精品解析：浙江省杭州市上城区2024-2025学年下学期七年级第一次联考数学试卷

2024学年第二学期3月七年级学情调查（数学学科） 试题卷 一．选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，与的关系是（ ） A. 互为对顶角 B. 互为同位角 C. 互为内错角 D. 互为同旁内角 3. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线相交于点O，于O，，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于　　 A. 3 B. 6 C. D. 6. 如图，，平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，用直线m，n表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，D为射线延长线上一点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） A. 73cm B. 74cm C. 75cm D. 76cm 9. 已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或3 D. 或 10. 已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______． 12. 已知是方程mx+3y=1的一个解，则m的值是_______． 13. 如图，面积为8cm2的直角三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移距离是BC的2倍，则图中四边形ACED的面积为____ cm2. 14. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则的度数为___________． 15. 如右图所示，已知直线、被所截，是的角平分线，若，，则的度数是________． 16. 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，这可以试试”；丙说：“能不能通过换元替代的方法来解决”，参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_______． 三．解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： （1）； （2）． 18. 如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点、点都在正方形网格的格点上． （1）平移三角形，使点A与重合，画出平移后得到的三角形； （2）连接、，四边形的面积是_______（平方单位）． 20. 请根据李老师所给的内容，完成下列各小题： 我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：． 例如：． （1）如果，求y的值； （2）若，求x，y的值． 21. 如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知． （1）求证： ； （2）若，，求的度数． 22. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 23. 阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，分别求和的值； （2）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的值． 24. 已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若，则=_______°； （2）若的平分线交边于点F． ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期3月七年级学情调查（数学学科） 试题卷 一．选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、是二元一次方程，符合题意； C、含有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 2. 如图，与的关系是（ ） A. 互为对顶角 B. 互为同位角 C. 互为内错角 D. 互为同旁内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，对顶角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：由图可知，与的关系是互为内错角， 故选；C． 3. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判断直线，故此选项符合题意； B、根据同位角相等，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意； C、根据同旁内角互补，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意； D、根据内错角相等，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意． 故选：A． 4. 如图，直线相交于点O，于O，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂线，邻补角，根据垂直定义可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于　　 A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把解代入方程，整体代入进行求解即可． 【详解】解：将代入方程得：， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的根，代数式求值，准确计算是解题的关键． 6. 如图，，平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出∠DCB，再由角平分线的定义求出∠ACD，根据两直线平行，内错角相等求出∠A． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠DCB+∠B=180°， 又∵∠B=110°， ∴∠DCB=70°， ∵CA平分∠DCB， ∴∠ACD=∠ACB=35°， ∴∠A=∠ACD=35°． 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握两直线平行，同旁内角互补，内错角相等，是解题的关键． 7. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，用直线m，n表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，D为射线延长线上一点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，先根据补角的定义求出的度数，进而可得出的度数，由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8. 利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） A. 73cm B. 74cm C. 75cm D. 76cm 【答案】D 【解析】 【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解． 【详解】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm， 由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80， 由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=72， 两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152， 解得：h=76cm． 故选 D． 【点睛】此题主要考查了方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力．关键是看懂图的意思，找出图中所表示的等量关系． 9. 已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或3 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值． 【详解】解：， 得， 解得， ∵为整数，为整数， ∴， ∴的值为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组． 10. 已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程和方程中，求得，再将、代入，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解：， 得：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ∴，解得，①结论正确； 当时，方程组为，方程为， 解得： 将代入中，得：， 方程组的解是方程的解，②结论正确； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论不正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：A． 二．填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：． 12. 已知是方程mx+3y=1的一个解，则m的值是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】直接将解代入方程即可求出m. 【详解】把代入得， ， . 故答案为：5 【点睛】本题考查方程的解的概念，给出方程的解，只需将解代入方程计算即可. 13. 如图，面积为8cm2的直角三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移距离是BC的2倍，则图中四边形ACED的面积为____ cm2. 【答案】24 【解析】 【分析】根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可． 【详解】∵平移的距离是边BC长的两倍， ∴BC=CE=EF， ∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积； ∴四边形ACED的面积=8×3=24 cm2. 故答案为24. 【点睛】考查平移的性质，根据平移的性质得到四边形ACED的面积是三个△ABC的面积是解题的关键. 14. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，先由平行线的性质和折叠的性质得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 15. 如右图所示，已知直线、被所截，是的角平分线，若，，则的度数是________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据角平分线的概念和平行线的性质和判定求解即可． 【详解】∵是的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质和角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 16. 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，这可以试试”；丙说：“能不能通过换元替代的方法来解决”，参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的特殊解法，所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可． 【详解】解：， 方程组中两个方程的两边都除以2，得， ∵方程组的解是， ∴， ∴， 故答案为． 三．解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）用代入消元法解方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 把①代入②中得：， 解得：， 将代入①中得：， 故原方程组得解为：． 【小问2详解】 解： 将，得： 由得：， 解得：， 将代入①中得：， 解得：， 故原方程组得解为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入法是解题的关键． 18. 如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．先通过垂直和已知条件得到，即可判定得出两直线平行． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点、点都在正方形网格的格点上． （1）平移三角形，使点A与重合，画出平移后得到的三角形； （2）连接、，四边形的面积是_______（平方单位）． 【答案】（1）见详解 （2）5 【解析】 【分析】本题考查作图—平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用割补法求四边形的面积． （1）根据点A到，可知平移方式为先向右移动三个单位，再向上移一个单位，利用平移规律分别作出B、C的对应点即可； （2）连接、，把四边形的面积看成长方形的面积减去周围的四个三角形面积即可． 【小问1详解】 解：三角形如下图所示： 【小问2详解】 解：四边形的面积， 故答案为：5． 20. 请根据李老师所给的内容，完成下列各小题： 我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：． 例如：． （1）如果，求y的值； （2）若，求x，y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程．理解题意正确的列方程是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意可得，，加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 解得，， ∴y的值为； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴， ∴． 21. 如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知． （1）求证： ； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质，灵活运用平行线的判定定理和性质定理是解答本题的关键． （1）由已知条件结合对顶角相等可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）先证明，再结合可得，进而证得，由平行线的性质可得，即，再结合求解即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴①， 又∵②， ∴①②联立可得， ∴． 22. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 （2）共有2种购买方案，最大利润是220元 【解析】 【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【小问1详解】 解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． 【小问2详解】 解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 23. 阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，分别求和的值； （2）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的值． 【答案】（1）11，5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，再计算出①②的结果，即可求解． 【小问1详解】 解：， ①②可得：， ①②可得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ①②可得：． 24. 已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若，则=_______°； （2）若的平分线交边于点F． ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系． 【答案】（1）45； （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【小问1详解】 解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：45； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵ ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $