第3章 专题课堂(七) 与圆有关角的计算和证明（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

1 2 B 3 4 A 5 7.5 6 7 8 C 9 10 11 12 13 类型一　圆心角、弧、弦的关系 【例1】如图，已知点A，B，C在⊙O上，且 eq \x\to(AB) ∶ eq \x\to(BC) ∶ eq \x\to(AC) ＝2∶3∶4. (1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的大小； (2)猜测∠BOC与∠BAC有怎样数量关系，并给予证明． 解：(1)∵ eq \x\to(AB) ∶ eq \x\to(BC) ∶ eq \x\to(AC) ＝2∶3∶4，∴∠AOB∶∠BOC∶∠AOC＝2∶3∶4，∵∠AOB＋∠BOC＋∠AOC＝360°，∴∠AOB＝80°，∠BOC＝120°，∠AOC＝160° (2)∠BOC＝2∠BAC.证明如下：∵OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∵∠AOB＝80°，∠AOC＝160°，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∠OAC＝∠OCA＝10°，∴∠BAC＝60°，∠BOC＝2∠BAC 1．(咸宁中考)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为( ) 6 B．8 C．5 eq \r(2) D．5 eq \r(3) 2．如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，且BE＝DE，求证： eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(BC) . 证明：在△AED和△CEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,∠D＝∠B，,DE＝BE，)) ∴△AED≌△CEB(AAS)， ∴AD＝CB，∴ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(BC) 类型二　垂径定理及应用 【例2】(临安区中考)如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，则BC＝( ) 6 eq \r(3) B．6 eq \r(2) C．3 eq \r(3) D．3 eq \r(2) 3．(2022·荆州)如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20 cm，底面直径BC＝12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm，则球的半径为________cm(玻璃瓶厚度忽略不计). 类型三　圆周角定理及推论 【例3】如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，P是CBD上任意一点，AH＝2，CH＝4. (1)求⊙O的半径r的长度； (2)求sin ∠CPD. 解：(1)连接OC，∵AB⊥CD，∴∠CHO＝90°，在Rt△COH中，∵OC＝r，OH＝r－2，CH＝4，∴r2＝42＋(r－2)2，∴r＝5 (2)连接OD.∵AB⊥CD，AB是直径，∴ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(AC) ＝ eq \f(1,2) eq \x\to(CD) ，∴∠AOC＝ eq \f(1,2) ∠COD.∵∠CPD＝ eq \f(1,2) ∠COD，∴∠CPD＝∠COA，在Rt△OCH中，sin ∠COA＝ eq \f(CH,CO) ＝ eq \f(4,5) ，∴sin ∠CPD＝sin ∠COA＝ eq \f(4,5) 4．(2022·贵港)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是( ) 40° B．45° C．50° D．55° 5．(2022·广东)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； (2)若AB＝ eq \r(2) ，AD＝1，求CD的长度． 解：(1)△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴ eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(BC) ，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形 (2)在Rt△ABC中，AB＝BC＝ eq \r(2) ，∴AC＝2，在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD＝ eq \r(3) ，即CD的长度为 eq \r(3) 类型四　圆的内接四边形 【例4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E. (1)若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数； 解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， 又∵∠ABC＋∠CBE＝180°， ∴∠CBE＝∠ADC＝86° (2)若AC＝EC，求证：AD＝BE. 证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，由(1)知∠ADC＝∠CBE，∴在△ADC和△EBC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠EBC，,∠DAC＝∠E，,AC＝EC，)) ∴△ADC≌△EBC(AAS)，∴AD＝BE 6．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且∠D＝∠E. (1)求证：∠D＝∠CBE； (2)求证：CB＝CE； (3)设AD不是圆O的直径，AD的中点为点M， 且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形． 证明：(1)∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠D＋∠ABC＝180°，又∵∠CBE＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBE (2)∵∠D＝∠CBE，∠D＝∠E，∴∠CBE＝∠E，∴CB＝CE (3)设BC的中点为N，连接MN，∵BM＝MC，∴MN⊥BC，∴点O在直线MN上．又∵AD不是圆O的直径，M为AD的中点，∴OM⊥AD，∴MN⊥AD，∴BC∥AD，∴∠A＝∠CBE.又∵∠D＝∠CBE，∴∠A＝∠D，又∵∠D＝∠E，∴△ADE为等边三角形 $$