精品解析：浙江省宁波市余姚市子陵中学教育集团2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

子陵中学教育集团2024 学年第二学期九年级第一次教学质量检测数学试题卷 温馨提示： 1． 本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷6页，满分120分，考试时间120分钟． 2． 所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3． 考试期间不能使用计算器， 一、选择题（每题3分） 1. tan60°的值等于 A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】tan60°=． 故选C. 2. 二次函数的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图像与性质和用配方法将二次函数的解析式化为顶点式求最值是解决问题的关键． 通过配方法，将二次函数解析式的一般式化成顶点式，然后求函数的最小值即可． 【详解】解： ， 抛物线开口向上，二次函数有最小值， 当时，二次函数的最小值是． 故选：C． 3. 下列说法正确的是（　　） A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D. 一组数据的众数一定只有一个 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误； B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误； C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确； D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查统计与概率的定义，解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法及众数的定义． 4. 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（ ） A. 在⊙O上 B. 在⊙O内 C. 在⊙O外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点A的坐标，求出OA=2，根据点与圆的位置关系即可做出判断． 【详解】解：∵点A的坐标为（1，）， ∴由勾股定理可得：OA=， 又∵⊙O的半径为2， ∴点A在⊙O上． 故选：A． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，点和圆的位置关系是由点到圆心的距离和圆的半径间的大小关系确定的：（1）当时，点在圆外；（2）当时，点在圆上；（3）当时，点在圆内． 5. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. a=2，b=3，c=4，d=1 B. a=2, b=, c=，d= C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=，b=3，c=2，d= 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误； B．2×=×2，四条线段成比例，故本选项正确； C．4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误； D．×3≠2×，四条线段不成比例，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 6. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意； B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意； C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意； D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 7. 如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵AB是的直径，BC是的切线， ∴AB⊥BC，即∠ABC=90°， ∵， ∴=90°-35°=55°， 故选C． 【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键． 8. 图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由主视图和左视图的宽为c，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为 ，宽为， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 9. 已知抛物线，将该抛物线平移，若平移后的图像与轴交于，两点（），下列说法正确的是（ ） A. 若向左平移，则 B. 若向右平移，则 C. 若向上平移，则 D. 若向下平移，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线的平移，解决本题的关键是根据抛物线平移的方向与抛物线的性质，利用数形结合的思想找到抛物线与轴的交点的变化规律． 【详解】解：当时，可得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标分别为，， A选项：当抛物线向左平移时，则有，， ， 故A选项错误； B选项：当抛物线向右平移个单位长度时，，， ， 故B选项错误； C选项：如下图所示，当抛物线向上平移时， 根据抛物线的对称性可知：， 整理可得：， 故C选项错误； D选项：如下图所示，当抛物线向下平移时， 根据抛物线的对称性可知：， 整理可得：， 故D选项正确． 故选：D ． 10. 如图，在中，点在上，点在上，是的中点，是的中点，，，且与所夹得锐角为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解直角三角形；连接，过点分别作边上的高，根据三角形中线的性质得出得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点分别作边上的高，设交于点， ∵是的中点，是的中点， ∴ ∵且与所夹得锐角为， ∴， ∴ ∴ 故选：D． 二、填空题（每题3分） 11. 二次函数的图像开口方向是_______（填“向上”或“向下”）． 【答案】向上 【解析】 【分析】根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向． 【详解】解：∵二次函数，a=1＞0， ∴二次函数的图象开口方向向上， 故答案是：向上． 【点睛】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 12. 某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从号中随机抽取一签，则抽到8号赛道的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 根据简单的概率计算求解作答即可． 【详解】解：由题意知 ，抽到8号赛道的概率是， 故答案为：． 13. 如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则______． 【答案】140° 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠BCD的度数即可． 【详解】∵∠BOD=80°， ∴∠A=40°． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD=180°-∠A=180°-40°=140°． 故答案为140°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 14. 如果两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为，那么大三角形对应角的角平分线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形中对应线段：三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应角的角平分线的比等于相似比，列式计算即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的面积之比是， 两个相似三角形的相似比为， 设大三角形对应角上的角平分线的长为， 由题意得， ， 故答案为：． 15. 已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，求得该函数的对称轴，进而根据二次函数性质，离对称轴距离越近其值越大，建立不等式，求解即可； 【详解】解：由题可知，抛物线（，是常数且，）经过点， 则对称轴为， 则， 则， ， ， 该抛物线开口向下， 根据二次函数性质可知，离对称轴距离越近其值越大， 则， 即， 两边平方可得：， 解得：； 故答案为： 16. 如图，在中，，点D在边上，且满足，连结． 作的平分线分别交于点E，点F．若，则______，______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】过点作的平行线交的延长于点，延长至点，使，连接，延长交于点，利用平行线截线段成比例定理和角平线可得到，设，则，利用全等三角形的判定与性质得到，进而求得，最后利用角平分线的性质定理解答即可得出结论． 【详解】解：过点作的平行线交的延长于点，延长至点，使，连接，延长交于点，如图， ，，， 是的平分线， ， ， ， ， ， 设，则， ， 为的垂直平分线， ， ， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了平行线截线段成比例定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、负指数幂、绝对值，首先背熟特殊角的三角函数值、负指数幂、绝对值的定义把算式各部分分别计算出来，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可. 【详解】解： ①×3＋②得， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ 19. 某市教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图． 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）教育局抽取的初中生有______人，扇形统计图中m的值是______ ． （2）已知平均每天完成作业时长在“”分的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______ ． （3）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分的初中生约有多少人？ 【答案】（1）300；30 （2） （3）3000人 【解析】 【分析】（1）读图可得，A组有45人，占，即可求得总人数；用B组的人数除以总人数再乘即可得出答案； （2）根据概率公式计算即可； （3）由样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生的比例乘以10000人即可； 【小问1详解】 教育局抽取的初中生人数为：（人） B组人数为： ∴B组所占的百分比为： ∴； 【小问2详解】 ∵9名初中生中有5名男生和4名女生， ∴从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，恰好抽到男生的概率是； 【小问3详解】 样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生占比 ∴该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，求概率，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题的关键． 20. 如图，在某信号塔的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端C与塔底B的距离米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角米，且（点在同一平面内）． （1）填空：_______度，______度； （2）求信号塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）；（2）信号塔的高度为米． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质即可求得，通过2个角的差即可求出； （2）延长交于点F，通过解直角三角形，分别求出、的长度即可求解． 【详解】（1） （2）如图，延长交于点F，则，过点C作，垂足为G． 则， 在中， ， 在中， ， 答：信号塔的高度为米． 【点睛】本题考查平行线的性质，解直角三角形应用，勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义与勾股定理性质是解题关键． 21. 已知：如图，在中，是边上一点． 求作：在边上作一点，使得． 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点． 小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．． （1）请判断小成作法是否正确，并给出理由． （2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明． 【答案】（1）小成作法正确． 理由：由作图可知，， 四边形是平行四边形， ． （2）如下图，直线即为所求． 理由：由作图可知平分，， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了作图－复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识解决问题． （1）利用平行四边形的判定和性质求解； （2）以为圆心，长为半径作弧交于点，作直线交于点，直线即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O. (1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式表示)； (2)当m取何值时，CD与⊙O相切？ 【答案】（1）m；（2）m＝. 【解析】 【分析】（1）本题要通过构建直角三角形来求解，作AH⊥CD于点H，在直角△ADH中，利用30°角的性质和勾股定理可求出AH的长，即圆心O到CD的距离． （2）CD与⊙O相切，则圆心O到CD的距离等于半径5，列方程求解即可． 【详解】解：(1)作AH⊥CD于点H. 因为∠D＝60°，则∠DAH＝30°，DH＝＝， 所以AH＝＝＝m， 即圆心O到CD的距离为m； (2)当m＝5，即m＝时，CD与⊙O相切. 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定定理等知识点.正确作出辅助线是解（1）的关键，掌握切线的判定方法是解（2）的关键. 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 23. 已知二次函数的图像经过点，点． 设该函数图像的对称轴为直线． （1）若，求t的值． （2）若 求b的取值范围． （3）若，在范围内，该函数有最大值，求m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题． （1）根据题意得到二次函数的图像经过点，即可求出b的值，进而求出抛物线对称轴； （2）根据题意可得，，计算，再根据求出b的取值范围． （3）根据二次函数的最值对应的自变量求值求出，进而即可求出m的值。 【小问1详解】 解：若时，二次函数的图像经过点， 则，解得：，即二次函数为 ∴对称轴为， 即； 【小问2详解】 ∵已知二次函数的图像经过点，点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 ∵， 若，在范围内，该函数有最大值， ①若，在范围内，函数有最大值， 即，当时，， ∴，（，不含题意舍去）， ∴， 当时，， ②若时，在范围内，函数有最大值， 即，当时，，解得，不合题意舍去， 综上所述：若，在范围内，该函数有最大值，的值为． 24. 如图，是锐角三角形的外接圆，且满足．D是的中点，连接并延长交于点E，与的延长线交于点F，连接并延长交于点G，连接． （1）若，，求的长． （2）若与相切，G为切点． ①求证：； ②若，直接写出和的值． 【答案】（1）； （2）①见解析；②；． 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂径定理的推论得到，再利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； （2）①利用圆周角定理，直角三角形的性质和相似三角形的判定定理解答即可； ②连接，过点C作于点H，设，则，利用等腰直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；设，则，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，设，，则，，利用相似三角形的判定与性质求得，则结论可求． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵D是的中点，是锐角三角形的外接圆， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：∵为圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． ∵， ∴； ②解：连接，过点C作于点H，如图， 设，则， 由（1）知：，， ∴， ∴， ∴， ∵与相切，为圆的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）①知：， ∴， ∴． ∵，， ∴， 设，，则，， ∴， 解得， ∴， 由（2）①知：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形和等腰直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 子陵中学教育集团2024 学年第二学期九年级第一次教学质量检测数学试题卷 温馨提示： 1． 本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷6页，满分120分，考试时间120分钟． 2． 所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3． 考试期间不能使用计算器， 一、选择题（每题3分） 1. tan60°的值等于 A. 1 B. C. D. 2 2. 二次函数的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 3. 下列说法正确的是（　　） A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D. 一组数据的众数一定只有一个 4. 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（ ） A. 在⊙O上 B. 在⊙O内 C. 在⊙O外 D. 不能确定 5. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. a=2，b=3，c=4，d=1 B. a=2, b=, c=，d= C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=，b=3，c=2，d= 6. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　） A. B. C. D. 9. 已知抛物线，将该抛物线平移，若平移后的图像与轴交于，两点（），下列说法正确的是（ ） A. 若向左平移，则 B. 若向右平移，则 C. 若向上平移，则 D. 若向下平移，则 10. 如图，在中，点在上，点在上，是的中点，是的中点，，，且与所夹得锐角为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分） 11. 二次函数的图像开口方向是_______（填“向上”或“向下”）． 12. 某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从号中随机抽取一签，则抽到8号赛道的概率是_______． 13. 如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则______． 14. 如果两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为，那么大三角形对应角的角平分线的长为______． 15. 已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为__________． 16. 如图，在中，，点D在边上，且满足，连结． 作的平分线分别交于点E，点F．若，则______，______． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算： 18. 解方程组： 19. 某市教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图． 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）教育局抽取的初中生有______人，扇形统计图中m的值是______ ． （2）已知平均每天完成作业时长在“”分的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______ ． （3）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分的初中生约有多少人？ 20. 如图，在某信号塔的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端C与塔底B的距离米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角米，且（点在同一平面内）． （1）填空：_______度，______度； （2）求信号塔的高度（结果保留根号）． 21. 已知：如图，在中，是边上一点． 求作：在边上作一点，使得． 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点． 小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．． （1）请判断小成作法是否正确，并给出理由． （2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O. (1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式表示)； (2)当m取何值时，CD与⊙O相切？ 23. 已知二次函数的图像经过点，点． 设该函数图像的对称轴为直线． （1）若，求t的值． （2）若 求b的取值范围． （3）若，在范围内，该函数有最大值，求m的值． 24. 如图，是锐角三角形的外接圆，且满足．D是的中点，连接并延长交于点E，与的延长线交于点F，连接并延长交于点G，连接． （1）若，，求的长． （2）若与相切，G为切点． ①求证：； ②若，直接写出和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $