第3章 专题课堂(九) 计算圆中阴影部分的面积（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

类型一　利用“割补法”求面积 1 π A 3 C A 类型二　利用“等积法”或“平移法”求面积 10 A 6．如图，两个半圆中，长为24的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于________． 72π 12 D 13 B 14 17 【分析】连接AD，则AD⊥BC，则△ACD∽△BCA；可以求出AC＝2，因而∠B＝30°，根据扇形的面积公式就可以求出两个半圆的公共部分的面积．用以AC为直径的半圆的面积，减去公共部分的面积就得到阴影部分的面积. 2 9．(十堰中考)如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB.若阴影部分的面积为(π－1)，则AC＝____． 19 【例1】(广东中考)如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为____．(结果保留π) 【分析】连接OE，在求不规则图形面积时，主要思路是将其转化成规则图形面积．S阴影＝S扇形OED. 1．(泰州中考)如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为 (︵)) 上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E.若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为( ) A．10π B．9π C．8π D．6π 2．(枣庄中考)如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以点C为圆心，2为半径作圆弧 (︵)) ，再分别以点E，F为圆心，1为半径作圆弧 (︵)) ， (︵)) ，则图中阴影部分的面积为( ) A．π－1 B．π－3 C．π－2 D．4－π 3．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A．24 eq \r(3) －4π B．12 eq \r(3) ＋4π C．24 eq \r(3) ＋8π D．24 eq \r(3) ＋4π (2022·河南)如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处， 得到扇形A′O′B′.若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为___________． eq \f(π,3) ＋ eq \f(\r(3),2) 5．(黄冈中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积． 解：(1)如图，连接OE，OF，过点O作OD⊥AB于点D，∵BC切⊙O于点E，∴OE⊥BC，又BO平分∠ABC，∴OD＝OE，OD是圆的一条半径，∴AB是⊙O的切线 (2)∵BC，AC与圆分别相切于点E，点F，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF是正方形，∴OE＝OF＝EC＝FC＝1，∴BC＝BE＋EC＝4，又AC＝3，∴S阴影＝ eq \f(1,2) (S△ABC－S正方形OECF－优弧所对的S扇形EOF)＝ eq \f(1,2) ×( eq \f(1,2) ×4×3－1×1－ eq \f(270π×12,360) )＝ eq \f(5,2) － eq \f(3π,8) .故图中阴影部分的面积是 eq \f(5,2) － eq \f(3π,8) 【例2】(毕节中考)如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为 eq \f(1,3) π，则图中阴影部分的面积为( ) A． eq \f(1,6) π　　B． eq \f(3,16) π　　C． eq \f(1,24) π　　D． eq \f(1,12) π＋ eq \f(\r(3),4) 【分析】连接OC，OD，根据C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可． 类型三　旋转型 【例3】(攀枝花中考)如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A′，则图中阴影部分的面积是( ) A． eq \f(π,2) 　　　B． eq \f(3π,4) 　　　C．π　　　D．3π 【分析】由阴影部分面积＝半圆A′B面积＋扇形ABA′的面积－半圆AB的面积＝扇形ABA′的面积即可得出答案． 7．(乐山中考)在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为( ) A． eq \f(π,4) B． eq \f(π－\r(3),2) C． eq \f(π－\r(3),4) D． eq \f(\r(3),2) π 8．如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处，再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG. (1)求证：EF∥CG； (2)求点C，点A在旋转过程中形成的 (︵)) ， (︵)) 与线段CG所围成的阴影部分的面积． 解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝CE，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG (2)∵AD＝2，E是AB的中点，∴BF＝BE＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×2＝1，∴AF＝ eq \r(AB2＋BF2) ＝ eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) ，由平行四边形的性质得△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△CGF－S扇形FAG＝ eq \f(90π×22,360) ＋ eq \f(1,2) ×2×1＋ eq \f(1,2) ×(1＋2)×1－ eq \f(90π×（\r(5)）2,360) ＝ eq \f(5,2) － eq \f(π,4) 类型四　重叠型 【例4】如图，以直角三角形的两条直角边AC，AB为直径，向三角形内作半圆， 两半圆交于点D，CD＝1，BD＝3，则图中阴影部分的面积为___________． ( eq \r(3) － eq \f(π,3) ) $$