精品解析：2025年3月湖北省随州市曾都区八角楼教联体多校联考九年级中考一模数学试题

曾都区八角楼初级中学教联体2024--2025学年度下学期九年级第一阶段质量监测 数学 （试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 年月第届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 摸出3个黄球 B. 摸出3个红球 C. 摸出2个黄球，1个红球 D. 摸出2个红球，1个黄球 6. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了10分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为，则k的值为（ ） A B. C. 20 D. 32 10. 表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中 7 14 14 7 根据表中提供的信息，有以下四个判断： ①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 12. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 13. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是______． 14. 下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 15. 如图，在矩形中，，E是的中点，连接，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的点处，当是直角三角形时，_________． 三、解答题（共9题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：BE＝DF． 18. 数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，） 19. 在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗飘飘，引我成长”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成，，，，五类，绘制成下面两个不完整的统计图： 根据上面提供的信息解答下列问题： （1）类所对应的圆心角是________度，样本中成绩的中位数落在________类中，并补全条形统计图； （2）若类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图求恰好抽到1名男生和1名女生概率. 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数关系式与的值； （2）根据图象直接写出不等式时的取值范围； （3）若动点在轴上，求的最小值． 21. 如图，是的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点E （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长 22. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 23. 如图，中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）当点在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°； ②如图2，当时，求的值； （2）如图3，当时，点在的延长线上，过点作交于点，若，求的值． 24. 如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为，，点为某个动点． （1）直接写出点，的坐标； （2）当点在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集； （3）如图2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，记，求关于的函数解析式． ①当随增大而增大时，求的取值范围； ②根据的不同取值确定点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 曾都区八角楼初级中学教联体2024--2025学年度下学期九年级第一阶段质量监测 数学 （试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义， 根据倒数的定义解答，即两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数为2025． 故选：B． 2. 年月第届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图的定义即可求解． 【详解】由图形可知，这个几何体的俯视图为 故选A． 【点睛】此题主要考查俯视图的判断，解题的关键是熟知俯视图的定义． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】A、与不是同类项，不可合并，此项错误； B、，此项正确； C、，此项错误； D、，此项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题关键． 5. 一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 摸出3个黄球 B. 摸出3个红球 C. 摸出2个黄球，1个红球 D. 摸出2个红球，1个黄球 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟练掌握不可能事件是解题的关键．根据不可能事件的定义判断即可． 【详解】解：A．摸出3个黄球，为不可能事件，故本选项符合题意； B．摸出3个红球，为可能事件，故本选项不合题意； C．摸出2个黄球，1个红球，为可能事件，故本选项不合题意； D．摸出2个红球，1个黄球，可能事件，故本选项不合题意； 故选：A． 6. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设AB与EF交于点M，根据，得到，再根据三角形的内角和定理求出结果． 【详解】解：设AB与EF交于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵, ∴=， 故选：A． ． 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键． 7. 小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了10分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据“以4米/秒的速度跑了米的时间以3米/秒的速度跑了米的时间秒”建立方程即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：D． 8. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC． 【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=25°， ∴∠BAC=90°-25°=65°， ∴∠BDC=∠BAC=65°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为，则k的值为（ ） A. B. C. 20 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】延长交x轴于点E，先根据点D的坐标及勾股定理求出菱形的边长，进而求出点A的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 四边形是菱形，点D的坐标为， ，，轴， ， ， ， 点A的坐标为， 点A在反比例函数的图象上， ， 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，反比例函数的图象及性质等，解题的关键是根据菱形的性质求出点A的坐标． 10. 表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中 7 14 14 7 根据表中提供的信息，有以下四个判断： ①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．依据题意，首先根据，其对应的函数值是先增大后减小，可得抛物线开口向下，所以；然后根据函数值是先增大后减小，可得；最后根据，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，所以，据此判断即可． 【详解】解：，其对应的函数值是先增大后减小， 抛物线开口向下， ，①符合题意； ， ，②符合题意； 根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意； ，， ， ，④符合题意． 综上，可得判断正确的是：①②④． 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x的取值范围． 【详解】解：代数式有意义，可得：，所以， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键. 12. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 【答案】0，（答案不唯一，即可）． 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以 解得 故答案为：0，（答案不唯一，即可） 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：“馬”移动一次可能到达的位置共有8种， 到达“－－－”上方的由2种， 故则“馬”随机移动一次， 到达的位置在“－－－”上方的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用概率公式计算简单的概率问题，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比． 14. 下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 【答案】 ①. 减少 ②. 10 【解析】 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 15. 如图，在矩形中，，E是的中点，连接，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的点处，当是直角三角形时，_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定和性质，由折叠知，设，则，当是直角三角形时，分和两种情况，可证与相似，利用对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ，， E是的中点， ， ， 由折叠知， 矩形中，， ． 设，则， 是直角三角形时，分两种情况： 当时， ，， ， ，即， 解得， ； 当时， ，， ， ，即， 解得， ； 故答案为：或． 三、解答题（共9题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算， 根据，再计算即可. 【详解】解：原式． 17. 如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：BE＝DF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知，AB＝CD，即得出∠ABE＝∠CDF．再根据AE⊥BD，CF⊥BD，即得出，从而可利用“AAS”证明△ABE≌△CDF，即证明出BE＝DF． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB，即∠ABE＝∠CDF． ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴， ∴△ABE≌△CDF(AAS)． ∴BE＝DF． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质．结合平行四边形的性质找出使三角形全等的条件是解题关键． 18. 数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，） 【答案】82米 【解析】 【分析】设的长为，可以得出BD的长也为，从而表示出AD的长度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可． 【详解】解：设为， ∵，∠CDB=90°， ∴， ∴， 在中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，， 即， ∴ ∴． 答：此建筑物的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确的找准每一个直角三角形中边的关系，利用正弦，余弦，正切列出方程求解是解题的关键． 19. 在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗飘飘，引我成长”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成，，，，五类，绘制成下面两个不完整的统计图： 根据上面提供的信息解答下列问题： （1）类所对应圆心角是________度，样本中成绩的中位数落在________类中，并补全条形统计图； （2）若类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图求恰好抽到1名男生和1名女生的概率. 【答案】（1）72，，补图见解析；（2） 【解析】 【详解】分析：（1）首先用C类别学生人数除以C类别的人数占的百分率，求出共有多少名学生；然后根据B类别百分比求得其人数，由各类别人数和等于总人数求得D的人数，最后用360°乘以样本中D类别人数所占比例可得其圆心角度数，根据中位数定义求得答案． （3）若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可． 详解：（1）∵被调查总人数为30÷30%=100人， 则B类别人数为100×40%=40人， 所以D类别人数为100-（4+40+30+6）=20人， 则D类所对应的圆心角是360°×=72°， 中位数是第50、51个数据的平均数，而第50、51个数据均落在C类， 所以中位数落在C类， 补全条形图如下： （2）列表为： 男1 男2 女1 女2 男1 -- 男2男1 女1男1 女2男1 男2 男1男2 -- 女1男2 女2男2 女1 男1女1 男2女1 -- 女2女1 女2 男1女2 男2女2 女1女2 -- 由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好选到1名男生和1名女生的概率为． 点睛：此题考查了扇形统计图、条形统计图和列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数的关系式与的值； （2）根据图象直接写出不等式时的取值范围； （3）若动点在轴上，求的最小值． 【答案】（1）反比例函数解析式为；； （2）或； （3）10 【解析】 【分析】（1）本题将代入反比例函数中，即可解出，得到反比例函数的关系式，再将代入反比例函数解析式，即可解题． （2）本题根据不等式的解集为一次函数的图象在反比例函数图象的上方的部分，再结合，即可解题． （3）本题利用将军饮马模型求线段和的最小值，作关于轴的对称点，连接，则的最小值．过作于，再利用勾股定理即可解题． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 所以反比例函数解析式为； 点在反比例函数的图象上， ，解得； 【小问2详解】 解：， 其解集为一次函数的图象在反比例函数图象的上方的部分， 即轴左侧和，之间的图象， ，， 或； 【小问3详解】 解：作关于轴的对称点，， 连接交轴于，则的最小值． 过作于． 因为，， 所以． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径． 21. 如图，是的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点E （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理及推论证出，进而即可得证； （2）由勾股定理得出，然后再证，得出，进而代入求值即可得解． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的直径， 是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得，， ， 为的直径， 是的直径， ，， 由勾股定理得，， 由（1）知， ， 又为公共角， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论，切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质解决此题的关键． 22. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是，且是整数）； 【小问2详解】 由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； 【小问3详解】 由（2）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 23. 如图，中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）当点在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°； ②如图2，当时，求的值； （2）如图3，当时，点在的延长线上，过点作交于点，若，求的值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意可证明和是等边三角形，根据等边三角形的性质可证明，得到，，即可求解； ②通过证明，可得； （2）由得到，设，推出，由（1）②可知，由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①，， 是等边三角形， ，， 由旋转得：，， 等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； ②， ， ，， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图3所示，， ， 设， ， 在中，， 由（1）②可知， ， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质． 24. 如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为，，点为某个动点． （1）直接写出点，的坐标； （2）当点在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集； （3）如图2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，记，求关于的函数解析式． ①当随的增大而增大时，求的取值范围； ②根据的不同取值确定点的个数． 【答案】（1）， （2）或 （3），①当随的增大而增大时，或；②当，点有2个点；当时，点有4个点；当时，点有3个点，时，点有2个点 【解析】 【分析】本题主要考出了二次函数的性质、二次函数与不等式的综合、二次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）先由二次函数的对称性可得，再结合即可确定点B的坐标； （2）先求出二次函数解析式，由题意可得，解得或，进而确定，即，再结合函数图象即可解答； （3）①由第（2）问可知：点D在直线上运动，其中，进而可得；再分当或时，；当时，两种情况，分别利用二次函数的增减性解答即可．②分当，点有2个点；当时，点有无数个点；当时，点有3个点，时，点有无数个点得解． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：抛物线交轴于，两点，交轴于点， 将点，点，点的坐标代入得： ， 解得：， ∴函数解析式为， ∵函数解析式为， 将点代入得：， 解得：或， ∵点在对称轴的右边， ∴， ∴，即； ∴可以看作抛物线在直线的下方， ∴由以上函数图象可知：或； 【小问3详解】 解：①点在直线上运动，其中，，，， ∴， 当或时，， ∵，对称轴， ∴当时，随的增大而增大， ∴时，随的增大而增大； 当时，， ∵，抛物线开口向下，对称轴为； ∴当时，随的增大而增大， ∴时，随的增大而增大； 综上所述：当随的增大而增大时，或． ②∵ ∴当时，，即， 此时，， 所以，方程有两个不相等的实数根，即点E有2个点； 当时，， ∴或， 解得，或， 解得，， 所以，点E有3个点； 当时，点有无数个点；当时，点有无数个点． 综上，当，点有2个点；当时，点有4个点；当时，点有3个点，时，点有2个点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$