精品解析：广东省梅州市2027届高三上学期9月模拟数学试题

高三数学 （2026.9） 本试卷共6页．满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算，即可化简，求得答案. 【详解】由复数四则运算规律知，故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质列出不等式求解即可. 【详解】由题意得：，解得， 所以函数的定义域为. 3. 下列求导运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C错误； ，所以D错误. 4. 若离散型随机变量的分布列如下所示，则的数学期望（ ） 1 2 A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由分布列的性质，所有概率之和为1： 根据数学期望的定义： 5. 某物流公司有7件快递，按顺序重量分别为：6，3，8，2，5，4，7（百公斤）．现按原有顺序分成3组，分别装入3辆货车．设每辆货车装载的快递总重量为该车的“负荷”．那么，这3辆货车中的最大负荷的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合， 同理，其它分组方式总有一组大于12，故A错误； 选项B：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合； 另一种装法：第一组装6，第二组装，剩余， 不符合，同理，其它分组方式总有一组大于13，故B错误； 选项C：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合； 另一种装法：第一组装6，第二组装，剩余， 不符合，同理，其它分组方式总有一组大于14，故C错误； 选项D：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，第三组，符合要求，故D正确． 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用诱导公式将的三角函数值转化为的三角函数值，判断三者符号后再比较正数的大小即可得到结果. 【详解】因为，所以，，， 因为是第三象限角，所以，， 所以，， 又，即， 而， 因为，所以， 所以. 7. 某县区对小学生进行一分钟跳绳测试．已知该县区全体小学生的跳绳次数服从正态分布（单位：次/分钟），而且落在区间内的占比为30%．随机抽调该县区名小学生，其中至少有一位跳绳次数少于105（次/分钟）的概率不低于0.9，则至少需要抽取的学生数为（ ） （参考数据：，，，） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求得单次抽样跳绳次数少于105次的概率，结合对立事件概率关系列不等式，取对数求解最小正整数. 【详解】设该县区小学生一分钟跳绳次数为随机变量，则， 因为落在区间内的占比为，根据正态分布对称性可得， 因为“抽取的名学生中至少有一位跳绳次数少于105次”的对立事件为“名学生跳绳次数均不低于105次”， 可得，即， 两边取对数得，所以， 又，故的最小值为11，即至少需要抽取的学生数为11. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同构构造，通过讨论的单调性，转化为在的恒成立问题，然后再讨论在的最大值，即可得到，即的最小值为. 【详解】若，则，取时，； 此时无法保证对恒成立， 综上可知，. 根据，可得， 于是设，则原不等式转化为对恒成立. 考虑对恒成立， 所以在单调增. 因为时，，且. 所以. 即对恒成立. 考虑函数，则令，解得 所以在单调增，在单调减. 即，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由最小正周期公式可得函数的最小正周期为，正确； 对于B，曲线向左平移个单位长度得到，与原函数不相同，故错误； 对于C，，正确； 对于D，当时，则，由正弦函数图象可得，，故正确. 10. 下列命题中，真命题的有（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，，使得 D. ，，使得 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，当时，则；当时，则，故A正确； 对于B，，，正确； 对于C，令，则（不恒为零），即在上单调递减， 当时，；当不为零时，由函数的单调性可知也不为零，故错误； 对于D，令，由结合零点存在定理可得， ，使得，即，故正确. 11. 设有两个罐子，A罐中放有1个蓝球，1个红球，B罐中放有2个蓝球，这些球的大小与质地相同．规定“先从A罐中摸1个球放入B罐，再从B罐中摸1个球放回A罐”为一轮交换．连续进行轮交换后，红球还在A罐中的概率记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用全概率公式可求出、继而可推出递推关系，即可判断AC；求出即可判断B；根据递推关系构造等比数列，可求出的表达式，从而求得极限，判断D. 【详解】选项A：计算分两种情况：①从A罐摸蓝球放入B罐，概率为，红球必然留在A罐； ②从A罐摸红球放入B罐，概率为，此时B罐有2蓝1红，摸回红球的概率为, 故，A错误； 选项C：根据全概率公式推导递推关系：第n轮后红球在A罐概率为，在B罐概率为， 若红球在A罐，一轮交换后仍在A罐的概率为；若红球在B罐，一轮交换后回到A罐的概率为， 因此，C正确； 选项B：由递推公式，得，B正确. 选项D：由可得，， 故为首项是，公比是的等比数列， 则，即得， 故，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，常数项为___________． 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式定理写出展开式通项，进而求常数项. 【详解】二项式的展开式的通项公式为 且， 要使该项为常数项，即，解得， 常数项为， 所以，展开式中的常数项为. 13. 已知直线为曲线的一条切线，则________； 【答案】 【解析】 【详解】设切点为，对求导得. 由切线斜率为，得，解得. 将代入切线方程，得， 即切点为. 切点在曲线上，代入得： 14. 已知等边的边长为1，在边，上分别取，两点，使沿直线对折，顶点正好落在边上，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】记点正好落在边上的点处，设，，由正弦定理可得，计算可求得的最小值. 【详解】记点正好落在边上的点处，由题意可得两点关于直线对称. 在图2中，可得，则有， 设，则， 再设，则有， 在中，， 所以，又， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 又因为，所以， 当，即时，， 此时取得最小值为，且， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 （1）从新型国产机床所生产的200件样本中抽3件，求恰有1件为次品的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关? 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）（或约为0.387） （2）能判断产品的质量与使用机床的类型有关 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布概率公式计算抽取3件恰有1件次品的概率； （2）计算卡方统计量观测值，与临界值3.841比较得出独立性检验结论. 【小问1详解】 新型国产机床的200件样本中含40件次品、160件良品， 从中不放回抽取3件，符合超几何分布，恰有1件次品的概率为：； 【小问2详解】 提出零假设：产品的质量与使用机床的类型无关， 代入卡方公式计算观测值：， 由于，依据的独立性检验，推断不成立， 即能判断产品的质量与使用机床的类型有关. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，． （1）求证：“”是“”的充分不必要条件； （2）若． ①求角的大小； ②设为的中点，，的面积为，求． 【答案】（1）设为外接圆半径， 若，则，故，故， 所以，结合正弦定理可得， 故，故充分性成立. 若，由正弦定理可得， 故，而， 故或，故或， 故或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. （2）①;② 【解析】 【分析】（1）若，则可根据诱导公式和正弦定理证明充分性，若，则可由正弦定理结合三角函数性质得或，从而必要性不成立； （2）①根据正弦定理结合三角变换公式可求；②根据中线向量可得，再结合面积公式可得，最后由余弦定理可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，由正弦定理可得， 而， 故，而为三角形内角，故， 故即，故（舍）或， 而为三角形内角，故. ②因为为的中点，故， 所以，故， 而的面积为，故，故， 故，故， 由余弦定理可得， 故. 17. 已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角．当时，称为辐角的主值，记为． （1）写出复数和的三角形式，其中辐角取其主值； （2）若，． 证明：，即两个复数相乘，等于模相乘，辐角相加； （3）在复数范围内，解方程：． 【答案】（1）的三角形式为,的三角形式为。 （2） , 故两个复数相乘，等于模相乘，辐角相加. （3）的解为：，，，，. 【解析】 【分析】（1）根据三角形式的定义可求两者的三角形式； （2）根据复数的乘法结合三角变换公式可证题设中的等式； （3）根据复数的三角形式可求方程的复数解. 【小问1详解】 设，其中，， 则即，故， 故的三角形式为. 同理的三角形式为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 设，则， 故，故， 而，故，结合得， 故且，故， 故，其中. 结合正弦函数、余弦函数的周期性可得的解为： ，，， ，， 以上共5个不同的复数解. 18. 已知函数，其中． （1）若，求函数的单调区间； （2）讨论方程的实数根的个数． 【答案】（1）单调增区间为和,单调减区间为. （2）当时，无实根. 当或时，有一个实根. 当时，有两个实根. 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负判断的单调区间即可； （2）将讨论方程的实数根的个数转化为讨论的零点个数问题，再利用导数研究的极大值与极小值以及单调性，分类讨论在不同范围时，的零点个数情况即可. 【小问1详解】 由题意得，， 令，解得或2. + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为. 【小问2详解】 令，解得或. 当时，则在单调递减，在单调递增， 所以极小值为. 当时，，， 所以时，即，此时无实根. 时，即，此时有且仅有一个实根. 时，即，此时有两个实根. 当时，则，为增根，所以此时有一个实根. 当时，则在单调递减，在单调递增， 所以极大值为，极小值为. 以下讨论的正负， ，设， 则对恒成立，所以在单调递增. 所以在恒成立， 所以在单调递减，因为，所以. 于是在有一个实根. 当时，在单调递增，此时有一个实根. 当时，在单调递增，在单调递减， 所以极小值为，极大值为. 此时，在有一个实根. 综上所述，当时，无实根. 当或时，有一个实根. 当时，有两个实根. 19. 对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． （1）判断，和是否为完全集合（无需证明）； （2）若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； （3）设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 【答案】（1）和是完全集合，不是完全集合. （2）中的元素个数的最小值为7. （3）对于任意满足的完全集合M：完全集合必然包含元素1，否则无法表示正整数1； 集合中所有元素的和为100，因此除1之外的元素总和为99，这些元素都属于，该集合共有98个元素； 则构造49个两两不交二元组： ，，所以49个两两不交二元组为， 定义映射将每个满足条件的完全集合映射为集合，是集合的一个子集， 每个完全集合最多从每个二元组中选取1个元素，因此满足条件的的总个数不超过每个二元组选或不选1个元素的总情况数：，即. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义，集合无法表示出正整数2，集合和均可表示所有不大于自身元素和的正整数，属于完全集合； （2）首先推导元素和的上界，再计算当时和当时是否满足最小元素个数； （3）首先推导完全集合的元素特征，确定必然包含元素1，再通过映射可以证明. 【小问1详解】 集合的元素和为，可表示出不大于7的所有正整数，满足完全集合定义；同理，集合的元素和为，无法表示出正整数2，不满足完全集合定义；集合的元素和为，可表示出不大于12的所有正整数，满足完全集合定义. 【小问2详解】 设完全集合的元素从小到大依次为，由完全集合定义得： 要能表示1，必须满足，此时可表示的最大连续和为1； 为了能连续表示，故前个元素的和，因此， 当时，，不符合要求； 当时，取，，且满足完全集合定义，所以中的元素个数的最小值为7. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 （2026.9） 本试卷共6页．满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数 A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若离散型随机变量的分布列如下所示，则的数学期望（ ） 1 2 A. 1 B. C. D. 2 5. 某物流公司有7件快递，按顺序重量分别为：6，3，8，2，5，4，7（百公斤）．现按原有顺序分成3组，分别装入3辆货车．设每辆货车装载的快递总重量为该车的“负荷”．那么，这3辆货车中的最大负荷的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 某县区对小学生进行一分钟跳绳测试．已知该县区全体小学生的跳绳次数服从正态分布（单位：次/分钟），而且落在区间内的占比为30%．随机抽调该县区名小学生，其中至少有一位跳绳次数少于105（次/分钟）的概率不低于0.9，则至少需要抽取的学生数为（ ） （参考数据：，，，） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 10. 下列命题中，真命题的有（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，，使得 D. ，，使得 11. 设有两个罐子，A罐中放有1个蓝球，1个红球，B罐中放有2个蓝球，这些球的大小与质地相同．规定“先从A罐中摸1个球放入B罐，再从B罐中摸1个球放回A罐”为一轮交换．连续进行轮交换后，红球还在A罐中的概率记为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，常数项为___________． 13. 已知直线为曲线的一条切线，则________； 14. 已知等边的边长为1，在边，上分别取，两点，使沿直线对折，顶点正好落在边上，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 （1）从新型国产机床所生产的200件样本中抽3件，求恰有1件为次品的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关? 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，． （1）求证：“”是“”的充分不必要条件； （2）若． ①求角的大小； ②设为的中点，，的面积为，求． 17. 已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角．当时，称为辐角的主值，记为． （1）写出复数和的三角形式，其中辐角取其主值； （2）若，． 证明：，即两个复数相乘，等于模相乘，辐角相加； （3）在复数范围内，解方程：． 18. 已知函数，其中． （1）若，求函数的单调区间； （2）讨论方程的实数根的个数． 19. 对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． （1）判断，和是否为完全集合（无需证明）； （2）若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； （3）设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $