8.2整式乘法（第3课时多项式与多项式相乘）（教学课件）数学新教材沪科版七年级下册

8.2整式乘法 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第8章 整式乘法与因式分解 第3课时 多项式与多项式相乘 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1．理解多项式乘多项式运算的算理，会进行多项式与多项式的运算； 2．在探索多项式乘多项式运算法则的过程中，感悟数与形的关系． 情景导入 单项式与单项式相乘： (2a2b3c)(－3ab) = －6a3b4c x (x－1) + 2x (x + 1)－3x (2x－5) 单项式与多项式相乘： = x 2－x + 2x 2 + 2x－6x 2 +15x = (x 2 + 2x 2－6x 2) + (2x －x + 15x) = －3x 2 + 16x 新知探究 问题 3 一块长方形的菜地，长为 a，宽为 m. 现将它的长增加 b，宽增加 n，求扩大后的菜地面积. ① ② ③ ④ n a b m ① ② ③ ④ n a b m 方法一：扩大后菜地的长是 a + b，宽是 m + n，所以它的面积是______________. 方法二：先算 4 块小长方形的面积，再求总面积，扩大后菜地的面积是__________________. (a + b)(m + n) am + bm + an + bn (a + b)(m + n) = am + bm + an + bn 把 (a + b) 看成一个整体 (a + b)(m + n) = (a + b)m = am + bm + an + bn (a + b)(m + n) = + bm am + an + bn + (a + b)n 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 例1 计算: (1) (x+2)(x -3); (2)(-3x+1)(x-2). (1) (x+2)(r-3) =x(x-3)+2(x-3) =x・x+x・(-3)+2·x+2×(-3) =-3x+2x-6 =-x-6; 解 (2) (-3x+1)(x-2) =-3x·x+(-3x)·(-2)+1·x+1×(-2) = -3+6x+x-2 =-3+7x-2. 例题讲解 多乘多顺口溜： 多乘多，来计算， 多项式各项都见面， 乘后结果要相加， 化简、排列才算完. 例题讲解 课本例4： 计算： （1）(－2x－1)(3x－2) ； （2）(x + a)(x + b) . 解（1）(－2x－1)(3x－2) = (－2x) · 3x + (－2x)·(－2) + (－1) · 3x + (－1)×(－2) = －6x2 + 4x－3x + 2 = －6x2 + x + 2 计算： （1）(－2x－1)(3x－1) ； （2）(x + a)(x + b) . （2）(x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b)x + ab 例题讲解 课本例5 计算： （1）(a + b)(a2－ab + b2) ； （2）(y2 + y + 1)(y + 2) . 解（1）(a + b)(a2－ab + b2) = a · a2－a · ab + a · b2 + b · a2－b · ab + b · b2 = a3 + b3 例题讲解 计算： （1）(a + b)(a2－ab + b2) ； （2）(y2 + y + 1)(y + 2) . （2）(y 2 + y + 1)(y + 2) = y 3 + 2y 2 + y 2 + 2y + y + 2 = y 3 + 3y 2 + 3y + 2 课堂练习 1. 计算： （1）(2n + 6)(n － 3) ； （2）(－3x－1)(－x2 + 1). 解 （1）(2n + 6)(n － 3) = 2n· n + 2n · (－3) + 6n + 6×(－3) = 2n2 － 18 . 1. 计算： （1）(2n + 6)(n － 3) ； （2）(－3x－1)(－x2 + 1). （2）(－3x－1)(－x2 + 1) = (－3x)·(－x2) + (－3x)·1 + (－1)·(－x2) + (－1)·1 = 3x3－3x + x2 －1 2. 计算： （1）(3x － y)(3x + y) ； （2）(3a + 2)(3a－2)－9a(a－1). 解（1）(3x － y)(3x + y) = 3x · 3x + 3x · y + (－y)(3x) + (－y) · y = 9x2 + 3xy －3xy－y2 = 9x2－y2 （2）(3a + 2)(3a－2)－9a(a－1) 2. 计算： （1）(3x － y)(3x + y) ； （2）(3a + 2)(3a－2)－9a(a－1). = 3a · 3a + 3a·(－2) + 6a + 2·(－2) +(－9a)a + (－9a)(－1) = 9a2 －6a + 6a－4 －9a2 + 9a = －4 + 9a 2. 计算： （3）(x－ y)(x2 + xy + y2) ； （4）(x + 1)(x2－2x + 3). （3）(x－ y)(x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 +(－y)·x2 + (－y)·xy + (－y)·y2 = x3 + x2y + xy2 －x2y －xy2 －y3 = x3 －y3 2. 计算： （3）(x－ y)(x 2 + xy + y 2) ； （4）(x + 1)(x 2－2x + 3). （4）(x + 1)(x 2－2x + 3) = x 3 －2x 2 + 3x + x 2 －2x + 3 = x 3 －x 2 + x + 3 3. 先化简，再求值：(x－4)(x－2)－(x－1)(x + 3)， 其中 x = －2. 解 (x－4)(x－2)－(x－1)(x + 3) = x2－2x－4x + 8－(x2 + 3x －x－3) = －8x + 11 = －8×(－2) + 11 = 27 分层练习 基础题 1. 计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 2. 如果，那么， 的值分别 是( ) C A. 10，2 B. 10， C. ，2 D. ， 3. 若多项式展开后不含和 项，则, 的值分别是( ) A A. 3，5 B. 5，3 C. 4，2 D. 2，4 【点拨】多项式展开为 . 由题意知易得 4. [2024亳州期末] 设 ，，则 与 的大小关系为( ) A. B. C. D. 不能确定 A 21 5. [2024保定一模] 现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或 正方形纸片各15张，小明要用这些纸片中的若干张拼接 （不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和 的长方形.下列判断正确的是( ) C A. 甲种纸片剩余7张 B. 丙种纸片剩余10张 C. 乙种纸片缺少2张 D. 甲种和乙种纸片都不够用 22 【点拨】因为 ，所以要拼接一 个长、宽分别为和 的长方形，需要甲种纸片15张， 乙种纸片17张，丙种纸片4张.所以乙种纸片缺少2张.故选C. 23 6.[2024·安庆期中] 如图是由三个 长相等、宽不等的小长方形组成的 一个大长方形，用，， 表示大 长方形的面积为( ) D A. B. C. D. 24 7.计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 8.[2024·淮北期中] 若 ，则 下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 25 9.[2024重庆一中模拟] 已知， ，则 的值为____. 【点拨】 .因为 ，，所以原式 . 10.计算： _____________. 11.化简 的结果是________. 26 12.计算： (1) ； 解：原式 . (2) ; 解：原式 . (3) . 解：原式 . 27 13.计算： （1） ; 【解】 . （2） . . 28 14.[2024安庆潜山十校联考] 如图 所示的是人民公园的一块长为 米、宽为 米的 空地，预计在空地上建造一个网 红打卡观景台（阴影部分）. （1）请用， 表示观景台的面积.（结果化为最简） 29 【解】阴影部分的面积为 平方米， 所以观景台的面积为 平方米. 30 （2）如果修建观景台的费用为200元/平 方米，且已知， ，那么修建 观景台需要花费多少元？ 【解】当， 时， 观景台的面积 （平方米）， （元）. 所以修建观景台需要花费19 600元. 31 综合应用题 15.如图，有正方形卡片 类、 类和长方形卡片 类若干张， 若要拼一个长为 ，宽 C A.5张 B.6张 C.7张 D.8张 为的大长方形，则需要 类卡片( ) 16.要使多项式展开后不含 的二次项， 则与 的关系是( ) B A. B. C. D. 17. ［整体思想］[2024·合肥期末] 已知， ， 则 的值为____. 18.设，，则___ . (填“ ”或“ ”) 33 19.[2024厦门期中] 如图为某年某月的日历（数字隐去），其 中，，，代表当日的数字，设代表的数字为 ，则 _________.（用含 的代数式表示） 34 20. 在一次测试中，甲、乙两名同学计 算同一道整式乘法： ，甲由于抄错了第一个 多项式中的符号，得到的结果为 ；乙由于漏 抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为 35 （1）试求出式子中， 的值； 【解】由题意得 ,所以,即 . 由题意得,所以，即 . 所以 ， 解得.所以.所以 . 36 根据甲抄错了第一个多项式中 的符号，乙漏抄了 第二个多项式中 的系数分别列式计算，再列出方程是解答 本题的关键. （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果. 【解】由（1）知 . 37 21.[2024贵阳模拟] 如图，学校有一 块长方形的劳动教育基地，长 米， 宽 米，后来为了满足需要，需在旁 边开垦新的土地，使原来的长增加 米，宽增加 米. （1）求该基地现在的土地面积是多少平方米. 【解】 平方米， 所以该基地现在的土地面积是 平方米. 38 （2）当， 时，求增加的土地面积是多少平方米. 39 【解】当， 时，该基地现在的土 地面积 （平方米）， 原来基地的面积 （平方米）， （平方米）， 所以增加的土地面积是36平方米. 40 22.［数形结合思想］“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的 一种体现，进行整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取 结论.如 就能用如图①所示图形的 面积来表示. 41 (1)请你写出图②所表示的一个等式：____________________ _______________； 42 (2)请你画出一个图形，使它的面积能表示： . 解：如答图所示.(画法不唯一) 43 23. 如图，某小区有一块长为 ，宽为 的长方形地块， 物业公司在此长方形地块内修建了一条平行 四边形小路，小路的底边宽为 ，为了进 一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一 个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图 中阴影部分进行绿化. 44 (1)用含有， 的式子表示绿化的 面积 ； 解：由题意得 . 45 (2)若， ，请你帮助物 业公司求出此时绿化的面积. 当， 时， . 46 24.小马和小睿两人共同计算一道整式乘法题：，由于 小马抄错了 的符号，得到的结果为；由于小睿漏抄了 第二个多项式中 的系数，得到的结果为 . (1)求出， 的值； 47 所以 . 解得 解：因为小马抄错了 的符号，得到的结果为 ，所以，所以 . 因为小睿漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果为 ，所以 ， (2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果. 因为, ，所以 ． 49 创新拓展题 25. 从前一位庄园主把一块长为 ，宽为 的长方形土地租给一位租户，第二年，他 对租户说：“我把这块地的长增加，宽减少 ，继续 租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样， 你觉得租户的租地面积会( ) A A.变小 B.变大 C.没有变化 D.无法确定 26. ［运算能力］回答下列问题： (1)计算： ① ____________； ② _____________； ③ ______________. 51 (2)由(1)的结果，直接写出下列算式的结果： ① ____________； ② ____________； ③ _____________. (3)总结公式： __________________. 52 (4)已知，， 均为整数，且，求 的 所有可能值. 解：由(3)可知 中， ，.因为,,均为整数，且 或 或或 ，所以 或或5或 . 53 27. 给出如下定义：我们把有序实数对 叫作关于的二次多项式的特征系数对.把关于 的 二次多项式叫作有序实数对 的特征多项式. （1）关于的二次多项式 的特征系数对为_____ _____； 54 （2）求有序实数对 的特征多项式与有序实数对 的特征多项式的乘积； 【解】因为有序实数对的特征多项式为 , 有序实数对的特征多项式为 , 所以 . 55 （3）若有序实数对 的特征多项式与有序实数对 的特征多项式的乘积为 ， 求 的值. 【解】根据题意，得 . 令 ， 则,所以 . 所以 . 56 习题 1. 计算： （1）(－5a2b)(2ab2c) ； （2） ； 解 （1）(－5a2b)(2ab2c) = －10a3b3c （2） （3） (2×104)(6×105)； （4） · 2x3 · (－3x2) . （3） (2×104)(6×105) = 2×6×104×105 = 12×109 = 1.2×1010 （4） · 2x3 · (－3x2) = －3x 6 2. 计算： （1）(mn)2(－m2n) ； （2）(2m)3 ； 解（1）(mn)2(－m2n) = m2n2 · (－m2n) = －m4n3 （2）(2m)3 = 8m3 · = m5 （3）x2y3－2x(4xy3) ； （4）(3m2n)· －(－10m)·m3n3. （3）x2y3－2x(4xy3) = x2y3－8x2y3 = －7x2y3 （4）(3m2n)· －(－10m)·m3n3 = 2m4n3－(－10m4n3) = 12m4n3 3. 据统计，2022 年全球能源相关的碳排放量约 3.68×106 万吨，则全球 80 亿人 2022 年每人平均碳排放量约为 多少吨？ 解：3.68×106 万吨 = 3.68×1010 吨 80 亿人 = 80×109 = 8×1010 人 3.68×1010 ÷(8×1010) = 0.46（吨） 答：全球80亿人2022年每人平均碳排放量约为0.46吨. 4. 计算： （1）(3y－6)(－y) ； （2）(－3x)(4x2－ x + 1) ； 解（1）(3y－6)(－y) = 3y · (－y) + (－6)(－y) = －3y2 + 6y 4. 计算： （1）(3y－6)(－y) ； （2）(－3x)(4x2－ x + 1) ； （2）(－3x)(4x2－ x + 1) = －12x3 + 4x2 －3x （3）(－xy)(2x－5y－1) ； （4）(4y－1)(y－ 5) ； 4. 计算： （3）(－xy)(2x－5y－1) = (－xy)·2x + (－xy)(－5y) + (－xy)(－1) = －2x2y + 5xy2 + xy （3）(－xy)(2x－5y－1) ； （4）(4y－1)(y－ 5) ； 4. 计算： （4）(4y－1)(y－ 5) = 4y · y + 4y · (－ 5) + (－1)·y + (－1)·(－5) = 4y2 － 20y－y + 5 = 4y2 － 21y + 5 （5）(2x + 3)(4x + 1) ； （6） . 4. 计算： （5）(2x + 3)(4x + 1) = 2x · 4x + 2x·1 + 3·4x + 3·1 = 8x2 + 2x + 12x + 3 = 8x2 + 14x + 3 （5）(2x + 3)(4x + 1) ； （6） . 4. 计算： （6） （1）5x(2x + 4) + x(x － 1) ； 5. 化简： （1）5x(2x + 4) + x(x － 1) = 10x 2 + 20x + x 2 － x = 11x 2 + 19x （2）2a(a2 + 3a－2) －2(a3 + 2a2 －a + 1) . （2）2a(a2 + 3a－2) －2(a3 + 2a2 －a + 1) = 2a3 + 6a2－4a －(2a3 + 4a2 －2a + 2) = 2a2－2a － 2 （1）5x(2x + 4) + x(x － 1) ； 5. 化简： （2）2a(a2 + 3a－2) －2(a3 + 2a2 －a + 1) . 6. 先化简，再求值： （1）a(b－c)－b(c－a) + c(a－b)，其中 a = ，b = －1， c = －2； a(b－c)－b(c－a) + c(a－b) = ab－ac－bc + ab + ac－bc = 2ab－2bc = 2× ×(－1) －2×(－1)×(－2) = －5 （2）(x－y)(x－2y) － (3x－2y)(x－3y)，其中 x = 4，y = －1. 6. 先化简，再求值： (x－y)(x－2y) － (3x－2y)(x－3y) = x 2－2xy－xy + 2y 2 － (3x 2－9xy－2xy + 6y 2) = －2x 2 + 8xy － 4y 2 = －2×42 + 8×4×(－1) － 4×(－1)2 = －32 － 32－ 4 = －68 7. 解方程： （1）(x－3)(x－2) + 18 = (x + 9)(x + 1)； （2）(x－6)(x 2 + x + 1) －x(x + 1)(x－1) = x(2 － 5x). 解（1）(x－3)(x－2) + 18 = (x + 9)(x + 1) x 2－2x－3x + 6 + 18 = x 2 + x + 9x + 9 15x = 15 x = 1 7. 解方程： （1）(x－3)(x－2) + 18 = (x + 9)(x + 1)； （2）(x－6)(x 2 + x + 1) －x(x + 1)(x－1) = x(2 － 5x). （2）(x－6)(x 2 + x + 1) －x(x + 1)(x－1) = x(2 － 5x) x 3 + x 2 + x －6x 2 － 6x－6 －x(x 2－x + x－1)= 2x － 5x 2 － 6x = 6 x = －1 8. 在一个边长为 a 的正方形地块上，辟出一部分作为花坛， 下面给出几种设计方案，请你分别写出花坛（图中绿色部分）面积 S 的表达式，并计算当 a = 10 时面积 S 的值. （1） S1 = a× + a× － × = － = 当a =10时， 8. 在一个边长为 a 的正方形地块上，辟出一部分作为花坛， 下面给出几种设计方案，请你分别写出花坛（图中绿色部分）面积 S 的表达式，并计算当 a = 10 时面积 S 的值. （2） S2 = a2－π( )2－π( )2 = a2－ 当a =10时， = 8. 在一个边长为 a 的正方形地块上，辟出一部分作为花坛， 下面给出几种设计方案，请你分别写出花坛（图中绿色部分）面积 S 的表达式，并计算当 a = 10 时面积 S 的值. （3） S3= = 当a =10时， S4= = = 8. 在一个边长为 a 的正方形地块上，辟出一部分作为花坛， 下面给出几种设计方案，请你分别写出花坛（图中绿色部分）面积 S 的表达式，并计算当 a = 10 时面积 S 的值. （4） 当a =10时， 课堂小结 多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$