第3章 专题课堂(十) 圆中常见的辅助线归类（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

类型一　遇弦加弦心距或半径 1 B 1．(白银中考)如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝( ) A．48° B．24° C．22° D．21° D 3 C 3 类型二、遇直径添加直径所对的圆周角 【例2】如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝6，BC＝3，则∠BDC＝____度． 【分析】连接AC，首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后根据直角三角形的两边利用锐角三角函数确定∠A的度数，最后利用圆周角定理确定答案即可． 30 6 4．(营口中考)如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是( ) A．110° B．130° C．140° D．160° B 7 5．(2022·郴州)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P. (1)求证：直线PE是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长． 类型三　遇切线连接圆心和切点 【例3】如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求DE的长． 【分析】(1)连接OD，欲证明DE是⊙O的 切线，只要证明OD⊥DE即可； (2)过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在Rt△AOF中利用勾股定理求出OF即可． 11 13 15 【例1】如图，在半径为10的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为( ) A．6 B．6 eq \r(2) C．8 D．8 eq \r(2) 【分析】作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N.连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长． 2．(聊城中考)如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝ eq \r(2) ，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为( ) A．95° B．100° C．105° D．110 3．(湖州中考)如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是____． 解：(1)连接OD，如图，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB， ∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即PE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴直线PE是⊙O的切线 (2)连接AD，如图，∵DE⊥AC，∴∠AEP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠PAE＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∵⊙O的半径为6，∴BC＝AB＝12，∠C＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝CD＝ eq \f(1,2) BC＝6，在Rt△CDE中，CE＝CD·cos C＝6cos60°＝3 解：(1)连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线 (2)过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝ eq \r(AO2－AF2) ＝ eq \r(52－32) ＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4 6．(2022·邵阳)如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，点A为切点，且AB＝AC. (1)求∠ACB的度数； (2)若⊙O的半径为3，求圆弧 (︵)) 的长． 解：(1)如图，连接OA，∵AB是⊙O的切线，点A为切点，∴∠BAO＝90°，又∵AB＝AC，OA＝OC，∴∠B＝∠ACB＝∠OAC，设∠ACB＝x°，则在△ABC中，x＋x＋x＋90＝180，解得x＝30，∴∠ACB的度数为30° (2)∵∠ACB＝∠OAC＝30°，∴∠AOC＝120°，∴ (︵)) 的长为 eq \f(120π×3,180) ＝2π 7．(2022·临沂)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD.过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线，⊙O及BD于点E，F，G. (1)求证：∠D＝∠E； (2)若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积． 解：(1)如图，连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBE＝90°，∴∠E＋∠BOE＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠D＋∠DCB＝90°，∵OE∥BC，∴∠BOE＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOE＝∠OCB，∴∠D＝∠E (2)∵F为OE的中点，OB＝OF，∴OF＝EF＝3，∴OE＝6，∴BO＝ eq \f(1,2) OE，∵∠OBE＝90°，∴∠E＝30°，∴∠BOG＝60°，∵OE∥BC，∠DBC＝90°，∴∠OGB＝90°，∴OG＝ eq \f(3,2) ，BG＝ eq \f(3,2) eq \r(3) ，∴S△BOG＝ eq \f(1,2) OG·BG＝ eq \f(1,2) × eq \f(3,2) × eq \f(3,2) eq \r(3) ＝ eq \f(9,8) eq \r(3) ，S扇形BOF＝ eq \f(60π×32,360) ＝ eq \f(3,2) π，∴S阴影部分＝S扇形BOF－S△BOG＝ eq \f(3,2) π－ eq \f(9,8) eq \r(3) $$