第1章 章末复习(一) 直角三角形的边角关系（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

A 1 A 2 B 1 75° 3 C 4 B 16 测量项目 测量数据 从A处测得路灯顶部P的仰角α α＝58° 从D处测得路灯顶部P的仰角β β＝31° 测角仪到地面的距离 AB＝DC＝1.6 m 两次测量时测角仪之间的水平距离 BC＝2 m 知识点❶：利用锐角三角函数的定义求值 1．(柳州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin B＝( ) A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5) C． eq \f(3,7) D． eq \f(3,4) 2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，BD＝4，AD＝2 eq \r(5) ，则tan ∠CAD的值是( ) A．2 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D． eq \r(5) 3．(杭州中考)在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝_______________． eq \f(\r(3),2) 或 eq \f(2\r(5),5) 知识点❷：特殊角的锐角三角函数值 4．关于x的一元二次方程x2－ eq \r(2) x＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( ) A．15° B．30° C．45° D．60° 5．计算：cos245°＋tan30°sin60°＝_____________． 6．在△ABC中，如果锐角∠A，∠B满足|tan A－1|＋(cos B－ eq \f(1,2) )2＝0，那么∠C＝____________． 知识点❸：解直角三角形 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ eq \f(4,5) ，AC＝6 cm，则BC的长度为( ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 8．(遵义中考)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan 15°＝ eq \f(AC,CD) ＝ eq \f(1,2＋\r(3)) ＝ eq \f(2－\r(3),（2＋\r(3)）（2－\r(3)）) ＝2－ eq \r(3) .类比这种方法，计算tan 22.5°的值为( ) A． eq \r(2) ＋1 B． eq \r(2) －1 C． eq \r(2) D． eq \f(1,2) 9．(海南中考)如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0， eq \r(3) )，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是___________________． (4， eq \r(3) ) 10．(上海中考)如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos ∠ABC＝ eq \f(4,5) ，BF为AD边上的中线． (1)求AC的长； (2)求tan ∠FBD的值． 解：(1)∵cos ∠ABC＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(4,5) ，BC＝8，∴AB＝10，∵AC⊥BD，∴∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(102－82) ＝6，即AC的长为6　 (2)如图，连接CF，过点F作BD的垂线，垂足为E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝ eq \f(1,2) AD＝FD，∴△CFD为等腰三角形，∵FE⊥CD，∴CE＝ eq \f(1,2) CD＝2，∴EF＝ eq \f(1,2) AC＝3，∴tan ∠FBD＝ eq \f(FE,BE) ＝ eq \f(FE,BC＋CE) ＝ eq \f(3,10) 知识点❹：解直角三角形的应用 11．(2022·孝感)如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6 m，则甲建筑物的高度AB约为_________m．(sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数) 解：过点C作CF⊥DE于点F，由题意，得∠D＝40°，∠ACB＝68°，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∵tan ∠ACB＝ eq \f(AB,CB) ，∴AB＝CB·tan68°≈200×2.48≈496(m)，∴BE＝AB－AE＝496－200＝296(m)，∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，∴四边形FEBC为矩形，∴CF＝BE＝296 m，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∵sin D＝ eq \f(CF,CD) ，∴CD＝ eq \f(CE,sin D) ≈ eq \f(296,0.64) ＝462.5(m).答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5 m 13．(2022·盘锦)某数学小组要测量学校路灯P—M—N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下： 计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？(结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60) 解：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，AD＝BC＝2 m，AB＝CD＝EF＝1.6 m，设AF＝x m，∴DF＝AF＋AD＝(x＋2)m，在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，∴PF＝AF·tan58°≈1.6x(m)，在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，∴tan31°＝ eq \f(PF,DF) ＝ eq \f(1.6x,x＋2) ≈0.6，∴x＝1.2，经检验：x＝1.2是原方程的根，∴PF＝1.6x＝1.92(m)，∴PE＝PF＋EF＝1.92＋1.6≈3.5(m)，∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米 $$