可得到答案； （2）由题中所给的等式，观察特征，即可归纳出规律； （3）根据规律，将等式中的各部分恒等变形即可得到，由算术平方根定义解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：观察： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… ， 故答案为：； 小问2详解】 解：观察： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第个等式：； 【小问3详解】 解：由规律：可知， ， ， ， …… ， ， ， 即， ，则，解得． 20. 一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）12米；（2）7米 【解析】 【分析】（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解； （2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解． 【详解】解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米， 在Rt，由勾股定理得： AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144， 解得AO=12米， 答：这个梯子的顶端距地面有12米高； （2）由题意得，AC=7米， 由（1）得AO=12米， ∴CO=AO-AC=12-7=5米， 在Rt，由勾股定理得： OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144， 解得OD=12米 ∴BD=OD-OB=12-5=7米， 答：梯子的底端在水平方向滑动了7米． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 【初步感知】 （1）已知，求的值． 【拓展应用】 对于这样的式子，我们可以利用“配方法”进行因式分解： ． （2）请解答：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、运用完全平方公式变形求值等知识，正确理解题意，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）首先根据完全平方公式可得，进而可得，进一步求解即可获得答案； （2）首先根据完全平方公式可得，进而可得，然后根据“配方法”求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）， ∴， ∴， ， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． （1）如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． （2）如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； （1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据他们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值 【小问1详解】 解：∵ ∴ 整理得：； 【小问2详解】 解：设 ∵ ∴ ∴和都是 在中， 在中， ∴ ∵ 则 解得 即 在中，由勾股定理，得 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在中，，点D在边上，点F在射线上，连接，，作，交射线于点E，连接． （1）求证：． （2）如图2，当，时． ①若，求的长； ②若，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得，结合外角性质，得，则； （2）①先由等边对等角得，结合（1）的，则，然后证明，故，再运用勾股定理列式计算，即可作答． ②如图1，过点A作于点M，当点D在点M的右侧时，运用勾股定理得，结合等面积法列式计算，得，结合线段的和差关系得，再证明，如图2，当点D在点M的左侧时，同理可得，，，得． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①∵，， ∴． ∵， ， ∴． ∵， ∴． 由（1）已证， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 易得． ②或，过程如下： 如图1，过点A作于点M，当点D在点M的右侧时， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 由（1）得，而，， ∴， ∴． 如图2，当点D在点M的左侧时， 同理可得，，， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$