精品解析：四川省宜宾市第三中学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

宜宾市三中教育集团高2023级高二下三月月考 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. . 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. 3. 从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ） A. B. C. 21 D. 210 4. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知函数，若方程有两个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（ ）千元． A. B. C. D. 7. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A. ， B. ， C ， D. ， 8. 已知是自然对数的底数，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分，在每个小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 在R上是增函数 D. 在处的切线斜率是 10. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则， B. 函数既有极大值又有极小值 C. 若是的极大值点，则在区间单调递增 D. 当时，函数有三个零点时 11. 已知函数，若有两个极值点，则下面判断正确是（ ） A B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数在处有极大值，则________ 13. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有______个（用数字作答） 14. 已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为_________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 16. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求a的值； （2）求的单调区间和极值. 17. 已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点． (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点． 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19 已知函数 （1）当时，证明：； （2）若在区间单调递增，求实数的取值范围； （3）若且，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市三中教育集团高2023级高二下三月月考 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. . 【答案】D 【解析】 【分析】求导之后代入可解. 【详解】由题意可得， 所以，即该质点的瞬时速度是. 故选：D 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性求解即可. 【详解】的定义域为：， ，令，解得， 若，，若，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 故选：C 3. 从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ） A. B. C. 21 D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法有种. 故选：D 4. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解. 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 5. 已知函数，若方程有两个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，由得增区间，由得减区间，利用的图象与直线有两个交点可得参数范围． 【详解】设，由方程有两个解，则函数的图象与直线有两个交点， ，当时，，的减区间是，当时，，增区间是； 所以当时，取得极小值也是最小值， 显然时，，，时，， 当时，， 作出的大致图象及直线，如图， 当时，函数的图象与直线有两个交点，即方程有两个解． 故选：A. 6. 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（ ）千元． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设B商品投千元，总收益为，写出利用导数即可求解. 【详解】设B商品投千元，总收益为， 所以， 所以， 所以，令， 则，所以在上大于0，在上小于0， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在取得最大值， 即为使总收益最大，则B商品需投千元． 故选：B. 7. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】设出切点，由导数的意义和点斜式写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【详解】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故. 故选：C. 8. 已知是自然对数底数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构建，利用导数判断单调性可得，构建，利用导数判断单调性可证，进而可得，即可得结果. 【详解】构建，则在内恒成立， 可知在内单调递增， 因为， 可知，即； 构建，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则，即， 可得，且，则，即； 综上所述：. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，共18分，在每个小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 在R上是增函数 D. 在处的切线斜率是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的定义判断A；根据导数的运算法则判断B；利用导数判断函数的单调性进而判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，， 则，所以在R上是增函数，故C正确； 对于D，由，则， 则，所以在处的切线斜率是，故D正确. 故选：BCD. 10. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则， B. 函数既有极大值又有极小值 C. 若是极大值点，则在区间单调递增 D. 当时，函数有三个零点时 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可列出关于的二元一次方程组，由此解出来判断A；对于B，判断导函数的判别式，发现其恒大于，所以函数既有极大值又有极小值；对于C，要分的正负讨论，发现时在内存在先单调递减的区间，故C错误；对于D，若函数有三个零点，则极大值大于，极小值小于，结合A得到的等量关系，由此解出的取值范围. 【详解】对于A，由题意可得，令，得， 所以，解得，故A正确； 对于B，，判别式，由A知，所以， 故，即导函数有两个不同的实根，所以函数既有极大值又有极小值，故B正确； 对于C，，若是的极大值点， 当时，导函数开口向上，左侧导数为正，右侧为负，故在单调递增， 当时，导函数开口向下，左侧导数先负后正，即存在先单调递减的区间，故C错误； 对于D，，令，得或，由A知， 因为，所以极大值为，极小值为， 若函数有三个零点，则极大值，极小值， 由A可知，， 所以，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，若有两个极值点，则下面判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导后，分别在、、和的情况下，讨论单调性，从而得到极值点个数，确定；利用韦达定理可判断A正确；根据单调性可知，得到B正确；利用可化简，结合可知C错误；将化简成关于的函数，利用导数可求得最值，知D正确. 【详解】由题意知：定义域为，； 当时，，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 有且仅有一个极值点，不合题意； 当时，令，则； ①当，即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递增，无极值点，不合题意； ②当，即且时，令，解得：，； （1）当时，，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 有且仅有一个极值点，不合题意； （2）当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值点为，极小值点为，满足题意； 对于A，是方程的两根，，A正确； 对于B，当时，，当时，单调递减， ，B正确； 对于C，，， ，； ，， ，C错误； 对于D，， 是方程的两根，，， ， 令，， 在上单调递增，，，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数极值点个数求解参数范围，并判断相关结论；解题关键是能够采用讨论含参数函数单调性的方法，讨论得到函数极值点个数，从而确定满足题意的参数的取值范围. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数在处有极大值，则________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据导数与函数极值点的关系，即可求解. 【详解】，， 因为函数在处取得极大值，所以， ，得或，且 当时，，在区间和单调递增， 当时，，在区间单调递减， 所以当时函数取得极大值，即，即. 故答案为：3 13. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有______个（用数字作答） 【答案】52 【解析】 【分析】根据给定条件，按个位数字是否为0分类，根据排列计数问题列式，再根据分类计数原理求和即可求解． 【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字， 组成没有重复数字的三位偶数，有两种情况： 第一种，0在个位，有个； 第二种，0不在个位，排个位有种方法，排百位有种方法， 排十位有种方法，此时共有个， 所以符合题意的三位偶数共有个． 故答案为：52 14. 已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为_________ 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，判断函数的单调性奇偶性，据此分类讨论，利用单调性解不等式. 【详解】令，则， 因为当时，， 所以当时，，在单调递减； 又，所以为偶函数， 又， 当时，即时，由可得， 即， 由单调性可知，，解得； 由为偶函数知，当时，函数在单调递增， 当时，即时，由可得， 即， 由单调性可知，，解得， 综上，的解集为， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性，进而求解最值. 【小问1详解】 由题意,，则， 又，所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由题意，， 由，；由，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以，. 16. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求a的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）1； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后结合垂直斜率关系计算求参； （2）应用导函数的正负得出函数的单调性进而得出函数的极值即可. 【小问1详解】 由题意知， 所以，又函数在点处的切线与直线垂直， 所以，解得，即a的值为1. 小问2详解】 由（1）知，，令，解得或， 所以当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为、，单调递减区间为， 又，，所以的极大值为，极小值为. 17. 已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点． (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点． 【答案】（1）抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为x＝－；（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为，联立求得点的坐标为，再证明. 试题解析：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得. 所以抛物线C的方程为. 抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为. （Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，. 由，得. 则，. 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为. 直线ON的方程为，点B的坐标为. 因为 ， 所以. 故A为线段BM的中点. 【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分和，两种情况分类讨论得出导函数的正负即得函数单调性； （2）先化为恒成立，应用导数求右侧的最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 因，所以. 因为，若，即时，在上单调递增， 若，即时，令，得； 令，得，所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为，恒成立， 所以，则， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 又，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以，实数的取值范围为. 19. 已知函数 （1）当时，证明：； （2）若在区间单调递增，求实数的取值范围； （3）若且，，证明：． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】(1)当时利用导数讨论函数的单调性，求出的最值即可得证； (2)将函数在区间单调递增转化为在区间上恒成立，再分离参数，构造新函数，求的最值即可求出的取值范围； (3)将已知等式变形，再利用(1)中的函数可得，构造函数，求出在上的最值即可求证. 【小问1详解】 当时，，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即； 【小问2详解】 因为，所以， 若在区间单调递增， 则在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 令，所以， 因为，所以，所以， 所以单调递增， 所以，； 【小问3详解】 由，可得， 两边取以为底的对数并整理得，，即， 因为，不妨设， 由(1)知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以， 而，且当时，恒成立，得到， 记，， 则 ， 所以函数在上单调递增， 所以，即，于是， 又在上单调递减，所以， 所，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $