排列组合 零基础讲义-2025届高三体育单招数学一轮复习

【2025届体育单招数学零基础讲义】 排列组合知识点·梳理 一．两个计数原理 1、分类加法计数原理 （1）概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． （2）特征：①每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事②各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 2、分步乘法计数原理 （1）概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． （2）特征：①每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事②各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏 3、分类加法和分步乘法计数原理区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事、 4、利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)分类要做到不重不漏． 二．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数 公式 性质 重点题型·归类精讲 题型一 加法与乘法计数原理 【例1-1】完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（    ） A．6种 B．10种 C．4种 D．60种 【例1-2】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（    ） A．18 B．36 C．72 D．48 【例1-3】用这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．48 【例1-4】甲同学从3本不同的文学书和4本不同的科学书中各选1本阅读，则不同的选法共有（    ） A．81种 B．64种 C．12种 D．7种 【例1-5】（2016年真题）从中取出2个不同数字组成两位数，大于50的两位数的个数为 A、6 B、8 C、9 D、10 【变式1】完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（    ） A． B． C． D． 【变式2】现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种 【变式3】某小组有名男生，名女生，从中任选男生和女生各名去参加座谈会，则不同的选法有（    ） A．48种 B．24种 C．14种 D．12种 【变式4】用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 组合数的计算与组合 【例1-1】计算： (1)； (2)． 【例1-2】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3). 题型三 排列与组合的运用 【例3-1】名同学，其中名男同学，名女同学： （1）站成一排，共有多少种不同的排法？ （2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？ （3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？ （4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （5）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ （6）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ （7）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？ （8）站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起. （9）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？ （10）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？ 【例3-2】二班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动. （1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？ （2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？ （3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？ （4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？ （5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？ 【例3-3】（2024年真题）甲、乙等5名运动员排成一排，则甲、乙相邻的排法共有____种 【例3-4】（2022年真题）从3名男队员和3名女队员中各挑选1名队员，则不同的挑选方法共有（    ） A．6种 B．9种 C．12种 D．15种 【例3-5】（2021年真题）从4名女生、3名男生中任选4人做志愿者，则其中至少有1名男生的不同选法共有（    ） A．12种 B．34种 C．35种 D．168种 【例3-6】（2018年真题）在6名男运动员与5名女运动员中选男、女各3名组成一个代表队，则不同的组队方案共有___种 【例3-7】（2017年真题）从7名男运动员和3名女运动员中选出2人组队参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有 A、12种 B、18种 C、20种 D、21种 【例3-8】（2015年真题）从5名新队员中选出2人，6名老队员中选出1人，组成训练小组，则不同的组成方案共有 A、165种 B、120种 C、75种 D、60种 【例3-9】（2014年真题）一个小型运动会有5个不同的项目要依次比赛，其中项目不排在第三，则不同的排法共有______种(用数字作答) 【例3-10】（2013年真题）把4个人平均分成2组，不同的分组方法共有 A、5种 B、4种 C、3种 D、2种 【变式1】（2011年真题）将3名教练员与6名运动员分为3组，每组1名教练员与2名运动员，不同的分法有 A、90种 B、180种 C、270种 D、360种 【变式2】（2012年真题）在10名教练员中选出主教练1人，分管教练2人，组成教练组，不同的选法共有 A、120种 B、240种 C、360种 D、720种 【变式3】4位运动员和2位教练排成一组照相，若要求教练员不相邻且不站在两端，则可能的排法共有___种(写出数字答案) 【变式4】（2008年真题）在8名运动员中选2名参赛选手与2名替补，不同的选法共有 A.420种 B.86种 C.70种 D.43种 【变式5】（2007年真题）某班分成8个小组，每小组5人，现要从班中选出4人参加4项不同的比赛，且要求每组至多选1人参加，则不同的选拔方法共有 A、种 B、种 C、种 D、种 【变式6】（2006年真题）一支运动队由教练一人，队长一人以及运动员四人组成，这六个人站成一排照相，教练和队长分别站在横排的两端，不同的站法一共有 A、48种 B、64种 C、24种 D、32种 【变式7】从4名女同学和5名男同学中任意选出2名女同学和3名男同学，组成代表队参加某项比赛，则不同的组队方法共有___种(用数字作答) 【变式8】一部电影在5所学校轮映，每所学校放映一场，不同的轮映次序共有___种(用数字作答) 【变式9】搞好国庆的准备工作，需从9支“志愿者服务队”中选派3支参加服务工作，则选派的方法种数为___(用数字作答) 【变式10】现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（    ） A．84 B．108 C．132 D．144 【变式11】今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（    ） A．18 B．24 C．32 D．64 【变式12】2024年巴黎奥运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 【变式13】将4名志愿者分别安排到三个社区进行社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到社区，不同的安排方法有（    ）种 A．6 B．9 C．12 D．36 课后模拟·巩固练习 1．由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（    ） A．42个 B．48个 C．54个 D．120个 2．（2007年真题）将一个圆周16等分，过其中任意3个分点作一个圆内接三角形，在这些三角形当中，锐角三角形和钝角三角形共有___个 3．5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（    ） A．9 B．20 C． D． 4．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 5．今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（    ） A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 6．（    ） A．24 B．26 C．30 D．32 7．学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 8．某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（   ） A．420种 B．840种 C．476种 D．896种 9．高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 10．甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（    ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 11．从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 12．树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ） A．20种 B．40种 C．60种 D．80种 13．有6名男医生、5名女医生，从中选出3名医生组成一个医疗小组，且医疗小组中男、女医生都要有，则不同的选法共有（    ） A．135种 B．150种 C．165种 D．270种 14．从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有（    ）种. A．23 B．22 C．24 D．26 二、填空题 15．某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 种． 16．规定： ． 17．计算 . 18．2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ． 19．从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的选法有 种（用数字作答） 20．甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有 种． 三、解答题 21．现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 22．现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品． (1)试问共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种? (3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种? 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 排列组合知识点·梳理 一．两个计数原理 1、分类加法计数原理 （1）概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． （2）特征：①每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事②各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 2、分步乘法计数原理 （1）概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． （2）特征：①每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事②各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏 3、分类加法和分步乘法计数原理区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事、 4、利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)分类要做到不重不漏． 二．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数 公式 性质 重点题型·归类精讲 题型一 加法与乘法计数原理 【例1-1】完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（    ） A．6种 B．10种 C．4种 D．60种 【解答过程】根据分类加法计数原理，6+4=10.选：B 【例1-2】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（    ） A．18 B．36 C．72 D．48 【解答过程】解法一： 按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类， 在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．故选：B. 【例1-3】用这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．48 【解答过程】由题意可知，首位数字有4种选择，则中间的数位有4种选择，末尾数字有3种选择. 由分步乘法计数原理可知，可以组成没有重复数字的三位数的个数.故选:. 【例1-4】甲同学计划从3本不同的文学书和4本不同的科学书中各选1本阅读，则不同的选法共有（    ） A．81种 B．64种 C．12种 D．7种 【解答过程】根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.故选：C 【例1-5】（2016年真题）从中取出2个不同数字组成两位数，其中大于50的两位数的个数为 A、6 B、8 C、9 D、10 【答案】D 【解析】列举法： 【变式1】完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由分类加法计数原理得：.故选：A. 【变式2】现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种 【解答过程】依题意，不同的选法共有种.故选：A. 【变式3】某小组有名男生，名女生，从中任选男生和女生各名去参加座谈会，则不同的选法有（    ） A．48种 B．24种 C．14种 D．12种 【解答过程】按照男生和女生分步完成，第一步：先选男生有种方法；第二步：选女生有种方法； 完成这个事件的选法有种.故选：A 【变式4】用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【解答过程】先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由种选择，根据分步乘法计数原理可得共有个不重复的三位偶数，故选：D. 题型二 组合数的计算与组合 【例1-1】计算： (1)； (2)． 【解答过程】（1）. （2）. 【例1-2】计算： (1)； (2)． 【解答过程】（1）； （2）． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3). 【解答过程】（1）； （2）； （3） 题型三 排列与组合的运用 【例3-1】名同学，其中名男同学，名女同学： （1）站成一排，共有多少种不同的排法？ （2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？ （3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？ （4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （5）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ （6）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ （7）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？ （8）站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起. （9）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？ （10）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？ 【答案】（1）5040；（2）5040；（3）144；（4）720；（5）240；（6）2400；（7）1440；（8）288；（9）3600；（10）1440； 【解析】（1）问题可以看作个元素的全排列，故有种排列方法. （2）根据分步计数原理，共有种排列方法. （3）根据分步计数原理，共有种排列方法. （4）首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列，共有种排列方法. （5）第一步甲、乙站在两端有种，第二步余下的名同学进行全排列有种，∴共有种排列方法. （6）第一步从(除去甲、乙)其余的名同学中选名同学站在排头和排尾有种方法，第二步从余下的名同学中选名进行排列(全排列)有种方法，∴一共有种排列方法； （7）先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法，再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法，∴这样的排法一共有种方法. （8）先将名女同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，再将名男同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，这时一共有个整合的后元素，有种情况，∴一共有排法种数：(种). （9）(排除法)七名同学全排，有种可能，甲、乙两名同学相邻，有种可能，则甲、乙两名同学不能相邻有种方法. （10）先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有种方法，∴一共有种. 【例3-2】二班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动. （1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？ （2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？ （3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？ （4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？ （5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？ 【答案】（1）561种；（2）5 984种；（3）2 100种；（4）2 555种；（5）6 090种. 【解析】（1）从余下的34名学生中选取2名，有＝561(种).∴不同的取法有561种； （2）从34名可选学生中选取3名，有种；或者(种).∴不同的取法有5984种； （3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有(种)∴不同的取法有2100种； （4）选取2名女生有种，选取3名女生有种，共选取方式＋＝2100＋455＝2555种； ∴不同的取法有2555种. （5）选取3名的总数有，选取方式有－＝6545－455＝6090(种).∴不同的取法有6090种. 【例3-3】（2024年真题）甲、乙等5名运动员排成一排，则甲、乙相邻的排法共有____种 【答案】48 【解析】甲乙在1和2号位，剩下3名运动员随便站，共共6种情况同理甲、乙在号位，号位，号位，又各6种情况，一共18种 种情况 甲和乙换一下位置，一共48种 【例3-4】（2022年真题）从3名男队员和3名女队员中各挑选1名队员，则不同的挑选方法共有（    ） A．6种 B．9种 C．12种 D．15种 【答案】 【解析】。或按生活中的经验理解,3名男队员,分别为 男1、男2和男3,3名女运动员分别为女1、女2和女3,男1分别可以和女1、女2或女3组合共3种情况,同理,男2、男3组合也各有3种,共9种。 【例3-5】（2021年真题）从4名女生、3名男生中任选4人做志愿者，则其中至少有1名男生的不同选法共有（    ） A．12种 B．34种 C．35种 D．168种 【答案】 【解析】4名女生、3名男生一共7个人，7人里面选4人计算公式为35(4和4约掉，和6约掉，最后剩余)，至少1名男生，反过来(“抬杜”)就是全是女生，全是女生让4个女生去，减去1种情况，剩34种情况，故选B。 举一反三: 【例3-6】（2018年真题）在6名男运动员与5名女运动员中选男、女各3名组成一个代表队，则不同的组队方案共有___种 【答案】200 【解析】6名男运动员里选3名男运动员共有种情况；5名男运动员里选3名男运动员共有种情况。男运动员20种情况，每种情况都可以分别与女运动员组队，共种情况。 【例3-7】（2017年真题）从7名男运动员和3名女运动员中选出2人组队参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有 A、12种 B、18种 C、20种 D、21种 【答案】D 【解析】男1和女1、女2或女3共3种，男1到男7共7种， 【例3-8】（2015年真题）从5名新队员中选出2人，6名老队员中选出1人，组成训练小组，则不同的组成方案共有 A、165种 B、120种 C、75种 D、60种 【答案】D 【解析】5人中选人， 【例3-9】（2014年真题）一个小型运动会有5个不同的项目要依次比赛，其中项目不排在第三，则不同的排法共有______种(用数字作答) 【答案】96 【解析】设5个项目为，先不设限制，都可以排第一，一个排过之后剩下4个都可能排第二，总共情况种。令排第三，其它四个都可能排第一、第二第四、第五， 【例3-10】（2013年真题）把4个人平均分成2组，不同的分组方法共有 A、5种 B、4种 C、3种 D、2种 【答案】C 【解析】设甲、乙、丙、丁四人，平均分成两组：甲乙、丙丁，甲丙、乙丁，甲丁、乙丙 【变式1】（2011年真题）将3名教练员与6名运动员分为3组，每组1名教练员与2名运动员，不同的分法有 A、90种 B、180种 C、270种 D、360种 【答案】A 【解析】本题考查平均分组问题。首先6名运动员设为，平均分为三组，可能的情况同理：与结合，分别有3种情况，总计种情况。设三名教练分别为甲、乙、丙，与AB、CD、EF分组：甲AB，乙CD，丙EF;甲AB，乙EF，丙CD同理，甲与CD、EF结合，分别有2种，共种所以不同的分法共有种 【变式2】（2012年真题）在10名教练员中选出主教练1人，分管教练2人，组成教练组，不同的选法共有 A、120种 B、240种 C、360种 D、720种 【答案】C 【解析】10名教练员中选出主教练1人，共10种情况;剩余9个人里选2个， 【变式3】4位运动员和2位教练排成一组照相，若要求教练员不相邻且不站在两端，则可能的排法共有___种(写出数字答案) 【答案】144 【解析】设教练员为甲、乙：则可能的站位为○甲○②○○;○○甲○②○;○甲○○②○，4名运动员随便站，共种情况，，甲、乙换个位置情况翻倍种 【变式4】（2008年真题）在8名运动员中选2名参赛选手与2名替补，不同的选法共有 A.420种 B.86种 C.70种 D.43种 【答案】A 【解析】8名运动员里面选2名，共有种情况;从剩余6名运动员里选2名，共有种情况。所以不同的选法，种情况。每种参赛选手与替补组合15种情况，参赛选手28种情况，故用乘法。 【变式5】（2007年真题）某班分成8个小组，每小组5人，现要从班中选出4人参加4项不同的比赛，且要求每组至多选1人参加，则不同的选拔方法共有 A、种 B、种 C、种 D、种 【答案】C 【解析】8组里面选4组，每组里的5人都有可能被选到，有情况，4人参加4项不同比赛。选出来的4人都有可能参加第1项，剩下3人里选1人参加第2项，剩下2人里选1人参加第3项，最后一人参加第4项，共即种情况。 【变式6】（2006年真题）一支运动队由教练一人，队长一人以及运动员四人组成，这六个人站成一排照相，教练和队长分别站在横排的两端，不同的站法一共有 A、48种 B、64种 C、24种 D、32种 【答案】A 【解析】当教练站最左端，队长站最右端，其它四位运动员随便站，共有、即24种情况，教练和队长换一下位，情况翻倍，共48种情况 【变式7】从4名女同学和5名男同学中任意选出2名女同学和3名男同学，组成代表队参加某项比赛，则不同的组队方法共有___种(用数字作答) 【答案】60 【解析】4名女同学选2名女同学，共有、即种情况 5名男同学中选3名男同学，共有、即种情况 所以不同的组队方法共有种情况 【变式8】一部电影在5所学校轮映，每所学校放映一场，不同的轮映次序共有___种(用数字作答) 【答案】120 【解析】第1轮反映，5所学校都有可能;第二轮，4所学校;以此类推，共有 【变式9】搞好国庆的准备工作，需从9支“志愿者服务队”中选派3支参加服务工作，则选派的方法种数为___(用数字作答) 【答案】84 【解析】9支里面选3支 【变式10】现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（    ） A．84 B．108 C．132 D．144 【解答过程】当甲跑第1棒时，则有种选择方法；当甲跑第4棒时，乙参加比赛则有种选择方法，乙不参加比赛则有种选择方法．故合适的选择方法种数为种．故选：B 【变式11】今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（    ） A．18 B．24 C．32 D．64 【解答过程】若安排的人中没有甲，安排方法有种，若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，则安排的方法有种，所以总的方法数有种.故选：A 【变式12】2024年巴黎奥运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 【解答过程】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，先排除去丙的5个元素，共有种排法，再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法，所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有种.故选：B 【变式13】将4名志愿者分别安排到三个社区进行社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到社区，不同的安排方法有（    ）种 A．6 B．9 C．12 D．36 【解答过程】①若社区仅有志愿者甲，则剩余名志愿者需要分成组并分配到社区， 此时安排的方法数为：种；②若社区还有另外一名志愿者，则先选出这名志愿者有种方法，再将剩余名志愿者分配到社区有种方法，根据分步乘法计数原理可知②的安排方法数为：种，所以一共有种安排方法，故选：C 课后模拟·巩固练习 1．由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（    ） A．42个 B．48个 C．54个 D．120个 【解答过程】若五位数的个位数是，则有种情形；若五位数的个位数是，由于不排首位，因此只有有种情形，中间的三个位置有种情形，依据分步计数原理，可得种情形．由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为.故选：A． 2．（2007年真题）将一个圆周16等分，过其中任意3个分点作一个圆内接三角形，在这些三角形当中，锐角三角形和钝角三角形共有___个 【答案】448 【解析】16等分形成三角形的个数直径两点和另外一点形成的三角形， 直角三角形的个数 故锐角、钝角共有种 3．5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（    ） A．9 B．20 C． D． 【答案】D 【详解】因为每名同学都有4种选择，所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为：．故选：D. 4．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为.故选：B. 5．今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（    ） A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 【答案】D 【详解】五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种，故选：D． 6．（    ） A．24 B．26 C．30 D．32 【答案】B 【详解】.故选：B. 7．学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【详解】领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可，则共有不同的站位顺序共有种.故选：B. 8．某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（   ） A．420种 B．840种 C．476种 D．896种 【答案】D 【详解】由题意可知，可以分两种情况，第一种情况所选取3个项目恰有2个相同项目，第一步，在8个项目中选取2项，共有种，第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种，第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种，由分步乘法计算原理可知，共有种；第二种情况所选取的3个项目有3个相同项目，则有种；由分类加法计数原理可知，总情况一共有种.故选：D 9．高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 【答案】D 【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择，当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择，所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）.故选：D 10．甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（    ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 【答案】D 【详解】因甲不去北京，应该分步完成：第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有中选法；由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种．故选：D． 11．从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【答案】B 【详解】当甲被选中时，不同的选派方案有种；甲没被选中时，不同的选派方案有种. 故满足条件的不同的选派方案有种.选：B. 12．树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ） A．20种 B．40种 C．60种 D．80种 【答案】C 【详解】由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男一组，余下一组；2女1男一组，余下一组；3女1男一组，余下一组；4女1男一组，余下一组；所以分配方法为. 故选：C 13．有6名男医生、5名女医生，从中选出3名医生组成一个医疗小组，且医疗小组中男、女医生都要有，则不同的选法共有（    ） A．135种 B．150种 C．165种 D．270种 【答案】A 【详解】不同的选法种数中，1男2女的选法有：种；2男1女的选法种数有：种.所以共有选法：种.故选：A 14．从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有（    ）种. A．23 B．22 C．24 D．26 【答案】B 【详解】由题意知，选取的3人中女生人数不多于男生人数，包括2男1女和3男0女两种情况.若3人中有2男1女，则不同的选法共有（种）；若3人中有3男0女，则不同的选法共有（种）.根据分类计数原理，所有不同的选法共有（种）.故选：B 二、填空题 15．某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 种． 【答案】 【详解】先将4名教师分成3组的方法有种，将3组教师分配指导3个运动兴趣小组的方法有种，所以总的分派方法共有种.故答案为：. 16．规定： ． 【答案】1 17．计算 . 【答案】21 【详解】.故答案为：21 18．2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ． 【答案】10 【详解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：种；安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：种，由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：种.故答案为：10 19．从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的选法有 种（用数字作答） 【答案】 【详解】根据题意，可分为两类：当选出的3人中，1男2女生，有种不同的选法；当选出的3人中，2男1女生，有种不同的选法，由分类计数原理得，共有种不同的选法. 故答案为：. 20．甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有 种． 【答案】 【详解】完成这件事，可分为3个步骤：第1步，先从3所不同的乡村学校中选1所安排甲去，则有种方法；第2步，将乙、丙、丁3位老师分成两组，3人中选2人1组，另1人自己1组，有种方法；第3步，将两组老师分配到另外2所学校中去，有种方法，故由分步计数原理，得不同的支教分派方案有种.故答案为：. 三、解答题 21．现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况，由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以个来去序，综上所述，不同分法的种数为． （2）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为． （3）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为2本书，第2堆为2本书，则有种情况， 由于是4本不同的书，因此无需去序．综上所述，不同分法的种数为． （4）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于甲、乙一个拿3本书、一个拿1本书，因此甲和乙有差异，同时也有顺序差异，于是需要乘．综上所述，不同分法的种数为． 22．现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品． (1)试问共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种? (3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种? 【答案】(1)84(2)24(3)64 【详解】（1）从9件产品中抽取3件产品共有种； （2）从9件产品中抽取3件产品，其中一等品、二等品、三等品各1件有种； （3）“抽出的3件产品中至少有1件二等品”的对立事件是“抽取的3件产品没有一件二等品”， 因此抽出的3件产品中至少有1件二等品共有种. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$