第26章 专题课堂(二) 反比例函数的综合应用（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（人教版）河南

C D (0，2) (1，0) (m＋1，2) B B －8 一、反比例函数与一次函数的综合应用 【例1】(宜宾中考)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ eq \f(m,x) (x＜0)的图象相交于点A(－3，n)，B(－1，－3)两点，过点A作AC⊥OP于点C. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求四边形ABOC的面积． 解：(1)把B(－1，－3)代入y＝ eq \f(m,x) ，得m＝3，∴反比例函数的解析式为y＝ eq \f(3,x) ；把A(－3，n)代入y＝ eq \f(3,x) ，得n＝－1，∴点A(－3，－1)；把点A(－3，－1)，B(－1，－3)代入一次函数y＝kx＋b，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋b＝－1，,－k＋b＝－3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝－4，)) ∴一次函数的解析式为y＝－x－4　(2)如图，过点B作BM⊥OP，垂足为M，由题意可知，OM＝1，BM＝3，AC＝1，MC＝OC－OM＝3－1＝2，∴S四边形ABOC＝S△BOM＋S梯形ACMB＝ eq \f(3,2) ＋ eq \f(1,2) (1＋3)×2＝ eq \f(11,2) [对应训练] 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k≠0)在同一平面直角坐标系上的大致图象如图所示，则k，b的取值范围是( ) A.k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＞0，b＜0 2．(2022·荆州)如图是同一直角坐标系中函数y1＝2x和y2＝ eq \f(2,x) 的图象．观察图象可得不等式2x> eq \f(2,x) 的解集为( ) A.－1<x<1 B．x<－1或x>1 C．x<－1或0<x<1 D．－1<x<0或x>1 3．(2022·江西)如图，点A(m，4)在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x>0)的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1. (1)点B的坐标为_________，点D的坐标为______，点C的坐标为___________(用含m的式子表示)； (2)求k的值和直线AC的解析式． 解：(2)易知k＝4m＝2(m＋1)，∴m＝1，∴A(1，4)，C(2，2)，∴k＝1×4＝4，设直线AC的解析式为y＝nx＋b, 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＋b＝4，,2n＋b＝2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝－2，,b＝6，)) ∴直线AC的解析式为：y＝－2x＋6 二、反比例函数与二次函数的综合应用 【例2】(2022·绥化)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b2－4ac与反比例函数y＝ eq \f(4a＋2b＋c,x) 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) [对应训练] 4．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与双曲线y＝ eq \f(k,x) 相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为(－2，2)，点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍．记抛物线顶点为E. (1)求双曲线和抛物线的解析式； (2)计算△ABC与△ABE的面积． 解：(1)由点A(－2，2)在双曲线上得双曲线的解析式为y＝－ eq \f(4,x) ，设点B的坐标为(m，－4m)且m＞0，代入y＝－ eq \f(4,x) ，得m＝1，∴B(1，－4)，由题意知c＝0，把A，B的坐标代入y＝ax2＋bx，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－2b＝2，,a＋b＝－4，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－3，)) ∴y＝－x2－3x　 (2)∵抛物线的解析式为y＝－x2－3x＝－(x＋ eq \f(3,2) )2＋ eq \f(9,4) ，∴抛物线的顶点是E(－ eq \f(3,2) ， eq \f(9,4) )，对称轴是直线x＝－ eq \f(3,2) ，∵B(1，－4)，由抛物线的对称性得C(－4，－4)，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) ×5×6＝15.由A，B两点坐标分别为(－2，2)，(1，－4)可求得直线AB的解析式为y＝－2x－2，设抛物线的对称轴交AB于点F，求得F(－ eq \f(3,2) ，1)，EF＝ eq \f(9,4) －1＝ eq \f(5,4) ，∴S△ABE＝S△AEF＋S△BEF＝ eq \f(1,2) × eq \f(5,4) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(5,4) × eq \f(5,2) ＝ eq \f(15,8) 三、反比例函数与几何图形的综合应用 【例3】(重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为( ) A．16 B．20 C．32 D．40 [对应训练] 5．如图，在菱形OABC中，A点在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x<0)的图象上，B点在y轴正半轴上，边OC与反比例函数y＝ eq \f(2,x) (x>0)的图象交于点D，若D为OC的中点，则k＝____． 6．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y＝ eq \f(1,x) (x>0)的图象上，则点E的坐标是____________________． ( eq \f(\r(5)＋1,2) ， eq \f(\r(5)－1,2) ) 7．如图，P1是反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k>0)在第一象限图象上的一点，已知△P1OA1为等边三角形，点A1的坐标为(2，0). (1)直接写出点P1的坐标； (2)求此反比例函数的解析式； (3)若△P2A1A2为等边三角形，则点A2的坐标为_____________． (2 eq \r(2) ，0) 解：(1)P1(1， eq \r(3) )　 (2)∵P1在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k>0)图象上，∴ eq \r(3) ＝ eq \f(k,1) ，即k＝ eq \r(3) ，则反比例函数的解析式为y＝ eq \f(\r(3),x) $$