精品解析：甘肃省平凉市静宁县文萃中学2024-2025学年高一下学期阶段测试（一）数学试题

阶段测试卷（一）数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列量中是向量的为（ ） A. 功 B. 距离 C. 拉力 D. 质量 2. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知，，，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 4 设向量.若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等边边长为1，点分别为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若的三边为a，b，c，有，则是的（    ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 8. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得恰有一个解的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，且网格中每个小正方形的边长均为1，则_______． 13. 如图，在中，为线段上靠近点的四等分点，若，则______． 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个物体在平面内受到三个力，，作用，它们的大小依次为10N、8N和6N，方向依次为北偏东、北偏东、北偏西，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数字）． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小 （2）若，的面积为，求的周长． 17. 平面向量，满足 （1）若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； （2）若为钝角，求实数t的取值范围． 18. 已知函数，其中．若函数的图象关于直线对称且的最小正周期为，求： （1）的单调递增区间； （2）在区间上的最大值和最小值． 19. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，，求的坐标； （2）若，，且，求实数的值； （3）若，，求向量的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试卷（一）数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列量中是向量的为（ ） A. 功 B. 距离 C. 拉力 D. 质量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义即可判断. 【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量. 故选：C. 2. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量概念逐一判断 【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误； 对于，向量无法比较大小，故选项错误； 对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确； 对于，若，则，故选项错误 故选：C 3. 已知，，，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义求解． 【详解】由已知，又， ∴， 故选：A． 4. 设向量.若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：， 故选：A 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可. 【详解】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 6. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】在中，取为基底， 因为点分别为的中点，， 所以， 所以. 故选：A. 7. 若的三边为a，b，c，有，则是的（    ） A 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图， 则四边形是菱形，且． 为的平分线． ， ， 即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 8. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用坐标计算可判断A；利用模长坐标计算可判断B；由数量积是否为0可判断C；利用向量夹角公式的坐标运算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故与不垂直，故C错误； 对于D，，故，故D正确． 故选：AD． 10. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不共线的向量可以做基底判断即可. 【详解】A选项：，与共线，A错误； B选项：，与不共线，B正确； C选项：，与不共线，C正确； D选项：，与共线，D错误； 故选：BC. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得恰有一个解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理结合三角函数单调性即可逐一判断求解. 【详解】对于A，由正弦定理，即，解得， 而，所以有两个可能的值，这表明有两个解，故A不符合题意； 对于B，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故B符合题意； 对于C，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故C符合题意； 对于D，由正弦定理，即，解得， 而，所以有唯一解，也随之唯一确定，故D符合题意； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，且网格中每个小正方形的边长均为1，则_______． 【答案】-2 【解析】 【分析】求出和两向量夹角，利用向量数量积公式求出答案. 【详解】由题意得，的夹角为， 故． 故答案为：． 13. 如图，在中，为线段上靠近点的四等分点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则得，根据三点共线即可得解. 【详解】三点共线，所以. 故答案为： 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用两角差的正弦公式求出，再利用正弦定理求出，然后即可求解. 【详解】在中，则， 且， 由正弦定理得， 所以， 在中，，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个物体在平面内受到三个力，，的作用，它们的大小依次为10N、8N和6N，方向依次为北偏东、北偏东、北偏西，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数字）． 【答案】199.6焦耳 【解析】 【分析】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系.通过计算可得三个力向量的坐标,从而可得合力的坐标,根据合力与位移向量的夹角为,利用向量的物理意义可得. 【详解】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． 计算可得， ， ， 所以合力， 因为合力与位移的夹角为， 所以合力做的功 ， 保留四位有效数字可得199.6焦耳．所以合力做的功约为199.6焦耳． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小 （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)将已知关系式化边为角，可得C的正切，进而可求角C； (2)由三角形面积公式及角C可得，进而由余弦定理整体得的值解决问题. 【小问1详解】 由正弦定理可得：, , , , , . 小问2详解】 由三角形面积可知：, ， 由余弦定理可知： , 解得：， 所以三角形的周长为：. 17. 平面向量，满足 （1）若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； （2）若为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可； （2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 则，即， 因为，则， 所以， ， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为为钝角，所以，即， 若共线，设，即 则，解得或， 要使为钝角，则且， 即实数t的取值范围为． 18. 已知函数，其中．若函数的图象关于直线对称且的最小正周期为，求： （1）的单调递增区间； （2）在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值1，最小值 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期得到，根据对称轴得到，得到函数解析式，整体法得到函数单调递增区间； （2）整体法得到，数形结合得到函数的最值. 【小问1详解】 由函数最小正周期，得， 又函数的图象关于直线对称，所以有， 所以，即， 又已知，故． 因此． 由，解得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以． 当，即时，取得最大值1； 当，即时，取得最小值 19. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，，求的坐标； （2）若，，且，求实数的值； （3）若，，求向量的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用，表示，借助，的线性运算求解可得； （2）用，表示，将转化为的运算，利用数量积的运算律求解可得； （3）用，表示，利用，求及，再由两向量夹角公式可得. 【小问1详解】 若，，则， 则 故的坐标为. 【小问2详解】 若，，且， 则，， 由已知得，. 所以 ，解得. 【小问3详解】 若，， 则， ， 所以， 又， 向量，的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $