专题课堂(三) 模型思想——角平分线的常考模型（专题作业课件）-原创新课堂2023-2024学年八年级数学下册（北师大版）广东

专题课堂(三)　模型思想——角平分线的常考模型 1. 如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD. 证明：过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图， ∴∠PEC＝∠PFD＝90°， ∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF， ∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°， 而∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF， ∴△PCE≌△PDF(AAS)，∴PC＝PD 2. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，探究BC，AB，CD之间的数量关系，并证明． 解：BC＝AB＋CD.证明：在BC上截取FB＝AB，连接EF， ∵BE＝BE，∴△FBE≌△ABE(SAS)，∴∠BEF＝∠BEA， ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠CEF＋∠BEF＝∠BEC＝90°，∴∠CED＋∠BEA＝90°， ∴∠CEF＝∠CED，∵CE＝CE， ∴△CEF≌△CED(ASA)，∴CF＝CD， ∴BC＝FB＋CF＝AB＋CD 3. 如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若AC＝9，BC＝5，求CD的长． 解：延长BD交AC于点E， ∵CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠BCD， ∵BD⊥CD，∴∠CDE＝∠CDB＝90°， ∵CD＝CD，∴△CDE≌△CDB(ASA)， ∴DE＝DB，CB＝CE＝5，∵∠A＝∠ABD， ∴AE＝EB＝AC－CE＝4，