专题课堂(十二) 模型观念——轴对称与最短路径问题（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年七年级数学下册（北师大版）广东

专题课堂(十二)　 模型观念——轴对称与最短路径问题 最短路线问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 模型一　两定点、一动点型 1. 两定点同侧：如图，在直线l上作出点P，使得PA＋PB的值最小． 解： 2. 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 解：作出点B关于河边l的对称点B′，连接AB′，交河边l于点P，则AP＋BP就是最短路线 3. 两定点异侧：如图，若A，B两点在直线l的异侧，在直线l上找出一点P，使PA＋PB的值最小. 解： 4. 如图，若奶站D向小区A，B提供牛奶，则奶站D应建在什么地方，才能使它到小区A，B的距离之和最短？ 解： 模型二　一定点、两动点型 5. 如图，点P是∠AOB内部一点，在直线OA，OB上分别找点M，N，使得△PMN周长最小． 解： 6. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使三角形AMN周长最小时，求∠AMN＋∠ANM的度数． 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N， 则A′A″即为△AMN的周长最小值， ∵∠DAB＝120°， ∴∠A′＋∠A″＝180°－∠BAD＝60°， ∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， ∴∠MAN＝∠BAD－(∠MAA′＋∠NAD)＝∠BAD－(∠A′＋∠A″)＝60°， ∴∠AMN＋∠ANM＝180°－∠MAN＝120° 模型三　两定点、两动点型 7. 如图，在∠AOB内部有两点M，N，在OA，OB上分别找出点E，F，使得E，F，M，N，四点组成的四边形的周长最短． 解： 8. 如图，已知两点P，Q在锐角∠AOB内，分别在OA，OB上求作点M，N，使PM＋MN＋NQ最短． 解： 模型四　两定点、一定长型 9. 如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直)，桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？ 解： 10. 河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间(如图)，要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G.在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D.在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是(AC＋CD＋DB)最短的理由． 解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短， 可知：AC＋CD＋DB＝(ED＋DB)＋CD＝EB＋CD， 而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离， 所以AC＋CD＋DB最短