第26章 专题课堂(六) 二次函数与几何图形综合——难点突破（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（华东师大版）河南

专题课堂(六)　二次函数与几何图形综合——难点突破 第26章　二次函数 数学 九年级下册 华师版 原创新课堂 类型一　二次函数与角度问题 1．(原创题)如图，直线y＝ eq \f(1,2) x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B.抛物线y＝－ eq \f(1,2) x2＋bx＋c经过A，B两点，与x轴交于另一点C. (1)求抛物线的表达式； (2)在直线AB上方抛物线上取点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求点D的坐标． 解：(1)抛物线的表达式为y＝－ eq \f(1,2) x2－ eq \f(3,2) x＋2　 (2)如图，取点B关于x轴的对称点B′(0，－2)，连结AB′.∵点B，B′关于x轴对称，∴∠BAB′＝2∠BAC，又∵∠DBA＝2∠BAC，∴∠DBA＝∠BAB′，∴BD∥AB′，设直线AB′的表达式为y＝kx－2，将点A(－4，0)代入得－4k－2＝0，解得k＝－ eq \f(1,2) ，∴直线AB′的表达式为y＝－ eq \f(1,2) x－2，∵BD∥AB′，B(0，2)，∴直线BD的表达式为y＝－ eq \f(1,2) x＋2，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x2－\f(3,2)x＋2，,y＝－\f(1,2)x＋2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝2)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝3，)) ∴D(－2，3) 类型二　二次函数与线段长或线段和、周长最值问题 2．(2023·东营)如图，抛物线过点O(0，0)，E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上．设B(t，0)，当t＝2时，BC＝4. (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离． 解：(1)设抛物线表达式为y＝ax(x－10)，∵当t＝2时，BC＝4，∴点C的坐标为(2，－4)，∴将点C坐标代入表达式得2a(2－10)＝－4，解得a＝ eq \f(1,4) ，∴抛物线的函数表达式为y＝ eq \f(1,4) x2－ eq \f(5,2) x (2)由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10－2t，当x＝t时，点C的纵坐标为 eq \f(1,4) t2－ eq \f(5,2) t，∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2[(10－2t)＋(－ eq \f(1,4) t2＋ eq \f(5,2) t)]＝－ eq \f(1,2) t2＋t＋20＝－ eq \f(1,2) (t－1)2＋ eq \f(41,2) ，∵－ eq \f(1,2) ＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为 eq \f(41,2) (3)如图，连结AC，BD相交于点P，连结OC，取OC的中点Q，连结PQ，∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴PQ＝CH，∵四边形ABCD是矩形，∴点P是AC的中点，∴PQ＝ eq \f(1,2) OA，∵OA＝8，∴PQ＝ eq \f(1,2) OA＝4，∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度 类型三　二次函数与特殊三角形结合 3．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象交x轴于点A(1，0)，B(3，0)，交y轴于点C. (1)求这个二次函数的表达式； (2)直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值． 解：(1)二次函数的表达式是y＝x2－4x＋3 (2)①当MN＝BM时，m＝ eq \r(2) 或m＝3(舍去)或m＝－ eq \r(2) ；②当BN＝MN时，m＝1或m＝3(舍去)；③当BM＝BN时，m＝2或m＝3(舍去)或m＝0(舍去).综上所述，m的值为 eq \r(2) 或－ eq \r(2) 或1或2 类型四　二次函数与特殊四边形结合 4．(2023·达州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3). (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标； (3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意可设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，把C(0，3)代入，得－3a＝3，解得a＝－1，故抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3 由点B，C的坐标得直线BC的表达式为y＝－x＋3，过点P作y轴的平行线交CB于点H，设点P(x，－x2＋2x＋3)，则点H(x，－x＋3)， ∴PH＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x，∴S△PBC＝S△PHC ＋S△PHB＝ eq \f(1,2) PH·OB＝ eq \f(1,2) (－x2＋3x)×3＝－ eq \f(3,2) (x－ eq \f(3,2) )2＋ eq \f(27,8) ， 当x＝ eq \f(3,2) 时，S△PBC最大＝ eq \f(27,8) ，∴△PBC的面积的最大值为 eq \f(27,8) ，此时点P( eq \f(3,2) ， eq \f(15,4) ) (3)存在．∵抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，∴对称轴为直线x＝1，设点M(1，t)，N(x，y)，∵BC为菱形的边长，∴BC2＝CM2时，即18＝12＋(t－3)2，解得t1＝ eq \r(17) ＋3，t2＝－ eq \r(17) ＋3，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋1＝0＋x，,0＋t＝3＋y，)) ∴x＝4，y＝t－3，∴N1(4， eq \r(17) )，N2(4，－ eq \r(17) )；当BC2＝BM2时，即18＝(3－1)2＋t2，解得t3＝ eq \r(14) ，t4＝－ eq \r(14) ，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋x＝0＋1，,0＋y＝3＋t，)) ∴x＝－2，y＝3＋t，∴N3(－2， eq \r(14) ＋3)，N4(－2，－ eq \r(14) ＋3)，即点N的坐标为(4，－ eq \r(17) )或(4， eq \r(17) )或(－2， eq \r(14) ＋3)或(－2，－ eq \r(14) ＋3) $$