第3章 专题课堂(八) 圆的切线（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

类型一　切线的判定 【例1】如图所示，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在⊙O上，∠CAB＝30°.求证：DC是⊙O的切线． 【分析】要证明DC是⊙O的切线，我们只需要连接OC，证明∠OCD＝90°即可． 1 1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC＝60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D.求证：CD是⊙O的切线． 证明：∵AC平分∠FAB，∴∠FAC＝∠CAO，∵AO＝CO，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠FAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，∵点C在圆上，∴CD是⊙O的切线 3 2．(2022·百色)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD. (1)求证：MC是⊙O的切线； (2)若AB＝BM＝4，求tan ∠MAC的值． 类型二　切线的性质 【例2】如图所示，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，延长AB到点C，使BC＝OB，过点C作⊙O的切线CE，E为切点，与BD交于点F，AE的延长线交BD于点D. (1)求∠C的度数； (2)请你判断△DEF的形状，并给予证明． 7 3．(陕西中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC，BC交于点M，N. (1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB； (2)连接MD，求证：MD＝NB. 9 11 证明： 如图，连接OC，BC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝30°，∴BC＝ eq \f(1,2) AB＝OB.∵BD＝OB，∴BC＝OB＝BD，∴∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线 解：(1)∵AD⊥MC，∴∠D＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠MAD，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥DA，∴∠D＝∠OCM＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴MC是⊙O的切线 (2)∵AB＝4，∴OC＝OB＝ eq \f(1,2) AB＝2，∴OM＝OB＋BM＝6，在Rt△OCM中，MC＝ eq \r(OM2－OC2) ＝ eq \r(62－22) ＝4 eq \r(2) ，∵OC∥DA，∴△MCO∽△MDA，∴ eq \f(MC,MD) ＝ eq \f(OC,AD) ＝ eq \f(MO,AM) ，即 eq \f(4\r(2),MD) ＝ eq \f(2,AD) ＝ eq \f(6,8) ，∴MD＝ eq \f(16,3) eq \r(2) ，AD＝ eq \f(8,3) ，∴CD＝MD－MC＝ eq \f(4,3) eq \r(2) ，在Rt△ACD中，tan ∠DAC＝ eq \f(DC,AD) ＝ eq \f(\f(4,3)\r(2),\f(8,3)) ＝ eq \f(\r(2),2) ，∵∠MAC＝∠DAC，∴tan ∠MAC＝tan ∠DAC＝ eq \f(\r(2),2) 解：(1)连接OE.∵CE切⊙O于点E，∴OE⊥EC.∵OB＝BC，OB＝OE，∴在Rt△OEC中，OC＝2OE，∴∠C＝30° (2)△DEF为等边三角形．证明如下：∵∠C＝30°，∴∠COE＝60°，∴∠A＝ eq \f(1,2) ∠COE＝ eq \f(1,2) ×60°＝30°.∵BD切⊙O于点B，∴AB⊥BD.∴在Rt△ABD中，∠D＝90°－∠A＝60°.在Rt△FBC中，∠BFC＝90°－∠C＝60°，又∵∠BFC＝∠DFE，∴∠D＝∠DFE＝60°，∴△DEF为等边三角形 证明：(1)连接ON，如图，∵CD为斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝DB，∴∠1＝∠B，∵OC＝ON，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠B，∴ON∥DB，∵NE为切线，∴ON⊥NE，∴NE⊥AB (2)连接DN，如图，∵CD为直径，∴∠CMD＝∠CND＝90°，而∠MCB＝90°，∴四边形CMDN为矩形，∴DM＝CN，∵DN⊥BC，CD＝BD，∴CN＝BN，∴MD＝NB 4．(荆门中考)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于点F，FM⊥AB于点H，分别交⊙O，AC于点M，N，连接MB，BC. (1)求证：AC平分∠DAE； (2)若cos M＝ eq \f(4,5) ，BE＝1. ①求⊙O的半径； ②求FN的长． 解：(1)连接OC，如图，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE，又∵AD⊥DE，∴OC∥AD.∴∠1＝∠3，∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AC平分∠DAE (2)①由(1)知OC∥AD，∴∠COE＝∠FAB，∵∠FAB＝∠M，∴∠COE＝∠M，设⊙O的半径为r，在Rt△OCE中，cos ∠COE＝cos M＝ eq \f(OC,OE) ＝ eq \f(4,5) ，即 eq \f(r,r＋1) ＝ eq \f(4,5) ，解得r＝4，即⊙O的半径为4 ②如图，连接BF.∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，而DE⊥AD，∴BF∥DE，在Rt△AFB中，cos ∠FAB＝cos M＝ eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(4,5) ，∴AF＝8× eq \f(4,5) ＝ eq \f(32,5) ，在Rt△OCE中，OE＝5，OC＝4，∴CE＝3，∵AB⊥FM，∴ (︵)) ＝ (︵)) ，∴∠5＝∠4，∵BF∥DE，∴∠5＝∠E＝∠4，由(1)知∠1＝∠2，∴△AFN∽△AEC，∴ eq \f(FN,EC) ＝ eq \f(AF,AE) ，即 eq \f(FN,3) ＝ eq \f(\f(32,5),9) ，∴FN＝ eq \f(32,15) $$