二项式定理 零基础讲义-2025届高三体育单招数学一轮复习

【2025届体育单招数学零基础讲义】 二项式定理知识点·梳理 一．知识链接 （1） （2） 二．二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项: （4）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 三．二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 重点题型·归类精讲 题型一 求型的展开式 【例1-1】二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二项式，.故选：B 【例1-2】求的二项展开式． 【答案】 【详解】由二项式定理，得 ，所以的二项展开式是 【变式1】写出的展开式． 【答案】 【详解】在二项式定理中令，可得 【变式2】求的展开式． 【答案】 【详解】 题型二 特定项的系数问题 【例2-1】（2023年真题）的展开式中的系数为（    ） A．180 B．45 C．-45 D．-180 【答案】A 【解析】本题考查二项式定理，二项式左边一项、右边一项，把左边当成一个整体，把右边当成一个整体，根据要求的展开式，把10拆分之后分给左右两边。 本题求，给左边分8、右边分2，再来个或，两者计算结果相等，一般选小的好算，即: 所以展开式中的系数为180 【例2-2】（2021年真题）的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】思路，6次方，把6拆成两个整数相加，分别分给和，再让两者相乘，相乘的结果要约掉、求常数项。本题正确分法为分分4，再来个或者(两者计算结果相等)，即(负负得正，负号、负1的4次方，负号就没有了) 和约掉，剩1，没有求的就是常数项 【例2-3】（2020年真题）的展开式中的系数为__ _(用数字作答) 【答案】-270 【解析】根据要求的项，把最高次5拆分成两个正整数相加的形式，分别分给和，把它俩当成一个整体求解本题求的系数，把5给分分3，再来个或者(两者值相等) 所以的系数就是-270 【例2-4】（2019年真题）的展开式中的系数是___(用数字作答) 【答案】84 【解析】思路:把1和分别当成一个整体，7拆分成两个相加等于7的正整数，分别分给1和。求的系数，给分2，给1分5，再来个或者。 的系数就是84 【例2-5】（2016年真题）的展开式中，的系数为___(用数字作答) 【答案】192 【解析】 【例2-6】（2015年真题）的展开式中，的系数为___ 【答案】 【解析】 【例2-7】（2003年真题）二项式展开式中的第三项是___ 【答案】 【解析】 【变式1】（2014年真题）的展开式中，常数项为 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】的16次方与的8次方相乘得常数项，所以常数项为 【变式2】（2011年真题）的展开式中常数项是___ 【答案】60 【解析】 【变式3】（2009年真题）在的展开式中，的系数是___(写出数字答案) 【答案】224 【解析】求的系数，分分2，故的系数为 【变式4】（2008年真题）的展开式中的系数是___ 【答案】-56 【解析】，求的系数，最高次8给分5、给-1分3，再来个或，即 故的系数为 【变式5】（2007年真题）的展开式中所有有理项系数之和等于___(用数字作答) 【答案】365 【解析】有理数项; 、系数、系数 、系数、系数 【变式6】（2006年真题）在的展开式中项的系数是 A、-30 B、-60 C、30 D、60 【答案】60 【解析】求的系数，最高次6，给分2，给分4，再来个或 即，故项的系数是60 【变式7】（2005年真题）的展开式中的系数是___(用数字作答) 【答案】135 【解析】求系数，给分4，给分2，再来个，即即的系数为135 题型三 已知特定项系数求参数 【例3-1】（2018年真题）若的展开式中的系数为-2，则___ 【答案】 【解析】思路:把和分别当成一个整体，把最高次4分成两个正整数相加的形式，分别分给和，求系数，给分分1，再来个，即 即为的系数，所以 【例3-2】（2012年真题）已知的展开式中常数项是-8，则展开式中系数是 A、168 B、-168 C、336 D、-336 【答案】C 【解析】要求常数项，给最高次9分的时候分0，分9，即，再来个或，这样就可以求常数项， 【变式1】若的展开式中的系数为40，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】的展开式的项为,因为的展开式中的系数为40， 所以，解得.故选:B． 【变式2】已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【详解】由二项展开式的通项公式可得，令，解得，即常数项为，解得.故选：B 【变式3】展开式中的常数项为－160，则a＝（    ） A．－1 B．1 C．±1 D．2 【答案】B 【详解】的展开式通项为，∴令，解得，∴的展开式的常数项为，∴∴故选：B. 【变式4】已知展开式中第5项为常数项，则n＝ . 【答案】5 【详解】由题设，由第5项为常数项，即时，，可得.故答案为：5 题型四 赋值法解决系数和问题 【例4-1】（2024年真题）已知， 则 A、 B、 C、0 D、1 【答案】D 【解析】考点二项式定理。二项式及二项式的展开式，左右相等 若求，令 【例4-2】（2013年真题）已知，则 A、7 B、8 C、9 D、10 【答案】B 【解析】 【例4-3】（2010年真题）已知，则___ 【答案】-4 【解析】为常数项，的常数项常数项，-常数项 【变式1】已知，求： (1)； (2)． 【答案】(1)1(2)625 【详解】（1）由，令得， 所以． （2）在中，令得①， 令得②, 所以． 【变式2】设．求： (1)的值； (2)的值； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，令，得，则；令，得，则，所以； （2）令，得①，令，得②， ①②得，，所以； 题型五 几个二项式的积的特定项系数问题 【例5-1】的展开式中的系数为（    ） A． B．7 C．77 D． 【答案】B 【详解】的展开式通项为，故的展开式中的系数为，故选：B 【变式1】的展开式中含的项的系数为 . 【答案】960 【详解】的展开式的通项为，故令，可得的展开式中含的项的系数为：.故答案为：960 【变式2】的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】的展开式的通项（，1，2，…，8）．当时，其展开式的常数项为；当时，其展开式中的系数为，则的展开式中常数项为．故答案为： 课后模拟·巩固练习 1、二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．60 C．210 D． 【答案】B 【详解】展开式的通项为，所以，常数项为，故选：B 2、二项式的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，故C项正确.故选：C． 3、的展开式的第3项的系数为 ；常数项为 ． 【答案】 【详解】由二项式展开式的通项为，可得展开式中第3项为，所以第3项的系数为，令，可得，所以展开式的常数项为.故答案为：； 4、二项式的展开式中常数项为 .(用数字作答) 【答案】60 【详解】二项式的展开式的通项公式，由，得，则，所以二项式的展开式中常数项为60.故答案为：60 5、的展开式中含的项的系数是 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】因为的展开通项公式为， 令，得，所以其中含的项的系数为.故答案为： 6、二项式展开式中的含项的系数为 ． 【答案】-40 【详解】二项式展开式的通项为，令，则.故答案为： 7、若. (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）令，则，① （2）令，则，②令，则， ，； 8、设十． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）令，则① （2）令，则②，①②可得：； 9、已知.求的值； 【答案】2 【详解】解：由，令，可得；令，可得，所以，所以. 10、的展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是．故选：C. 11、在的展开式中，含项的系数为（    ） A． B．20 C． D．15 【答案】A 【详解】的第项为，令，则，所以的展开式中，含项为，系数为.故选：A 12、若，则（    ） A．1 B．513 C．512 D．511 【答案】D 【详解】令，得，令，得，所以，故选：D 13、在的展开式中，常数项为75，则 . 【答案】 【详解】的展开式的通项公式为，令，解得， 所以常数项为，又，解得.故答案为：. 14、展开式中的常数项为20，则 . 【答案】/ 【详解】展开式的通项为，令，解得，则展开式的常数项为，解得.故答案为：. 15、若的展开式中的常数项为，则常数的值为 . 【答案】 【详解】展开式的通项为，令，可得，所以常数项为，解得：，故答案为：. 16、已知，则（   ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【详解】因为的展开式通项公式为，所以的系数.故选：C 17、展开式中含项的系数为（    ） A．420 B． C．560 D． 【答案】D 【详解】由题意知， 的二项展开式的通项公式为， 令，得，故含项的系数为.故选：D. 18、在二项式的展开式中，有理项的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】二项式展开式的通项公式，由，且，，得或，所以有理项的项数为2．故选：B. 19、的展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的展开式的通项公式为，令，， 所以展开式中含的系数为.故选：A 20、的展开式中的系数为（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】的展开式的通项公式为，令可得，所以的系数为.故选B. 21、二项式的展开式中第5项为 . 【答案】15 【详解】展开式通项为，.故答案为：15. 22、在二项式的展开式中常数项是 ；的系数是 ． 【答案】 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为：， 令，得，所以二项式的展开式中常数项为：， 令，得，所以二项式的展开式中的系数为：， 故答案为：①，②. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 二项式定理知识点·梳理 一．知识链接 （1） （2） 二．二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项: （4）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 三．二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 重点题型·归类精讲 题型一 求型的展开式 【例1-1】二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】求的二项展开式． 【变式1】写出的展开式． 【变式2】求的展开式． 题型二 特定项的系数问题 【例2-1】（2023年真题）的展开式中的系数为（    ） A．180 B．45 C．-45 D．-180 【例2-2】（2021年真题）的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（2020年真题）的展开式中的系数为__ _(用数字作答) 【例2-4】（2019年真题）的展开式中的系数是___(用数字作答) 【例2-5】（2016年真题）的展开式中，的系数为___(用数字作答) 【例2-6】（2015年真题）的展开式中，的系数为___ 【例2-7】（2003年真题）二项式展开式中的第三项是___ 【变式1】（2014年真题）的展开式中，常数项为 A、 B、 C、 D、 【变式2】（2011年真题）的展开式中常数项是___ 【变式3】（2009年真题）在的展开式中，的系数是___(写出数字答案) 【变式4】（2008年真题）的展开式中的系数是___ 【变式5】（2007年真题）的展开式中所有有理项系数之和等于___(用数字作答) 【变式6】（2006年真题）在的展开式中项的系数是 A、-30 B、-60 C、30 D、60 【变式7】（2005年真题）的展开式中的系数是___(用数字作答) 题型三 已知特定项系数求参数 【例3-1】（2018年真题）若的展开式中的系数为-2，则___ 【例3-2】（2012年真题）已知的展开式中常数项是-8，则展开式中系数是 A、168 B、-168 C、336 D、-336 【变式1】若的展开式中的系数为40，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【变式3】展开式中的常数项为－160，则a＝（    ） A．－1 B．1 C．±1 D．2 【变式4】已知展开式中第5项为常数项，则n＝ . 题型四 赋值法解决系数和问题 【例4-1】（2024年真题）已知， 则 A、 B、 C、0 D、1 【例4-2】（2013年真题）已知，则 A、7 B、8 C、9 D、10 【例4-3】（2010年真题）已知，则___ 【变式1】已知，求： (1)； (2)． 【变式2】设．求： (1)的值； (2)的值； 题型五 几个二项式的积的特定项系数问题 【例5-1】的展开式中的系数为（    ） A． B．7 C．77 D． 【变式1】的展开式中含的项的系数为 . 【变式2】的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 课后模拟·巩固练习 1、二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．60 C．210 D． 2、二项式的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 3、的展开式的第3项的系数为 ；常数项为 ． 4、二项式的展开式中常数项为 .(用数字作答) 5、的展开式中含的项的系数是 ．（用数字作答） 6、二项式展开式中的含项的系数为 ． 7、若. (1)求的值； (2)求的值； 8、设十． (1)求的值； (2)求的值； 9、已知.求的值； 10、的展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 11、在的展开式中，含项的系数为（    ） A． B．20 C． D．15 12、若，则（    ） A．1 B．513 C．512 D．511 13、在的展开式中，常数项为75，则 . 14、展开式中的常数项为20，则 . 15、若的展开式中的常数项为，则常数的值为 . 16、已知，则（   ） A．10 B．20 C．40 D．80 17、展开式中含项的系数为（    ） A．420 B． C．560 D． 18、在二项式的展开式中，有理项的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19、的展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 20、的展开式中的系数为（    ） A．10 B． C．5 D． 21、二项式的展开式中第5项为 . 22、在二项式的展开式中常数项是 ；的系数是 ． 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$