精品解析：四川省广安市友谊中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

广安友谊中学2025年春季高2023级3月月考数学试题 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】由于数列的分母是从开始的奇数，分子为， 所以通项公式是. 故选：. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式及复合函数求导逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 3. 已知事件与事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件概率的基本运算法则直接计算求解. 【详解】对于A，由于不清楚事件与事件是否相互独立，所以无法计算，故A错误； 对于B，因为事件与事件互斥，所以，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B 4. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的项的性质化简求解. 【详解】在等比数列中，， 则 则. 故选：B. 5. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示，则用电量低于150度的户数为（ ） A. 30 B. 18 C. 36 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】先利用频率分布直方图求得用电量低于150度频率，然后即可求解频数. 【详解】由频率分布直方图得：用电量低于150度的频率为， 所以用电量低于150度的户数为. 故选：. 6. 已知等差数列的，公差，则数列的前2025项和为（ ） A. B. C. 505 D. 1013 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式求出，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可. 【详解】因为， ， 所以，此时令， 而其前项和为， ，故D正确. 故选：D 7. 已知数列满足是数列的前项和，则（ ） A. 64 B. 75 C. 128 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由递推公式求得前4项，即可求解. 【详解】由， 可得：，得， ，得 ，得 所以， 故选：B 8. 已知一个各项非零的数列满足且且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，递推关系可化为，证明，证明数列为等比数列，由此可求数列的通项公式，再分别在，，条件下判断函数的单调性可得结论. 【详解】由条件可得：且，， 所以， 设，则， 所以 若，则,，与矛盾， 所以，故， 所以数列为以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故， 所以数列为递减数列， 令，可得， 所以当，且时，， 当，且时，， 与条件矛盾， 所以的取值范围是， 故选：A. 二､多选题：本题共3个小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ） A. 在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B. 在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D. 在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】AC 【解析】 【分析】对AB，根据导数的物理意义判断即可；对CD，根据平均速度的定义判断即可. 【详解】对AB，由图象可得在处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A正确，B错误； 对CD，在到范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误. 故选：AC 10. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的方差为4； B. 数据的平均数为24； C. 数据的平均数为10，方差大于1； D. 若数据的中位数为，分位数为，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算方法即可判断，，；由中位数和百分位数的计算方法即可判断. 【详解】对于，因为， 所以， 所以数据的平均数为，故正确； 对于，因为， 所以 ， 所以数据的方差为，故正确； 对于，， ，故错误； 对于，将数据从小到大排序，所以中位数为第三个数和第四个数的平均数， 因为，所以分位数为第五个数， 按从小到大排序后，第五个数大于等于第三个数和第四个数的平均数， 所以，故正确. 故选：. 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 1225既是三角形数，又是正方形数； C. ； D. ，总存在，，使得成立； 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列和的递推公式，由累加法得通项公式，放缩法验证选项A；用通项公式验证选项B；裂项相消求和验证选项C；取实例验证选项D. 【详解】依题意，数列中，，，，，…，，， 于是得，满足上式， 数列中，，，，，…，，， 于是得，满足上式， 因此，， 对于A，， 则，A正确； 对于B，因为，则，又，则，B正确； 对于C，当时，， 则 ，C错误； 对于D，，，取，，则， 所以，，总存在，，使得成立，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数可导，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据导数的定义可得. 故答案为：. 13. 已知数列的通项公式为，函数的对称中心为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】已知数列通项，观察可得待求表达式首末两项与首末等距离的两项和为定值，应用逆序求和思想，结合对称中心性质可得解. 【详解】因为， 且关于对称，所以，则， 又因为， 所以. 故答案为：. 14. 设首项是1的数列的前n项和为，且,若，则正整数m的最大值是_______． 【答案】11 【解析】 【分析】分为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进而根据分组求和结合等比求和公式可得为偶数时的前项和，再确定的值即可． 【详解】， 当为偶数时， ， ，又， 故，故； 当为奇数时， ， ，又， 故，故； 当为偶数时， 由于 当时，， 当时，， 当为奇数时，， 当时，， 故正整数的最大值是11， 故答案为：11. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）； （2）求曲线过点的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，进而结合切线方程求得点，，由此可得三角形面积； （2）设切点坐标，根据导数几何意义可求得在切点处的切线方程，代入点可得，由此可得切线方程. 【小问1详解】 因为函数，所以，所以， 又，所以在点处切线方程为， 即，当时，，当时，， 所以，，所以； 【小问2详解】 设过点的切线与曲线相切于点， 由，所以，所以切线方程为， 因为切线过点，所以，解得， 所以所求切线方程为：，即. 16. 在正项等比数列中，前n项和为，已知. （1）证明：数列为等差数列； （2）令为数列的前n项和，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正项等比数列求得公比，结合通项公式，可得；再由对数的运算性质可得，由等差数列的定义可证得结果； （2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得数列的前项和． 【小问1详解】 证明：∵等比数列中，已知 ∴，解得：或（舍）. ∴是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴，. ∴， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）， ∴， ， 两式相减得：， 整理得：. 17. 在①；②，；③，.这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有__________. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）选①，利用与的关系即可求解；选②，由已知可得数列是等差数列，可得，根据与的关系即可求解；选③，由已知可得，当时可得，验证成立即可求解； （2）由（1）可得，根据裂项相消法求和，再求解即可 【小问1详解】 选①，当时，，解得， 当时，， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以； 选②，因为，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 当时，， 当时，，当时，， 所以； 选③，因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以； 【小问2详解】 因，所以，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以 ，即得证. 18. 单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分. （1）考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分的概率； （2）考生乙有一道答案为ABD多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4分的概率； （3）现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率求解； （2）利用古典概型的概率求解； （3）分丙得12分，丁得6分，丙得9分，丁得9分和丙得6分，丁得12分三种情况，利用独立事件和互斥事件的概率求解. 【小问1详解】 甲同学所有可能的选择答案有A，B，C，D共4种可能结果，样本空间， 其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得5分”，故. 【小问2详解】 乙同学所有可能的选择答案有10种：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD， 样本空间，共有10个样本点， 设N=“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故. 【小问3详解】 由题意得丙得0分的概率为，丁得0分的概率为， 丙丁总分刚好得18分的情况包含： 事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0，0+6，3+3三种情况， 则； 事件B：丙得9分有6+3，3+6两种情况，丁得9分有6+3，3+6两种情况， 则； 事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况， 则； 所以丙丁总分刚好得18分的概率. 19. 已知双曲线，点在上，为常数，.按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为 （1）若，求； （2）证明：数列是公比为的等比数列； （3）设为的面积，证明：对任意正整数. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据题目中构造方式计算出的坐标即可； （2）利用点差法和合比性质即可证明； （3）利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后证明出即可. 【小问1详解】 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. 【小问2详解】 因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. 【小问3详解】 由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广安友谊中学2025年春季高2023级3月月考数学试题 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知事件与事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示，则用电量低于150度的户数为（ ） A. 30 B. 18 C. 36 D. 24 6. 已知等差数列的，公差，则数列的前2025项和为（ ） A. B. C. 505 D. 1013 7. 已知数列满足是数列的前项和，则（ ） A. 64 B. 75 C. 128 D. 32 8. 已知一个各项非零的数列满足且且，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 二､多选题：本题共3个小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程变化情况，下列说法正确的是（ ） A. 在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B. 在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C. 在到范围内，甲平均速度大于乙的平均速度 D. 在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 10. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的方差为4； B. 数据的平均数为24； C. 数据的平均数为10，方差大于1； D. 若数据的中位数为，分位数为，则. 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 1225既是三角形数，又是正方形数； C. ； D. ，总存在，，使得成立； 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数可导，则__________. 13. 已知数列的通项公式为，函数的对称中心为，则__________. 14. 设首项是1的数列的前n项和为，且,若，则正整数m的最大值是_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）； （2）求曲线过点的切线方程. 16. 在正项等比数列中，前n项和为，已知. （1）证明：数列为等差数列； （2）令为数列的前n项和，求. 17. 在①；②，；③，.这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有__________. （1）求的通项公式； （2）设，数列前项和为，证明：. 18. 单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分. （1）考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分的概率； （2）考生乙有一道答案为ABD多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4分的概率； （3）现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率. 19. 已知双曲线，点在上，为常数，.按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为 （1）若，求； （2）证明：数列是公比为的等比数列； （3）设为面积，证明：对任意正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$