第1章 专题课堂(一) 解直角三角形的实际应用（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

2 3 5 A 6 7 8 10 12 15 16 17 类型一　方程思想 【例1】(2022·梧州)今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB.如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB＝52°，∠ADB＝60°，CD＝200 m，求AB的高度．(精确到1 m， 参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28， eq \r(3) ≈1.73) 【分析】设AB＝x m，利用直角三角形的边角关系定理分别 表示出CB，BD的长度，利用CD＝CB－DB列出方程求解即可． 解：设AB＝x m，在Rt△ABC中，∵tan ∠ACB＝ eq \f(AB,BC) ，即tan52°＝ eq \f(x,BC) ，BC≈ eq \f(x,1.28) .在Rt△ABD中，∵tan ∠ADB＝ eq \f(AB,BD) ，即tan60°＝ eq \f(x,BD) ，∴BD＝ eq \f(x,\r(3)) .∵CD＝CB－DB，即 eq \f(x,1.28) － eq \f(x,1.73) ＝200，解得x≈984.∴AB的高度约为984米 1．(2022·铜仁)为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C，D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C，D两点之间的距离为80 m，直线AB，CD在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB的高度．(结果保留整数，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84， eq \r(3) ≈1.73) 解：延长DC交AB于点E，则DE⊥AB，设CE＝x米， 在Rt△AEC中，∠ACE＝60°，∴AE＝EC·tan60°＝ eq \r(3) x(米)，在Rt△BEC中，∠BCE＝40°，∴BE＝EC·tan40°≈0.84x(米)，在Rt△AED中，∠D＝30°，∴DE＝ eq \f(AE,tan30°) ＝ eq \f(\r(3)x,\f(\r(3),3)) ＝3x(米)，∵CD＝80米，∴DE－CE＝CD，即3x－x＝80，∴x＝40，∴AB＝AE＋BE≈40×(1.73＋0.84)＝102.8≈103(米)，∴桥墩AB的高度约为103米 2．(2022·内江)如图所示，九(1)班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A，B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60 m的C，D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°. (1)求河的宽度； (2)古树A，B之间的距离为 _______ 米．(结果保留根号) 20 eq \r(3) 解：(1)过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE＋CD＝(x＋60)米，∠ACE＝180°－∠ACB－∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE·tan45°＝x(米)，在Rt△ADE中，tan30°＝ eq \f(AE,ED) ，即 eq \f(x,x＋60) ＝ eq \f(\r(3),3) ，解得x＝30 eq \r(3) ＋30，经检验：x＝30 eq \r(3) ＋30是原方程的根，∴AE＝(30 eq \r(3) ＋30)米，即河的宽度为(30 eq \r(3) ＋30)米 类型二　转化思想 【例2】(常德中考)如图①是自动卸货汽车卸货时的状态图，图②是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．(结果保留一位小数，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14，sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75， eq \r(2) ≈1.41) 【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长． 解：方法一：如图①，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin ∠CAB＝sin (60°＋5°)＝sin 65°＝ eq \f(CF,AC) ，∴CF＝AC·sin 65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝ eq \r(2) CF≈1.41×1.82≈2.6，∴BC的长度约为2.6米　方法二：如图②，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°－65°－45°＝70°，∴cos C＝cos 70°＝ eq \f(CE,AC) ，即CE＝AC×cos 70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin 70°＝ eq \f(AE,AC) ，即AE＝AC×sin 70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE＋CE＝0.68＋1.88≈2.6，∴BC的长度约为2.6米 3．(2022·聊城)我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”(如图①)，数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°(点B，H，D三点在同一直线上).已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度．(结果精确到1米．参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01) 解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，由题意知，AM＝BH，CN＝DH，AB＝MH，在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，∴tan ∠EAM＝ eq \f(EM,AM) ，∴AM＝ eq \f(EM,tan ∠EAM) ＝ eq \f(EH－MH,tan26.6°) ≈ eq \f(45－39,0.5) ＝12(米)，∴BH＝AM＝12米，∵BD＝20，∴DH＝BD－BH＝8米，∴CN＝8米，在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，∴tan ∠ECN＝ eq \f(EN,CN) ，∴EN＝CN·tan ∠ECN≈8×4.01＝32.08(米)，∴CD＝NH＝EH－EN≈45－32.08≈13(米)，答：古槐的高度约为13米 $$