精品解析：吉林省松原市 前郭尔罗斯蒙古族自治县萨日朗学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

萨日朗学校八年级下学期数学学科第一次大练兵 （本卷共22题，满分120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 3. 关于的叙述正确的是（　　） A. 在数轴上不存在表示的点 B. ＝ C. 与最接近的整数是2 D. ＝ 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 3米 D. 4米 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 8. 已知，则代数式的值是__________． 9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___． 10. 如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于E、F，且，那么图中阴影部分的面积为___________． 11. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 计算： 13. 已知：如图，在中，点、分别在、的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 14. 如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上． （1）求证：； （2）求的长． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 已知，．求： （1）求的值； （2）若y的小数部分为b，求的值． 16. 如图，为平行四边形的对角线的交点，过点O作直线分别交于点． （1）求证：． （2）若，，，求四边形的周长． （3）若，直接写出的值为 ． 17. 图①，图②，图③均是55的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画线段，使其长为（画出一个即可）； （2）在图②中，画等腰三角形，使其面积为3（画出一个即可）； （3）在图③中，画等腰直角三角形，使其面积为5（画出一个即可）． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 19. 如图，在中，经过，两点分别作，，，为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. （1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得， ， ______； （2）尝试应用：若，为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，求的值． 21. 武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ （3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 七、解答题（每小题12分，共12分） 22. 如图，中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒（）． （1）若点P在上，且满足时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在的角平分线上，求t的值； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萨日朗学校八年级下学期数学学科第一次大练兵 （本卷共22题，满分120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可； 【详解】解：A．是不能开方的整数，因此是最简二次根式，本选项符合题意； B．是分数，因此不最简二次根式，本选项不符合题意； C．，，因此不最简二次根式，本选项不符合题意； D．，因此不最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，注意：被开方数不能含开的尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式；解题关键熟记最简二次根式的定义． 2. 在平行四边形中，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及内角比可得，设每份为，则，解得，进而可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， 设每份为，则， 解得， 则． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3. 关于的叙述正确的是（　　） A. 在数轴上不存在表示的点 B. ＝ C. 与最接近的整数是2 D. ＝ 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的运算法则，算术平方根的计算法则计算即可. 【详解】解：A、数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上存在表示的点，故选项错误； B、＝2 ，故选项错误； C、与最接近的整数是3，故选项错误； D、＝2，故选项正确． 故选D． 【点睛】本题涉及了数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的运算法则，算术平方根的计算法则等知识点，熟练掌握每一个知识点是正确解题的关键. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，乘法公式，二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简，乘法公式的运用，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 5. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 6. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 3米 D. 4米 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作于点F，易得出CF=DE=3米．由题意可知AB=AC=5米，即可利用勾股定理求出AF的长，最后由BF=AB-AF计算即可． 【详解】如图，过点C作于点F， ∴四边形CFDE为矩形， ∴CF=DE=3米． ∵AB=AC=5米， ∴米， ∴米． ∴此时木马上升的高度为1米． 故选A． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，进一步列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 8. 已知，则代数式的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．把的值代入原式，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___． 【答案】 【解析】 【详解】∵AB=12，BC=5， ∴AD=5， ∴， 根据折叠可得：AD=A′D=5， ∴A′B=13－5=8， 设AE=x，则A′E=x，BE=12－x， 在Rt△A′EB中：， 解得：． 故答案为： 10. 如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于E、F，且，那么图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可．本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点D作于点G， ∵, ∴， ∴， 故答案为：． 11. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：如图， 设AC＝x，则BC＝AD＝2+x， ∵∠ADC＝30°， ∴ADAC， ∴2+xx， ∴x， ∴AC， 将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍， ∴图中阴影部分面积＝4AC2＝4＝ 故答案为． 【点睛】本题考查旋转角的定义以及直角三角形的性质，本题关键在于用AB表示出AC的长度 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 13. 已知：如图，在中，点、分别在、的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的基本判定方法是解决问题的关键． 四边形是平行四边形，得出，，再由，得，由即可得结论． 【详解】略． 14. 如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵米，米，米，∴，∴是直角三角形，； （2）9米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）设米，则米，米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设米，则米， ∴米 在中，由勾股定理得：， 解得： 则 答：的长为9米． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 已知，．求： （1）求的值； （2）若y的小数部分为b，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，熟练掌握分母有理化和估算无理数大小是解此题的关键． （1）先进行分母有理化，再进行变形代入计算即可； （2）估算出b的值，再直接代入计算即可． 【小问1详解】 解：，， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，为平行四边形的对角线的交点，过点O作直线分别交于点． （1）求证：． （2）若，，，求四边形的周长． （3）若，直接写出的值为 ． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形，得到，，由平行线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论． （2）根据得到，于是得到，即可得到结论． （3）根据全等三角形的性质，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：同（1）可证． ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 图①，图②，图③均是55的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画线段，使其长为（画出一个即可）； （2）在图②中，画等腰三角形，使其面积为3（画出一个即可）； （3）在图③中，画等腰直角三角形，使其面积为5（画出一个即可）． 【答案】（1）如图①中，线段即为所求； （2）如图②中，即为所求； （3）如图③中，即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，结合网格画图即可； （2）取格点 ，使 的底是 2 ，高是 3 ， 即可； （3）由勾股定理可知，，取格点 ，使 ，且 即可； 【小问1详解】 理由：由图可知 【小问2详解】 理由：由图可知 【小问3详解】 理由：由图可知 且 为等腰直角三角形 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图、等腰直角三 角形、等腰三角形的判定与性质、勾股定理, 熟练掌握相关知识点是解答本题的关键 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1） （2），证明如下： ； （3）71 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2）略 （3）∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 19. 如图，在中，经过，两点分别作，，，为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形 【答案】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，AD//BC， ∴， ∵，， ∴， 在△AED和△CFB中 ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据，，可得，即可证明． （2）根据全等三角形的性质得，再根据，，可得AE//CF，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】略． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、平行四边形的性质以及判定定理是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. （1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得， ， ______； （2）尝试应用：若，为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）0；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （3）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】解：（1）由，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：， ∴， ∴ ； （3）由题意得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ （3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 【答案】（1）21.6米 （2）8米 （3）4.2米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可得出结果； （2）设他应该往回收线米，根据勾股定理得出方程求解即可； （3）设收线的长度为米，根据勾股定理得出方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， （米）， （米）； 风筝的垂直高度为21.6米． 【小问2详解】 解：设他应该往回收线米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：他应该往回收线8米． 【小问3详解】 解：设收线的长度为米，如图， 则米，（米，米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：收线的长度为4.2米． 七、解答题（每小题12分，共12分） 22. 如图，中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒（）． （1）若点P在上，且满足时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在的角平分线上，求t的值； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1） （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据已知可得的长，的长，从而可得的长，在直角三角形中利用勾股定理即可求得； （2）过P作于E，连接，根据角平分线的性质和三角形面积法列方程式求出，由此可求出t；当点运动返回到A点也符合题意； （3）分类讨论：当点P在上，，为等腰三角形时，根据的长即可得到t的值，当点P在上，，为等腰三角形时，根据P移动的路程易得t的值；当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D，根据等腰三角形的性质得求出，进而求出即可得到答案；当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图， ∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，即， 解得； 【小问2详解】 解：如图，过P作于H，连接， ∵点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 当点运动返回到A点也符合题意， ∴（秒） 综上：点P恰好在的角平分线上，t的值为或6； 【小问3详解】 解：如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时， 则， 解得； 如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当t为或5或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查三角形综合题， 角平分线的性质， 等腰三角形的判定与性质， 勾股定理的应用．能熟练运用勾股定理解直角三角形在本题中至关重要，掌握等腰三角形的性质和会分类讨论思想是解决（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $