精品解析：天津市崇化中学2024-2025学年高二下学期阶段性检测（一）（4月）数学试题

2024-2025高二数学阶段性检测（一） 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数运算性质判断各选项即可. 【详解】因为 , 所以A错误； 因为 , 所以B错误； 因为, 所以C错误； 因为 , 所以D正确. 故选: D. 2. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得的值，再求得的值. 【详解】依题意，令得 所以，所以，故选D. 【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查方程的思想，属于基础题. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调递增区间. 【详解】的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数单调区间，属于基础题. 4. 五人并排站成一排，如果必须相邻，那么不同的排法有（ ） A. 60种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】将看做一个整体，再将4个元素全排列，进而可求解. 【详解】第一步看做一个整体，内部有， 第二步，4个元素的全排列有， 所以不同的排法有， 故选：B 5. 函数为上的单调函数,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，对任意的恒成立，可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，对任意的恒成立， 所以，，解得. 故选：B. 6. 当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，某地区安排A，B，C，D，E五名同志全部到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ） A. 86种 B. 64种 C. 42种 D. 30种 【答案】D 【解析】 【分析】分两类①当两个地区各分2人另一个地区分1人，②当两个地区各分1人另一个地区分3人结合排列组合知识得出答案. 【详解】①当两个地区各分2人另一个地区分1人时，总数有种； ②当两个地区各分1人另一个地区分3人时，总数有种. 故满足条件的分法共有种. 故选：D 7. 把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，则不同方法有（　　） A. 16 B. 24 C. 64 D. 81 【答案】A 【解析】 【分析】依题意分成按1，1，1放或按1，2放两类情况分别计数，再运用加法原理计算即可. 【详解】把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球， 可分成两类情况： ①在4个不同的盒子中任取3个盒子，每个盒子中放一个，有种放法， ②把3个球分为两组，一组1个，一组2个，分别放到两个不同的盒子中，有种放法. 由分类加法计数原理：不同方法有：4+12=16种． 故选：A． 8. 从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（ ） A. 36 B. 54 C. 60 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步计数原理与插空法即可求解. 【详解】根据题意，完成这件事可分三部： 第一步，选数字，有种； 第二步，将选好的三个数字确定一个重复的数字，有种； 第三步，安排这三个数字在三个位置上，且相邻数位上的数字不同， 即先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字取插空，则有种排序方法； 由分步计数原理可得这样的四位数共有个. 故选：D 9. 函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，由得，方程无解，因此函数无极值点 考点：函数导数与极值 10. 已知函数，，若对任意的存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，转化为，利用导数求得函数单调性和最小值， 再由函数，结合二次函数的性质，分类讨论求得最小值，列出不等式，即可求解. 【详解】因为对任意的存在，使成立，即， 由函数，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由函数， 当时，函数在上单调递增，， 即，解得，不成立，舍去； 当时，函数在上单调递减，上单调递增，， 即，解得或，不成立，舍去； 当时，函数在上单调递减，， 即，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 计算：__________________(用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的计算方法即可解答. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 12. 从班委会 5 名成员中选出 3 名， 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_______________种.(用数字作答） 【答案】36 【解析】 【详解】先从班委会除了甲、乙的另外3名成员中选出1名担任文娱委员有,再从剩余的4人中选出两人分别担任学习委员和体育委员有，共有种选法 13. 函数，的最大值是_________________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出导函数；再利用导函数判断函数的单调性，进而可求出函数的最大值. 【详解】由可得：. 因为， 所以令，解得；令，解得， 则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以函数，的最大值是. 故答案为：. 14. 身高互不相同的个人呈横排纵列照相，每个人都比他同列身后的人个子矮，则不同的排法种数是__________种． 【答案】90 【解析】 【分析】根据条件，将个人平均分成三组，再全排，即可求出结果. 【详解】将个人平均分成三组，有种方法， 再进行全排，有种排法， 故答案为：. 15. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，故． 故答案为：. 16. 已知定义在R上的可导函数 的导函数为，满足，且 ，则不等式的解集为___________________. 【答案】 【解析】 【分析】构造新函数并利用函数单调性即可求得不等式的解集 【详解】构造函数，则， 因为，所以， 故函数在R上为增函数，又，所以， 故由不等式，可得，所以， 故所求不等式的解集为. 故答案为： 三、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设函数(mR). （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调增区间. 【答案】（1）.（2） 【解析】 分析】（1）由，求导， 求出，，写出切线方程. （2）当时，，求导，然后由求解. 【详解】（1）当时，， ， 在处的切线方程为 即. （2）当时，， 令，得 ，， 解得(舍去)或， 的单调增区间是. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18. 已知函数 ，当 时取极小值，当 时取极大值. （1）求a，b的值； （2）求函数 在 上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 分析】（1）根据题意，求导可得，由代入计算，然后检验即可得到结果； （2）根据题意，先由导数求得函数的极值，然后求得端点值，比较大小，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得，解得， 经检验符合题意，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，， 则，， 令，解得或， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以时，函数有极小值， 时，函数有极大值， 且，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 19. 有7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名. （1）若老师站在最中间的站法有多少种? （2）若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种? （3）若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种? （4）现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种? 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由特殊元素优先安排求解即可； （2）相邻元素捆绑法，不相邻元素插空法求解即可； （3）利用间接法先不考虑甲，乙，然后减去甲站最左边，乙站最右边的方法数求解即可； （4）相同元素分配问题采用隔板法求解即可. 【小问1详解】 老师站在最中间的站法有种方法； 【小问2详解】 两位女生相邻，捆绑到一起有种方法，然后看成一个大元素与老师不相邻采用插空法， 先将其他人排成一排种方法，有个空选个空插进去有种方法， 所以共有种方法； 【小问3详解】 先不考虑甲，乙站成一排有，然后减掉甲站最左边有种方法，乙站最右边有种方法， 再加上多减的甲站最左边，同时乙站最右边的方法种，所以共有种方法； 【小问4详解】 先将16个相同口罩给每人发1个口罩，则剩下个口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发1个口罩即可， 所以采用隔板法，个口罩之间有个空选择个空隔板有种方法. 20. 已知函数 （1）若 当 时，证明： 恒成立； （2）若函数在 处的切线与直线 垂直， 且对任意的 恒成立，求k的最大整数值. 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明； （2）根据导数的几何意义求出，将原问题转化为对，恒成立，利用导数分类讨论研究的性质求出，令即可. 【小问1详解】 当时，令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立 【小问2详解】 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 设，则， 令，得. 当即时， 由，得；由，得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，需，得. 当时，，成立； 当时，设， 单调递减，又，所以不成立； 所以实数的最大整数值为3. 当即时，，，在上单调递增， 所以，符合题意. 综上，实数的最大整数值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二数学阶段性检测（一） 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 4. 五人并排站成一排，如果必须相邻，那么不同排法有（ ） A. 60种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 5. 函数为上的单调函数,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，某地区安排A，B，C，D，E五名同志全部到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ） A 86种 B. 64种 C. 42种 D. 30种 7. 把3个相同小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，则不同方法有（　　） A. 16 B. 24 C. 64 D. 81 8. 从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（ ） A. 36 B. 54 C. 60 D. 72 9. 函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 10. 已知函数，，若对任意的存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 计算：__________________(用数字作答). 12. 从班委会 5 名成员中选出 3 名， 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同选法共有_______________种.(用数字作答） 13. 函数，的最大值是_________________. 14. 身高互不相同的个人呈横排纵列照相，每个人都比他同列身后的人个子矮，则不同的排法种数是__________种． 15. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______． 16. 已知定义在R上可导函数 的导函数为，满足，且 ，则不等式的解集为___________________. 三、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设函数(mR). （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调增区间. 18. 已知函数 ，当 时取极小值，当 时取极大值. （1）求a，b的值； （2）求函数 在 上的最大值与最小值. 19. 有7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名. （1）若老师站在最中间的站法有多少种? （2）若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种? （3）若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种? （4）现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种? 20. 已知函数 （1）若 当 时，证明： 恒成立； （2）若函数在 处的切线与直线 垂直， 且对任意的 恒成立，求k的最大整数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$