重点专题3-2 离散型随机变量及其分布列【13类题型汇总】- 【重难点突破】2024-2025学年高二数学下·人教A版·热点题型专练

专题3-2 离散型随机变量及其分布列 总览 题型·解读 【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 模块一 重点题型梳理 【题型1】随机变量与离散型随机变量的辨析 【题型2】随机变量分布列的性质 【题型3】由随机变量的分布列求概率 【题型4】两个相关随机变量性质问题 【题型5】求离散型随机变量的分布列 【题型6】两点分布 模块二 求分布列综合大题 【题型7】分组分配问题 【题型8】重复随机事件的分布列 【题型9】答题计分类问题 【题型10】选拔，闯关类问题 【题型11】摸球类问题 【题型12】分布列与概率综合 【题型13】比赛场次问题 课后巩固 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】随机变量与离散型随机变量的辨析 基础知识 1、随机变量定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 注：关于定义，了解就好。说白了，我们就是把真实的随机事件抽象出来，用随机变量来表示，进行数字化、抽象化，便于分析。 2、离散型随机变量：如果一个随机变量的所有可能取值为有限个或可列无穷多个，则这样的随机变量称为离散型随机变量。通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z 特别的： 非离散型随机变量：与离散型相对地，非离散型随机变量指随机变量有不可列个不同取值的随机变量。比如人的身高，可以从0厘米到300厘米任取，是无限个取值，因此是非离散型的。 【注意】离散型随机变量的特征： （1）可以用数值表示； （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； （3）试验结果能一一列出． 3、“三步法”判定离散型随机变量 （1）明确随机试验的所有可能结果； （2）将随机试验的试验结果数量化； （3）确定实验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是。 典型例题 【例题1】面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③． 【例题2】甲乙两人进行7局4胜制比赛，则最终甲获胜时两人比赛的局数记为X，则表示的含义为（    ） A．共进行了5局比赛，甲赢了前四局 B．共进行了5局比赛，其中甲赢了第五局，且前四局甲赢了其中3局 C．共进行了5局比赛，甲赢了其中4局 D．共进行了7局比赛，甲赢了其中4局 【答案】B 【分析】通过审题，理解题意，明确的含义即可得出正确答案. 【详解】7局4胜制比赛就是谁先打赢四局谁就获胜. 由于甲获胜时两人比赛的局数记为X且，说明一共比赛五局， 甲获胜说明甲赢得了其中的四局且第五局必赢，这样就是前四局中甲输了一局，即前四局甲赢了其中3局， 所以选项B正确. 【例题3】如果X是一个离散型随机变量且，其中a，b是常数且，那么Y（    ） A．不一定是随机变量 B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 【分析】根据随机变量的概念和函数的性质进行判断. 【详解】因为X是一个离散型随机变量，而，a，b是常数且， 根据函数的性质知，也是离散型随机变量. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为（ ） A．所取牌数 B．所取正牌和大王的总数 C．这副牌中正牌数 D．取出的副牌的个数 【答案】BD 【解析】对于A，所取牌数为4，是一个常数，不是随机变量，所以A错误， 对于B，4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3，4，所以是随机变量，所以B正确， 对于C，这副牌中正牌数为52，是一个常数，不是随机变量，所以C错误， 对于D，4张牌中所取出的副牌的个数可能为0，1，2，所以是随机变量， 所以D正确，故选：BD 【巩固练习2】（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ） A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X C．测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X 【答案】AC 【解析】电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确； 体重无法一一列举，选项B不正确； 人数可以列举，选项C正确； 数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量；选项D不正确；故选AC. 【巩固练习3】下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性 【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误； 对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误； 对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确； 对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误. 【题型2】随机变量分布列的性质 基础知识 离散型随机变量的分布列的性质 （1）；（2） 典型例题 【例题1】（24-25高二下·江西·阶段练习）已知随机变量X的分布规律为（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案. 【详解】因为随机变量X的分布规律为（）， 所以，解得， 所以. 【例题2】（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可. 【详解】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 【例题3】（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知，随机变量的分布列为 的最小值为 【答案】 【分析】根据分布列性质求得，利用“”的代换可求得最小值． 【详解】由题意得，，则， ∵， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用离散型随机变量X的分布列的概率之和为1，代入计算即可. 【详解】因为， 所以，所以． 【巩固练习2】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 【巩固练习3】（23-24高二下·河北邢台·期末）随机变量的分布列如下：其中，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列性质结合已知条件求得，再求解概率； 【详解】根据分布列可得，解得， 则. 【巩固练习4】（24-25高二下·山西临汾·阶段练习）设随机变量的概率分布列为如图，则常数 . 0 1 P 【答案】 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可得， 由可得，故或， 结合，故 【巩固练习5】（24-25高二下·陕西榆林·阶段练习）已知随机变量X的分布列为，，则的值为 ． 【答案】/0.4 【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果． 【详解】∵，，∴，∴， 【题型3】由随机变量的分布列求概率 基础知识 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和 典型例题 【例题1】已知随机变量的分布列为，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分布列的性质求出的值，利用互斥事件概率的加法公式得，据此计算即得答案. 【详解】由，则，解得， 则. 【例题2】现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名，这两名同学都来自甲班的概率为． (1)求7名学生中甲班的学生数； (2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2人中甲班学生数不少于1人的概率． 【答案】(1)3人，(2)分布列见解析； 【分析】（1）首先设甲班的学生数为n，由题意得：，再解方程即可. （2）首先根据题意得到的所有可能取值为0，1，2，分别计算，，，再列出分布列和计算即可. 【详解】（1）设甲班的学生数为n， 由题意得：， 整理得，解得或（舍去）． 即7个学生中，有甲班3人． （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2． 所以，，． 的分布列为 0 1 2 由分布列知． 即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为． 【例题3】（高二下·湖北十堰·阶段练习）袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数； (2)求随机变量的分布列； (3)求乙取到白球的概率. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析 (3) 【分析】（1）设袋中的白球个数为，由组合计数原理结合古典概型的概率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （3）记事件乙取到白球，可得出，结合（2）中的分布列可求得结果. 【详解】（1）解：设袋中的白球个数为，由题意可得， 整理可得，又因为且，解得， 因此，袋中白球的个数为. （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、， 则，，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： （3）解：由题意可知，记事件乙取到白球，则事件即为“第二次或第四次取到白球”， 所以，. 巩固练习 题型 【巩固练习1】一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，再进行计算即可求解． 【详解】令表示前k个球为白球，第个球为红球， 此时， 则． 【巩固练习2】（多选）设随机变量的分布列为，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由已知，选项A，可根据，分别列出时的概率，求和即可得到；选项B，根据，令带入中即可求解；选项C，根据，分别令，带入中即可求解；选项D，令带入中即可求解，即可做出判断. 【详解】选项A，由已知可得，，即，故该选项正确； 选项B，，故该选项正确； 选项C，，故该选项正确； 选项D，，故该选项错误. 【巩固练习3】（22-23高二下·重庆南岸·期中）彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件求出随机变量的取值，求出对应的概率，即可得出随机变量的分布列； （2）根据已知条件及随机变量的分布列的性质即可求解. 【详解】（1）由题意可知，的可能取值为，则 , , . 所以的分布列为 （2）该同学能及格，表示他能背诵篇或篇， 由（1）知，该同学能及格的概率为. 【巩固练习4】（22-23高二下·江苏·期中）从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记分，取出黄球记零分． (1)以表示所得分数，求X的概率分布； (2)求得分时的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）根据题意得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，得出分布列； （2）由（1）中分布列，结合，即可求解. 【详解】（1）解：依题意，当取到2个白球时，随机变量； 当取到1个白球，1个黄球时，随机变量； 当取到2个黄球时，随机变量； 当取到1个白球，1个黑球时，随机变量； 当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量； 当取到2个黑球时，随机变量， 所以随机变量的可能取值为－2，－1，0，1，2，4， 可得，，， ，，， 所以的概率分布为 0 1 2 4 （2）解：由（1）得， 所以得分时的概率为. 【题型4】两个相关随机变量分布列性质问题 基础知识 根据变量间的关系，把其中一个随机变量转化为另一个 典型例题 【例题1】（高二下·山东临沂·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 【例题2】（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量之间的关系可知若，可得，结合对立事件概率求法求出结果. 【详解】因为，若，可得， 则，所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量， 则等于 （  ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】. 【巩固练习2】已知随机变量的取值范围为，且，若，则 ． 【答案】0.9 【分析】由题意可知：，结合对立事件概率求法即可得到结果. 【详解】令，解得，且， 所以． 【巩固练习3】已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a 若随机变量Y满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据分布列的性质求解即可. 【详解】由分布列的性质可知，，所以，A正确； ，B错误； ，C正确；，D错误． 【题型5】 求离散型随机变量的分布列 基础知识 离散型随机变量的分布列 1、定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X … P … 2、离散型随机变量分布列的意义和作用 （1）离散随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础。 典型例题 【例题1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】先列出随机变量的可能值，然后求出随机变量可能值随对应的概率即可. 【详解】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况． ，则. 因此X的分布列为： X 0 1 P 【例题2】（23-24高二下·福建福州·期中）现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列． (1)将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率； (2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用组合知识结合古典概型计算概率即可； （2）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知总情况有种， 而翻开的四个半张扑克恰有2张相同的可能情况有， 所以这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率为； （2）由题意可知的可能取值有， 则， ， 所以的分布列为： 0 1 2 4 P 【例题3】（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【答案】(1)0.2 (2)分布列见解析 【分析】（1）由A两局得分之和为5等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可知X的可能取值为0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列． 【详解】（1）若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负， 所以A两局得分之和为5的概率为． （2）因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2， 所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5， 若，则X的可能取值为0，3，6，9，12， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 巩固练习 题型 【巩固练习1】一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布. 【解析】随机变量的可能取值为3、4、5、6， 且，， ，， 所以的分布为： 【巩固练习2】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会，设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列． 【解析】的可能取值为， ，，. 所以的分布列为： 【巩固练习3】（23-24高二下·河北承德·期中）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用全概率公式即可得到答案； （2）首先分析出X的可能取值有0，1，2，再按步骤写出分布列即可. 【详解】（1）记“小张第i天中午吃面食”，，“小张第j天中午吃米饭”，， 由题意可知与对立，与对立， 由全概率公式，得， 即小张第二天中午吃米饭的概率为． （2）由题意可知，X的可能取值有0，1，2． 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 【题型6】两点分布 基础知识 1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0-1分布．【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 典型例题 【例题1】已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 【答案】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且， 所以即，∴. 【例题2】已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 . 【答案】 0.7 0.3 【分析】根据两点分布的基本性质即可求解. 【详解】因为服从参数为0.3的两点分布， 所以， . 当时，，所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】随机变量服从两点分布，且，令，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布的性质求出，则. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 所以， 由，所以. 【巩固练习2】设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求的值． 【答案】 【分析】根据两点分布的概率分布，列式计算，即得答案. 【详解】由题知此试验服从两点分布，因此可列下表： X 0 1 P p 因为试验的成功率是失败率的2倍，所以，解得，，因此. 【巩固练习3】已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的分布列服从两点分布，所以， 因为，所以 故选：C 模块二 求分布列综合大题 【题型7】分组分配问题 解题技巧 先区分是否均匀分组。若均匀分组（各组元素数相同），需用组合数公式后除以组数的阶乘消除重复；非均匀分组直接逐层分步计算 典型例题 【例题1】（23-24高二下·山西·期中）今年的贺岁片《第20条》、《飞驰人生》、《热辣滚烫》引爆了电影市场，某天甲、乙、丙、丁、戊五名同学每人随机从三部电影中选一部观看，现知道每部电影至少有一人观看. (1)求只有甲乙观看《热辣滚烫》电影的概率； (2)求这五个人观看《热辣滚烫》电影的人数的分布列. 【答案】(1) (2)人数的分布列为 【分析】（1）分和计算出每部电影至少有一人观看的情况数，再得到只有甲乙观看《热辣滚烫》电影的情况数，计算出概率； （2）设这五个人观看《热辣滚烫》电影的人数为，则的可能取值为，求出对应的概率，得到分布列. 【详解】（1）5人可分为和两种情况， 其中的情况有种， 其中的情况有种， 故每部电影至少一人观看共有150种， 其中只有甲乙观看《热辣滚烫》电影，则剩余的3人分为2组， 分别从《第20条》，《飞驰人生》选择一个进行观看， 共有种情况， 故只有甲乙观看《热辣滚烫》电影的概率为； （2）设这五个人观看《热辣滚烫》电影的人数为， 则的可能取值为， 由（1）可知，每部电影至少有一人观看的情况数为150种， ①若1人观看《热辣滚烫》，即 则从5人中选择1人观看《热辣滚烫》，有种情况， 剩余的4人可分为两组，或， 共有种分法， 两组对应剩下两种电影，即， 故； ②若2人观看《热辣滚烫》，即 从5人中选择2人观看《热辣滚烫》，有种情况， 剩余的3人分为2组，即种情况， 两组对应剩下两种电影，即， 故； ③若有3人观看《热辣滚烫》，即， 从5人中选择3人观看《热辣滚烫》，有种情况， 剩余的2人分为2组，两组对应剩下两种电影，即， 故， 所以的分布列为： 【题型8】重复随机事件的分布列 典型例题 【例题1】（23-24高二下·天津·期中）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． (1)求甲至少有1次未击中目标的概率； (2)记甲击中目标的次数为，求的概率分布列； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果． （2）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列． （3）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果． 【详解】（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件， 由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响， 射击3次，相当于3次独立重复试验，故； （2）依题可知的可能取值为0，1，2，3， 并且， 即，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 （3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件， 则，、为互斥事件，， ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】2024年7月26日至8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，中国体育健儿们在赛场上奋力拼搏，取得骄人战绩．为了弘扬“更快、更高、更强、更团结”的奥运精神，以及中国运动员们展现的“和谐、包容、坚忍不拔”——中国传统文化的精髓，某校举办奥运知识竞赛．比赛的题目包括“奥运会历史”“中国历届奥运成绩”两个板块，每个板块4个题目，每位参加比赛的同学首先从“奥运会历史”板块中随机抽取2题依次回答，然后从“中国历届奥运成绩”板块中随机抽取2题依次回答，至少答对3题者获得奖品一份．已知甲同学能正确回答“奥运会历史”板块中的2题，能正确回答“中国历届奥运成绩”板块中每题的概率为0.8，且回答每题相互独立． (1)记为甲答对题数，求的分布列；(2)已知甲获得一份奖品，求甲4题全部答对的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）由题得的可能取值为0，1，2，3，4，然后根据古典概率模型和独立事件乘法公式求出相应取值的概率即可得出答案； （2）根据条件概率公式即可求解. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2，3，4， ； ； ； ； ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 （2）记“甲获得奥运礼品”为事件，“甲4题全部答对”为事件， 则． 所以已知甲获得奥运礼品，甲4题全部答对的概率为． 【巩固练习2】（23-24高二下·广东佛山·期末）某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为，，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，. (1)求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率； (2)若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用对立事件求概率即可； （2）由已知确定随机变量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，则，，， 设E表示第一次烧制后至少有一件合格， ， 所以 即第一次烧制后至少有一件产品合格的概率为. （2）设甲、乙、丙经第二次烧制后合格为事件，分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件， 则，，， ， ， 所以， ， ， ． 所以的分布列如下： 0 1 2 3 P 【题型9】答题计分类问题 解题技巧 按得分规则分类计算概率。例如答对＋5分、答错－2分，需分别列出答对题数k对应的总分，再通过组合数计算概率。若涉及多题不同分值，可构建得分分段表，用全概率公式叠加各情况概率，注意排除不可能得分区间。 典型例题 【例题1】学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响． (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1） 记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”． 则，， 设事件C表示“学生甲被录取”，则， 所以， 所以学生甲被录取的概率为. （2）由题分析知，的可能取值为2，3，4. 所以的分布列为 2 3 4 【例题2】（23-24高二下·河北保定·期中）学校组织一项竞赛，在初赛中有两轮答题：第一轮从类的三个问题中随机选两题作答，每答对一题得30分，答错得0分；第二轮从类的分值分别为40，70的2个问题中随机选1题作答，每答对一题得相应满分，答错得0分.若两轮总积分不低于100分，则晋级复赛.甲､乙同时参赛，在类的三个问题中，甲每个问题答对的概率均为，乙只能答对其中两个问题；在类的2个分值分别为40，70的问题中，甲答对的概率分别为，乙答对的概率分别为，甲､乙回答任一问题正确与否互不影响.设甲､乙在第一轮的得分分别为. (1)分别求的概率分布列； (2)分别计算甲､乙晋级复赛的概率. 【答案】(1)答案见解析； (2)甲晋级复赛概率为，乙晋级复赛概率为. 【分析】（1）根据已知条件分别求出随机变量的不同取值，求出概率写出分布列即可. （2）结合第一轮甲、乙得分的情况和第二轮得分的情况求出概率即可. 【详解】（1）根据题设可知： ， ， . 所以的分布列为 0 30 60 因为乙只能答对其中两道题，所以 ，， 故的分布列为 30 60 【例题3】（23-24高二上·吉林长春·期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；(2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果； （2）先分析的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求的分布列. 【详解】（1）记小李第次抽中为事件，则有，且两两互相独立， 记小李第一次抽中但奖金归零为事件， 则； （2）由题意可知的可能取值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·重庆·期中）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小明决定参加考试，如果考试前复习了，每次参加考试通过的概率依次为0.3，0.4，0.5，且每次考试是否通过相互独立.如果考试前不复习，每次参加考试通过的概率依次为0.1，0.2，0.3；考试前复习的概率为0.5，试求： (1)小明通过第一次考试的概率； (2)小明在一年内参加考试次数的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）由全概率公式计算即可； （2）利用条件概率公式、全概率公式及离散型随机变量的分布列公式计算即可. 【详解】（1）记事件A为考前复习，事件为第i次通过， 则小明通过第一次考试的概率； （2）易知可取，则由上知：， 则 ， ， 所以分布列为： X 1 2 3 P 0.2 0.24 0.56 【巩固练习2】学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 （1）小明在投篮过程中直到第三次才投中说明前两次没有投中，第三次投中，由此根据独立事件的乘法公式求出概率； （2）小明在4次投篮后的总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，根据独立重复事件的概率公式得出各概率即可得出分布列. 【详解】（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件， 事件说明小明前两次没有投中，第三次投中， ， 小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为. （2）小明在4次投篮后的总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8， ， ， ， ， ， 则总得分的分布列为： 0 2 4 6 8 【巩固练习3】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，的取值有0，1，2分三种情况解决． （2）先分别算出甲，乙抢到并答对一题的概率，然后再算出乙已得100分，甲若想获胜的3种情况，最后由分类加法计数原理求解即可． 【详解】（1）设甲､乙通过两轮制的初赛分别为事件， 则， 由题意可得，X的取值有， ， ， ， 分布列如下： 0 1 2 （2）依题意甲､乙抢到并答对一题的概率分别为，， 乙已得100分，甲若想获胜情况有： 甲得200分：其概率为； ②甲得100分，乙再得分，其概率为； ③甲得0分，乙再得分，其概率为； 故乙先得100分后甲获胜的概率为. （2）记事件表示“甲晋级复赛”，事件表示“乙晋级复赛”， 由于甲、乙回答任一问题正确与否互不影响，所以 ， 故甲晋级复赛概率为，乙晋级复赛概率为. 【题型10】选拔，闯关类问题 解题技巧 分析终止条件（如连续失败次数或总成功次数），建立递推关系或几何分布。例如闯关成功概率0.6，失败3次淘汰，则X为淘汰前成功次数，P(X＝k)＝0.6^k×0.3^(k＋1)（最后一次必失败），需累加所有可能失败位置。 典型例题 【例题1】学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响． (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1） 记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”． 则，， 设事件C表示“学生甲被录取”，则， 所以， 所以学生甲被录取的概率为. （2）由题分析知，的可能取值为2，3，4. 所以的分布列为 2 3 4 【例题2】（23-24高二上·吉林长春·期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；(2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果； （2）先分析的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求的分布列. 【详解】（1）记小李第次抽中为事件，则有，且两两互相独立， 记小李第一次抽中但奖金归零为事件， 则； （2）由题意可知的可能取值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·重庆·期中）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小明决定参加考试，如果考试前复习了，每次参加考试通过的概率依次为0.3，0.4，0.5，且每次考试是否通过相互独立.如果考试前不复习，每次参加考试通过的概率依次为0.1，0.2，0.3；考试前复习的概率为0.5，试求： (1)小明通过第一次考试的概率； (2)小明在一年内参加考试次数的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）由全概率公式计算即可； （2）利用条件概率公式、全概率公式及离散型随机变量的分布列公式计算即可. 【详解】（1）记事件A为考前复习，事件为第i次通过， 则小明通过第一次考试的概率； （2）易知可取，则由上知：， 则 ， ， 所以分布列为： X 1 2 3 P 0.2 0.24 0.56 【巩固练习2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. (1)求P； (2)当时，求甲得分X的分布列 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，利用条件概率可得，求解即可； （2）X可能的取值为0，1，2，计算可求得分布列 【详解】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”， 则，，，，， ， 则，解得； （2）由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知 ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江·期中）每年的 3 月 14 日是“国际圆周率日”，这是为纪念中国古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024 年 3月 14日，某班级为纪念这个日子，特举办数学题答题比赛． 已知赛题共 6道(各不相同)，其中 3 道为高考题，另 3 道为竞赛题，参赛者依次不放回地从 6 道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错(或不答) 或者 6道题都答对即停止并记录答对题数． (1)举办方进行模拟抽题，设第次为首次抽到竞赛题，求的分布列； (2)同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为，竞赛题答对的概率为． ①求同学停止答题时答对题数为1的概率； ②已知同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数的分布列． 【答案】(1)分布列见解析 (2)①；② 【分析】（1）写出可能取值，并分别求出对应的概率，列出分布列即可； （2）①设出事件，分析可能的情况，并求出概率即可；②写出可能的取值，并计算出各个取值的概率，列出分布列. 【详解】（1）由题意知：可能取， ，， ，. 所以的分布列为： X P （2）①设“同学停止答题时答对题数为”为事件， “同学第一次抽中高考题，第二次抽中竞赛题并答错”为事件， “同学第一次抽中竞赛题并答对，第二次还抽中竞赛题并答错”为事件， 则；； 所以. ②由同学停止答题时答对题数为， 设事件“第次选中竞赛题没答对”；“第次选中竞赛题并答对”； “第次选中高考题”. 答题结束时答对 2 题的概率为 ， 易知可能取， ； ； . 的分布列为： 0 1 2 P 【题型11】摸球类问题 解题技巧 区分放回与不放回。关键步骤：明确目标球数a和非目标球数b，计算抽取n球中k目标球的概率 典型例题 【例题1】（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型及互斥事件的概率和公式求解； （2）由题意化为两个互斥事件的和，利用概率公式得解； （3）由题意得出的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列得解. 【详解】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件， 分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球； 所以概率. （2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件A，第三次取球后袋中无红球为事件B, 则, ， 所以. （3）由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， , 所以分布列为： 0 1 2 3 4 【例题2】（23-24高二下·广东茂名·期中）化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题知甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种），进而根据古典概型与独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）依次求得离散型随机变量的分布列取值对应的概率，进而求出随机变量的分布列. 【详解】（1）设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”， 由三等奖有4种奖品供选择，故甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种）， 因为每位消费者抽中三等奖的概率均为， 所以，． （2）由题，的所有可能取值为0，1，2，3， 由题知，4个人挑选了4种奖品，共有种情况， 表示4个人挑选了4种奖品，所以； 表示4个人挑选了3种奖品，故有2个人选中同一种奖品， 所以； 当表示4个人挑选了2种奖品，从4种奖品中选2种奖品的方法有（种）， 对于被选中的2种奖品，4个人不同的选择方法有（种）， 所以有2种奖品被选中的方法有（种）， 所以，； 当表示4个人挑选了同一种奖品， 所以． 所以的分布列为 0 1 2 3 【例题3】（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球. (1)求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率； (2)设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析. 【分析】（1）相当于比赛前刚好取到了一个新球，一个旧球，即可得答案； （2）由题意分析可知的可能值为0，1，2，3，4.后由题意可得相应概率，即可得分布列. 【详解】（1）因一局比赛后盒中恰有3个新球，则本局比赛取到了一个旧球，一个新球. 因一共有6个球，则总情况数为，取到一个新球，一个旧球的情况数为， 则相应概率为： ； （2）设第一局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为， 第二局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为， 则两局比赛后新球的个数可能为0，1，2，3，4. ； ； ； ； . 则分布列如下： 0 1 2 3 4 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·河北邢台·期中）一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； (2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）列出所有满足题意的情况，再利用古典概型即可求出答案； （2）首先分析出X可能的值有5，4，3，2，再分别写出其对应概率即可. 【详解】（1）7个球里取3个共有种， 3个小球上的数字之和等于10的含有4，5，1；3，5，2；3，4，3， 其中4，5，1只有一种，而3，5，2有种，即从两个3，两个2里各取一个，3，4，3也只有一种， 所以总共有种， 所以取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为. （2）由题意可知，X可能的值有5，4，3，2， ， ， ， . 所以X的分布列为： 2 3 4 5 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆·期中）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． 【答案】(1)乙 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出甲，乙，丙进入决赛的概率，比较大小确定结论， （2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为， 因为，所以， 所以乙进入决赛的概率最大， 所以乙进入决赛的可能性最大． （2）当时，丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为， 根据题意，得到随机变量的可能取值为0，1，2，3， 可得； ，， ，所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【巩固练习3】2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型及对立事件的概率公式即可得解； （2）求出的可能取值，再求出各个值对应的概率，求出分布列即可得解. 【详解】（1）记事件为“两手所取的球不同色”，事件是两手所取球颜色相同， 则，所以. （2）依题意，的可能取值为， 左手所取的两球颜色相同的概率为， 右手所取的两球颜色相同的概率为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 【巩固练习4】（23-24高二下·河南郑州·期中）夏辰广场乒乓球场上，乒乓飞舞，明星老师带领班上同学组织班内友谊比赛，拿过来一盘乒乓球，盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球），每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球. (1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率; (2)设三局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）相当于比赛两局第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球，即可得答案； （2）由题意分析可知的可能值为1，2，3，4，然后求得相应概率，即可得分布列. 【详解】（1）因两局比赛后盒中恰有3个新球，两局第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球. 两次取球总情况数为，第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球的情况数为， 则相应概率为： . （2）三局比赛后盒中新球的个数可能为1，2，3，4. 三局比赛取球包含种情况， 当三局比赛后剩1个新球时，那么第一次取新球，第二次取新球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩2个新球时，那么第一次取新球，第二次取新球，第三次取旧球， 或者第一次取新球，第二次取旧球，第三次取新球， 或者第一次取旧球，第二次取新球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩3个新球时，那么第一次取新球，第二次取旧球，第三次取旧球， 或者第一次取旧球，第二次取新球，第三次取旧球， 或者第一次取旧球，第二次取旧球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩4个新球时，那么第一次取旧球，第二次取旧球，第三次取旧球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； ； ； ； 则分布列如下： 1 2 3 4 【题型12】分布列与概率综合 典型例题 【例题1】某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制．积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为． (1)在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列； (2)已知甲在参加三场比赛后积分之和为5分，求这三场比赛甲得分都不同的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到可能取值为，分别求得相应的概率，即可列出分布列； （2）设甲在参加三场比赛后积分之和为5分为事件，三场比赛甲得分都不同为事件，结合甲的三场比赛积分分别为1，1，3或者0，2，3或者1，2，2，结合相互独立的事件的乘法公式和条件概率的计算，即可求解. 【详解】（1） 解：由题意得，随机变量可能取值为， 当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输， 则； 当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输， 则； 当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢， 则； 当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢， 则， 所以的概率分布列如下： 0 1 2 3 （2） 解：设甲在参加三场比赛后积分之和为5分为事件，设这三场比赛甲得分都不同为事件， 则甲的三场比赛积分分别为1，1，3或者0，2，3或者1，2，2， 所以， 且，， 故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率分别为. 【例题2】（2025·云南玉溪·二模）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； (3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意结合条件概率知识可得答案； （2）由题可得可取0，1，2，即可得分布列及相应期望； （3）由（2）结合全概率公式可得答案. 【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”，则，， 由条件概率公式，； （2）由题意：，1，2. ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 （3）设事件“检测器检测到两个“1指向”光子”， 事件“发射器发射了个“1指向”光子”， 由（2）知：，，， 则，，， 由全概率公式，得： . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24·江西·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球. (1)求在前4球中，甲领先的概率； (2)16球过后，双方战平（），已知继续对战数球后，甲率先取得11分并获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）.设净胜分为（甲，乙的得分之差），求的分布列. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）分甲乙比分为和两种情况计算，然后再求和即可； （2）16球过后至少再比3场，甲连胜率先取得11分赢得比赛，或者再比4场，如果再比5场，甲11分的话，乙这时10分，不符合题意，所以该情况排除．分别计算甲乙的比分为或时的概率，结合条件概率的计算即可求解． 【详解】（1）甲与乙的比分是的概率为， 比分是的概率为， 故前4球中，甲领先的概率； （2）依题意，接下来由甲先发球．继续对战数球后，甲获得11分胜利， 即甲或获胜， 即在接下来的比赛中，甲乙的比分为或，且最后一球均为甲获胜， 记比分为为事件，则， 记比分为为事件，即在接下来的4场比赛中，前3场比赛中，甲获胜两场，期间甲发球两次，乙发球两次， ， 故甲依题意获胜的概率为， 的所有可能取值为3，2， 由条件概率有， 故的分布列为： 2 3 【巩固练习2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）甲､乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲､乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分.根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲､乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响. (1)求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望； (2)设这次比赛共有4局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）利用相互独立事件乘法原理和互斥事件加法原理来计算各得分概率即可求解； （2）利用上述原理，先研究一局比赛得分情况，再分析四局总得分为正的情形即可求解. 【详解】（1）甲的得分的取值可能为. ， ， ， 所以，的分布列为 -10 0 10 所以. （2）由（1）知，在一局比赛中， 乙获得10分的概率为， 乙获得0分的概率为， 乙获得-10分的概率为. 在4局比赛中，乙获得40分的概率为， 在4局比赛中，乙获得30分的概率为， 在4局比赛中，乙获得20分的概率为， 在4局比赛中，乙获得10分的概率为， 所以，乙最终获胜的概率为. 【巩固练习3】（24-25高三下·山东聊城·开学考试）在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球． (1)记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列； (2)若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值． （参考数据：，） 【答案】(1)分布列见解析 (2)10 【分析】（1）由题意，X的可能值有0，1，2，3，分别计算它们对应的概率值，列出分布列即得； （2）分析可得，，由之构造数列，判断其为从第二项起构成公比为的等比数列，求出其通项，依题解不等式，利用取对数即得n的最小值. 【详解】（1）依题意，X的可能值有0，1，2，3. 则； ； ； . 故X的分布列为： 0 1 2 3 （2）设乙队在第n次获得发球权的概率为， 则依题意有：，，即， 因，且， 故数列从第二项起构成公比为的等比数列， 则，即， 依题意，由，可得， 两边取常用对数，可得：，即， 因，故， 因，故n的最小值为10. 【题型13】比赛场次问题 解题技巧 根据赛制（如三局两胜）确定最大场次，按胜负序列组合计算概率。例如甲胜率0.6，乙0.4，求3局内决胜负的场次分布：X＝2时需前两局连胜，P＝0.6²＋0.4²；X＝3时前两局1胜1负，P＝2×0.6×0.4，再乘决胜局胜率。 典型例题 【例题1】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为． (1)求乙队以的比分获胜的概率； (2)设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）依题意可知前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜，根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）乙队以的比分获胜，这表明在前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜， 故乙队以的比分获胜的概率． （2）由题意，的可能取值为、、， 所以； ； ． 所以的分布列为 【例题2】某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制．积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为． (1)在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列； (2)已知甲在参加三场比赛后积分之和为5分，求这三场比赛甲得分都不同的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到可能取值为，分别求得相应的概率，即可列出分布列； （2）设甲在参加三场比赛后积分之和为5分为事件，三场比赛甲得分都不同为事件，结合甲的三场比赛积分分别为1，1，3或者0，2，3或者1，2，2，结合相互独立的事件的乘法公式和条件概率的计算，即可求解. 【详解】（1）解：由题意得，随机变量可能取值为， 当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输， 则； 当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输， 则； 当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢， 则； 当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢， 则， 所以的概率分布列如下： 0 1 2 3 （2）解：设甲在参加三场比赛后积分之和为5分为事件，设这三场比赛甲得分都不同为事件， 则甲的三场比赛积分分别为1，1，3或者0，2，3或者1，2，2， 所以， 且，， 故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率分别为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24·浙江绍兴·阶段练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)求甲赢得比赛的概率； (2)记比赛结束时的总局数为，写出的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见详解，. 【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解； （2）的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可. 【详解】（1）比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况： ①    甲连赢3局：； ②    前3局2胜1负，第4局甲赢：; ③    前4局甲2胜2负，第5局甲赢：， 所以甲赢得比赛的概率为. （2）可以取3，4，5 所以, , , 由此可得的分布列为： 3 4 5 【巩固练习2】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是． (1)求比赛结束时恰好打了6局的概率； (2)若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）比赛恰好打了6局的情况有两种：甲胜或乙胜，即可求解； （2）分析可知X的可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列. 【详解】（1）比赛结束时， 恰好打了6局，甲获胜的概率为， 恰好打了6局，乙获胜的概率为， 所以比赛结束时恰好打了6局的概率为； （2）X的可能取值为2，3，4，5， ， ， ， ， 所以X的分布列如下： 2 3 4 5 【巩固练习3】（23-24高二上·河南·期末）学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平局.已知甲赢乙的概率为0.3，乙赢丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7. (1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数的概率分布列； (2)求甲成为优胜者的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)0.132 【分析】（1）根据题意比赛局数的可能取值为，，，根据对应的事件求其概率即可； （2）分别求甲乙、甲丙、乙丙开局时甲成为优胜者的概率，再根据全概率公式可得. 【详解】（1）比赛局数的可能取值为. 比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以， 比赛三局结束，则第二局､第三局丙连胜，所以， 比赛四局结束，所以， 所以的分布列为： 2 3 4 0.44 0.35 0.21 （2）记甲､乙比赛第一局为事件，甲､丙比赛第一局为事件，乙､丙比赛第一局为事件，甲成为优胜者为事件.第一局比赛双方可能是甲乙､甲丙､乙丙共三种情况， 则， 所以， . 所以 . 所以甲成为优胜者的概率为0.132. 课后巩固 1. 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，则命中的环数小于9环的概率为 ． 【答案】0.5 【分析】根据已知分布列，所求概率是命中6、7、8环的概率之和，即可得答案. 【详解】命中的环数小于9环的概率为． 2. （24-25高二下·陕西西安·阶段练习）设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 ． 【答案】 【分析】根据随机变量的概率非负不大于，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于，列出方程和不等式，解方程组即可． 【详解】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于， 所以，解得或，又因为随机变量的概率非负不大于， 所以，，解得，综上 3. 某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1),(2)答案见解析 【分析】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果； （2）先分析的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求的分布列. 【详解】（1）记小李第次抽中为事件，则有，且两两互相独立， 记小李第一次抽中但奖金归零为事件， 则； （2）由题意可知的可能取值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 4. （23-24高二下·安徽安庆·期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为 . ξ 1 2 3 P 【答案】或 【分析】由求解. 【详解】解：由题可得，∴或，经检验适合题意. 5. （23-24高二下·重庆·阶段练习）（多选）围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为，则下列结论正确的是（    ） A．且甲获得冠军的概率是 B．有连续三场比赛都是乙胜的概率是 C． D．若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军 【答案】CD 【分析】对ABCD，分析出满足各自选项的所有情况，再利用独立事件的乘法公式一一判断即可. 【详解】对于A，且甲获得冠军有两种情况:且甲获得冠军，且甲获得冠军， 且甲获得冠军表示甲连胜三场，且甲获得冠军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜， 所以且甲获得冠军的概率为，故A错误; 对于B，有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况：前三场比赛都是乙获胜， 第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，前两场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜， 所以有连续三场比赛都是乙胜的概率为，故B错误; 对于C，包含两种情况:比赛四场甲获得冠军，比赛四场乙获得冠军， 所以，故C正确； 对于D，甲赢了第一场，乙获得冠军包含两种情况： 第二至第四场都是乙获胜，第五场乙获胜且第二至第四场中有两场乙获胜， 所以甲赢了第一场，乙获得冠军的概率为， 因为为，所以若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军，故D正确. 6. 已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. (1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】 （1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）甲得分的可能取值为0，2；乙得分的可能取值为0，2，5，分别计算概率，列出分布列. 【详解】（1）某题正确答案是“选两项”的条件下，他不得0分的情况有两种： ①只选一个选项得2分的概率为：; ②选两个选项，得5分的概率为：; 所以某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲不得0分的概率为：; （2）结合题意：设学生甲得分为,则的可能取值为， ; ; 学生甲得分的分布列为: 0 2 设学生乙得分为,则的可能取值为， ; ; ; 学生乙得分的分布列为: 0 2   5 7. （23-24高二下·湖北武汉·期中）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的个问题中随机抽取个作答，已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个. (1)在小张和ChatGPT的这次挑战中，求小张答对的题数的分布列； (2)给ChatGPT输入一个问题，求该问题能被ChatGPT回答正确的概率； 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，得出的可能取值为，求出相应的概率，即可求出结果； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT回答正确”，从而有，再利用全概率公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题知的可能取值为， ，， 所以小张答对的题数的分布列为 （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT回答正确”， 由题知，，，， 则. 8. （23-24高二下·湖北十堰·期末）某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下： 品牌代号 1 2 3 4 5 6 7 促销活动经费 1 2 4 6 10 13 20 销售额 12 20 44 40 56 60 82 若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”． (1)从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率； (2)从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【分析】（1）先计算分析“有效促销”和“过度促销”品牌个数，然后根据排列组合知识列出基本事件总数以及所求问题的事件数，计算比值即可； （2）由（1）可知“有效促销”的品牌数，得出随机变量的取值，再求相应的概率即可求出分布列和数学期望. 【详解】（1）根据题意计算得，7个品牌中“有效促销”的品牌是1，2，3号品牌，共有3个，“过度促销”的品牌是6，7号品牌，共有2个． 设“取出的4个品牌中‘有效促销’ 的个数比‘过度促销’的个数多”为事件， 则． （2）由（1）知，7个品牌中有3个品牌是“有效促销”，所以的可能取值是0，1，2，3， 因为，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． $$专题3-2 离散型随机变量及其分布列 总览 题型·解读 【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 模块一 重点题型梳理 【题型1】随机变量与离散型随机变量的辨析 【题型2】随机变量分布列的性质 【题型3】由随机变量的分布列求概率 【题型4】两个相关随机变量性质问题 【题型5】求离散型随机变量的分布列 【题型6】两点分布 模块二 求分布列综合大题 【题型7】分组分配问题 【题型8】重复随机事件的分布列 【题型9】答题计分类问题 【题型10】选拔，闯关类问题 【题型11】摸球类问题 【题型12】分布列与概率综合 【题型13】比赛场次问题 课后巩固 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】随机变量与离散型随机变量的辨析 基础知识 1、随机变量定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 注：关于定义，了解就好。说白了，我们就是把真实的随机事件抽象出来，用随机变量来表示，进行数字化、抽象化，便于分析。 2、离散型随机变量：如果一个随机变量的所有可能取值为有限个或可列无穷多个，则这样的随机变量称为离散型随机变量。通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z 特别的： 非离散型随机变量：与离散型相对地，非离散型随机变量指随机变量有不可列个不同取值的随机变量。比如人的身高，可以从0厘米到300厘米任取，是无限个取值，因此是非离散型的。 【注意】离散型随机变量的特征： （1）可以用数值表示； （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； （3）试验结果能一一列出． 3、“三步法”判定离散型随机变量 （1）明确随机试验的所有可能结果； （2）将随机试验的试验结果数量化； （3）确定实验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是。 典型例题 【例题1】面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】甲乙两人进行7局4胜制比赛，则最终甲获胜时两人比赛的局数记为X，则表示的含义为（    ） A．共进行了5局比赛，甲赢了前四局 B．共进行了5局比赛，其中甲赢了第五局，且前四局甲赢了其中3局 C．共进行了5局比赛，甲赢了其中4局 D．共进行了7局比赛，甲赢了其中4局 【例题3】如果X是一个离散型随机变量且，其中a，b是常数且，那么Y（    ） A．不一定是随机变量 B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为（ ） A．所取牌数 B．所取正牌和大王的总数 C．这副牌中正牌数 D．取出的副牌的个数 【巩固练习2】（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ） A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X C．测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X 【巩固练习3】下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性 【题型2】随机变量分布列的性质 基础知识 离散型随机变量的分布列的性质 （1）；（2） 典型例题 【例题1】（24-25高二下·江西·阶段练习）已知随机变量X的分布规律为（），则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知，随机变量的分布列为 的最小值为 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二下·河北邢台·期末）随机变量的分布列如下：其中，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 【巩固练习4】（24-25高二下·山西临汾·阶段练习）设随机变量的概率分布列为如图，则常数 . 0 1 P 【巩固练习5】（24-25高二下·陕西榆林·阶段练习）已知随机变量X的分布列为，，则的值为 ． 【题型3】由随机变量的分布列求概率 基础知识 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和 典型例题 【例题1】已知随机变量的分布列为，则等于(　　) A． B． C． D． 【例题2】现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名，这两名同学都来自甲班的概率为． (1)求7名学生中甲班的学生数； (2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2人中甲班学生数不少于1人的概率． 【例题3】（高二下·湖北十堰·阶段练习）袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数；(2)求随机变量的分布列；(3)求乙取到白球的概率. 巩固练习 题型 【巩固练习1】一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选）设随机变量的分布列为，（），则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（22-23高二下·重庆南岸·期中）彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率． 【巩固练习4】（22-23高二下·江苏·期中）从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记分，取出黄球记零分． (1)以表示所得分数，求X的概率分布；(2)求得分时的概率． 【题型4】两个相关随机变量分布列性质问题 基础知识 根据变量间的关系，把其中一个随机变量转化为另一个 典型例题 【例题1】（高二下·山东临沂·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量， 则等于 （  ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【巩固练习2】已知随机变量的取值范围为，且，若，则 ． 【巩固练习3】已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a 若随机变量Y满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5】 求离散型随机变量的分布列 基础知识 离散型随机变量的分布列 1、定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X … P … 2、离散型随机变量分布列的意义和作用 （1）离散随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础。 典型例题 【例题1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． 【例题2】（23-24高二下·福建福州·期中）现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列． (1)将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率； (2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望． 【例题3】（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 巩固练习 题型 【巩固练习1】一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布. 【巩固练习2】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会，设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列． 【巩固练习3】（23-24高二下·河北承德·期中）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率；(2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 【题型6】两点分布 基础知识 1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0-1分布．【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 典型例题 【例题1】已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 【例题2】已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】随机变量服从两点分布，且，令，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求的值． 【巩固练习3】已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ） A． B． C． D． 模块二 求分布列综合大题 【题型7】分组分配问题 解题技巧 先区分是否均匀分组。若均匀分组（各组元素数相同），需用组合数公式后除以组数的阶乘消除重复；非均匀分组直接逐层分步计算 典型例题 【例题1】（23-24高二下·山西·期中）今年的贺岁片《第20条》、《飞驰人生》、《热辣滚烫》引爆了电影市场，某天甲、乙、丙、丁、戊五名同学每人随机从三部电影中选一部观看，现知道每部电影至少有一人观看. (1)求只有甲乙观看《热辣滚烫》电影的概率；(2)求这五个人观看《热辣滚烫》电影的人数的分布列. 【题型8】重复随机事件的分布列 典型例题 【例题1】（23-24高二下·天津·期中）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． (1)求甲至少有1次未击中目标的概率； (2)记甲击中目标的次数为，求的概率分布列； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 巩固练习 题型 【巩固练习1】2024年7月26日至8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，中国体育健儿们在赛场上奋力拼搏，取得骄人战绩．为了弘扬“更快、更高、更强、更团结”的奥运精神，以及中国运动员们展现的“和谐、包容、坚忍不拔”——中国传统文化的精髓，某校举办奥运知识竞赛．比赛的题目包括“奥运会历史”“中国历届奥运成绩”两个板块，每个板块4个题目，每位参加比赛的同学首先从“奥运会历史”板块中随机抽取2题依次回答，然后从“中国历届奥运成绩”板块中随机抽取2题依次回答，至少答对3题者获得奖品一份．已知甲同学能正确回答“奥运会历史”板块中的2题，能正确回答“中国历届奥运成绩”板块中每题的概率为0.8，且回答每题相互独立． (1)记为甲答对题数，求的分布列；(2)已知甲获得一份奖品，求甲4题全部答对的概率． 【巩固练习2】（23-24高二下·广东佛山·期末）某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为，，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，. (1)求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率； (2)若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为，求随机变量的分布列. 【题型9】答题计分类问题 解题技巧 按得分规则分类计算概率。例如答对＋5分、答错－2分，需分别列出答对题数k对应的总分，再通过组合数计算概率。若涉及多题不同分值，可构建得分分段表，用全概率公式叠加各情况概率，注意排除不可能得分区间。 典型例题 【例题1】学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响． (1)求学生甲被录取的概率；(2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列． 【例题2】（23-24高二下·河北保定·期中）学校组织一项竞赛，在初赛中有两轮答题：第一轮从类的三个问题中随机选两题作答，每答对一题得30分，答错得0分；第二轮从类的分值分别为40，70的2个问题中随机选1题作答，每答对一题得相应满分，答错得0分.若两轮总积分不低于100分，则晋级复赛.甲､乙同时参赛，在类的三个问题中，甲每个问题答对的概率均为，乙只能答对其中两个问题；在类的2个分值分别为40，70的问题中，甲答对的概率分别为，乙答对的概率分别为，甲､乙回答任一问题正确与否互不影响.设甲､乙在第一轮的得分分别为. (1)分别求的概率分布列；(2)分别计算甲､乙晋级复赛的概率. 【例题3】（23-24高二上·吉林长春·期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·重庆·期中）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小明决定参加考试，如果考试前复习了，每次参加考试通过的概率依次为0.3，0.4，0.5，且每次考试是否通过相互独立.如果考试前不复习，每次参加考试通过的概率依次为0.1，0.2，0.3；考试前复习的概率为0.5，试求： (1)小明通过第一次考试的概率； (2)小明在一年内参加考试次数的分布列. 【巩固练习2】学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列 【巩固练习3】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 【题型10】选拔，闯关类问题 解题技巧 分析终止条件（如连续失败次数或总成功次数），建立递推关系或几何分布。例如闯关成功概率0.6，失败3次淘汰，则X为淘汰前成功次数，P(X＝k)＝0.6^k×0.3^(k＋1)（最后一次必失败），需累加所有可能失败位置。 典型例题 【例题1】学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响． (1)求学生甲被录取的概率；(2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列． 【例题2】（23-24高二上·吉林长春·期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·重庆·期中）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小明决定参加考试，如果考试前复习了，每次参加考试通过的概率依次为0.3，0.4，0.5，且每次考试是否通过相互独立.如果考试前不复习，每次参加考试通过的概率依次为0.1，0.2，0.3；考试前复习的概率为0.5，试求： (1)小明通过第一次考试的概率； (2)小明在一年内参加考试次数的分布列. 【巩固练习2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. (1)求P；(2)当时，求甲得分X的分布列 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江·期中）每年的 3 月 14 日是“国际圆周率日”，这是为纪念中国古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024 年 3月 14日，某班级为纪念这个日子，特举办数学题答题比赛． 已知赛题共 6道(各不相同)，其中 3 道为高考题，另 3 道为竞赛题，参赛者依次不放回地从 6 道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错(或不答) 或者 6道题都答对即停止并记录答对题数． (1)举办方进行模拟抽题，设第次为首次抽到竞赛题，求的分布列； (2)同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为，竞赛题答对的概率为． ①求同学停止答题时答对题数为1的概率； ②已知同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数的分布列． 【题型11】摸球类问题 解题技巧 区分放回与不放回。关键步骤：明确目标球数a和非目标球数b，计算抽取n球中k目标球的概率 典型例题 【例题1】（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【例题2】（23-24高二下·广东茂名·期中）化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【例题3】（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球. (1)求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；(2)设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·河北邢台·期中）一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； (2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列． 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆·期中）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． 【巩固练习3】2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列． 【巩固练习4】（23-24高二下·河南郑州·期中）夏辰广场乒乓球场上，乒乓飞舞，明星老师带领班上同学组织班内友谊比赛，拿过来一盘乒乓球，盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球），每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球. (1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率; (2)设三局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 【题型12】分布列与概率综合 典型例题 【例题1】某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制．积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为． (1)在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列； (2)已知甲在参加三场比赛后积分之和为5分，求这三场比赛甲得分都不同的概率． 【例题2】（2025·云南玉溪·二模）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； (3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24·江西·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球. (1)求在前4球中，甲领先的概率； (2)16球过后，双方战平（），已知继续对战数球后，甲率先取得11分并获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）.设净胜分为（甲，乙的得分之差），求的分布列. 【巩固练习2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）甲､乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲､乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分.根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲､乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响. (1)求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望； (2)设这次比赛共有4局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 【巩固练习3】（24-25高三下·山东聊城·开学考试）在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球． (1)记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列； (2)若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值． （参考数据：，） 【题型13】比赛场次问题 解题技巧 根据赛制（如三局两胜）确定最大场次，按胜负序列组合计算概率。例如甲胜率0.6，乙0.4，求3局内决胜负的场次分布：X＝2时需前两局连胜，P＝0.6²＋0.4²；X＝3时前两局1胜1负，P＝2×0.6×0.4，再乘决胜局胜率。 典型例题 【例题1】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为． (1)求乙队以的比分获胜的概率； (2)设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列． 【例题2】某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制．积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为． (1)在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列； (2)已知甲在参加三场比赛后积分之和为5分，求这三场比赛甲得分都不同的概率． 【巩固练习1】（23-24·浙江绍兴·阶段练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)求甲赢得比赛的概率； (2)记比赛结束时的总局数为，写出的分布列． 【巩固练习2】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是． (1)求比赛结束时恰好打了6局的概率； (2)若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列． 【巩固练习3】（23-24高二上·河南·期末）学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平局.已知甲赢乙的概率为0.3，乙赢丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7. (1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数的概率分布列；(2)求甲成为优胜者的概率. 课后巩固 1. 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，则命中的环数小于9环的概率为 ． 2. （24-25高二下·陕西西安·阶段练习）设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 ． 3. 某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列． 4. （23-24高二下·安徽安庆·期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为 . ξ 1 2 3 P 5. （23-24高二下·重庆·阶段练习）（多选）围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为，则下列结论正确的是（    ） A．且甲获得冠军的概率是 B．有连续三场比赛都是乙胜的概率是 C． D．若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军 6. 已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. (1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列. 7. （23-24高二下·湖北武汉·期中）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的个问题中随机抽取个作答，已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个. (1)在小张和ChatGPT的这次挑战中，求小张答对的题数的分布列； (2)给ChatGPT输入一个问题，求该问题能被ChatGPT回答正确的概率； 8. （23-24高二下·湖北十堰·期末）某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下： 品牌代号 1 2 3 4 5 6 7 促销活动经费 1 2 4 6 10 13 20 销售额 12 20 44 40 56 60 82 若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”． (1)从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率； (2)从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望． $$【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 1 / 30 专题 3-2 离散型随机变量及其分布列 模块一 重点题型梳理 【题型 1】随机变量与离散型随机变量 的辨析 【题型 2】随机变量分布列的性质 【题型 3】由随机变量的分布列求概率 【题型 4】两个相关随机变量性质问题 【题型 5】求离散型随机变量的分布列 【题型 6】两点分布 模块二 求分布列综合大题 【题型 7】分组分配问题 【题型 8】重复随机事件的分布列 【题型 9】答题计分类问题 【题型 10】选拔，闯关类问题 【题型 11】摸球类问题 【题型 12】分布列与概率综合 【题型 13】比赛场次问题 课后巩固 模块一 重点题型梳理 【题型 1】随机变量与离散型随机变量的辨析 1、随机变量定义：一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω，都有唯一的实数 X(ω)与 之对应，我们称 X 为随机变量. 注：关于定义，了解就好。说白了，我们就是把真实的随机事件抽象出来，用随机变量来表示，进 行数字化、抽象化，便于分析。 2、离散型随机变量：如果一个随机变量的所有可能取值为有限个或可列无穷多个，则这样的随机变 量称为离散型随机变量。通常用大写英文字母表示随机变量，例如 X，Y，Z 特别的： 非离散型随机变量：与离散型相对地，非离散型随机变量指随机变量有不可列个不同取值的随机变 量。比如人的身高，可以从 0 厘米到 300 厘米任取，是无限个取值，因此是非离散型的。 【注意】离散型随机变量的特征： （1）可以用数值表示； （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； （3）试验结果能一一列出． 总览 题型·解读 题型汇编 知识梳理与常考题型 基础知识 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 2 / 30 3、“三步法”判定离散型随机变量 （1）明确随机试验的所有可能结果； （2）将随机试验的试验结果数量化； （3）确定实验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离 散型随机变量，否则不是。 【例题 1】面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数𝜉； ②一个沿𝑥轴进行随机运动的质点，它在𝑥轴上的位置𝜂； ③某派出所一天内接到的报警电话次数𝑋； ④某同学上学路上离开家的距离𝑌． 其中是离散型随机变量的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题 2】甲乙两人进行 7 局 4 胜制比赛，则最终甲获胜时两人比赛的局数记为 X，则 5X  表示的 含义为（ ） A．共进行了 5 局比赛，甲赢了前四局 B．共进行了 5 局比赛，其中甲赢了第五局，且前四局甲赢了其中 3 局 C．共进行了 5 局比赛，甲赢了其中 4 局 D．共进行了 7 局比赛，甲赢了其中 4 局 【例题 3】如果 X是一个离散型随机变量且𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏，其中 a，b是常数且𝑎 ≠ 0，那么 Y（ ） A．不一定是随机变量 B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 【巩固练习 1】（多选）一副扑克牌共有 54 张牌，其中 52 张是正牌，另 2 张是副牌（大王和小王）， 从中任取 4 张，则随机变量可能为（ ） A．所取牌数 B．所取正牌和大王的总数 C．这副牌中正牌数 D．取出的副牌的个数 【巩固练习 2】（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ） 典型例题 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 3 / 30 A．某电话亭内的一部电话 1 小时内使用的次数记为 X B．测量一个年级所有学生的体重，在 60kg~70kg之间的体重记为 X C．测量全校所有同学的身高，在 170cm~175cm 之间的人数记为 X D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为 X 【巩固练习 3】下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性 【题型 2】随机变量分布列的性质 离散型随机变量的分布列的性质 （1） 0, 1, 2, ,ip i n  ；（2） 1 2 1np p p    【例题 1】（24-25 高二下·江西·阶段练习）已知随机变量 X的分布规律为   2P X i ai  （ 1,2,3i  ）， 则  2P X  （ ） A． 2 7 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 7 【例题 2】（24-25 高二下·全国·课后作业）设 X 是一个离散型随机变量，其分布列如下，则 (| | 1)P X  等于（ ） X 1 0 1 P 1 3 1 2q 2 13 3 q q  A． 2 3 B． 1 3 C． 1 4 D． 3 4 【例题 3】（24-25 高三下·江苏扬州·阶段练习）已知 0, 0a b  ，随机变量 X 的分布列为 基础知识 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 4 / 30 X 1 2 3 4 P a 1 6 1 6 b 1 4 a b  的最小值为 【巩固练习 1】（23-24 高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量 X的分布列为    1 a P X n n n    （ 1n  ，2，3），则a （ ） A． 3 4 B． 4 3 C． 2 3 D． 3 2 【巩固练习2】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则  2P   （ ）  1 2 3 4 P 24 a 8 a 1 2 1 6 A． 3 4 B． 11 12 C． 2 3 D． 23 24 【巩固练习 3】（23-24 高二下·河北邢台·期末）随机变量的分布列如下：其中2b a c  ，则  1P   等于（ ）  1 0 1 P a b c A． 1 3 B． 1 4 C． 1 2 D． 2 3 【巩固练习 4】（24-25 高二下·山西临汾·阶段练习）设随机变量的概率分布列为如图，则常数 a  .  0 1 P 29a a 3 8a 【巩固练习 5】（24-25 高二下·陕西榆林·阶段练习）已知随机变量 X的分布列为   2k a P X k  ， 1,2,3,4k  ，则  2 3P X  的值为 ． 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 5 / 30 【题型 3】由随机变量的分布列求概率 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和 【例题 1】已知随机变量 X 的分布列为 ( ) 2 i P X i a   ( 1,2,3,4)i  ，则 (2 4)P X  等于( ) A． 9 10 B． 7 10 C． 3 5 D． 1 2 【例题 2】现有来自甲、乙两班的学生共 7 名，从中任选 2 名，这两名同学都来自甲班的概率为 1 7 ． (1)求 7 名学生中甲班的学生数； (2)设所选 2 名学生中甲班的学生数为 X，求 X的分布列，并求所选 2 人中甲班学生数不少于 1 人的 概率． 【例题 3】（高二下·湖北十堰·阶段练习）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概 率为 1 7 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取 取后不放回，直到 两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 X 表示取球终止所需 要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数；(2)求随机变量 X 的分布列；(3)求乙取到白球的概率. 基础知识 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 6 / 30 【巩固练习 1】一袋中装有 4 个白球和 2 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出 后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量 X ， 则  2P X  （ ） A． 4 5 B． 2 5 C． 1 5 D． 3 5 【巩固练习 2】（多选）设随机变量的分布列为 5 k P ak        ，（ 1,2,3,4,5k  ），则（ ） A．15 1a  B．  0.4 0.8 0.2P    C．  0.1 0.6 0.2P    D．  1 0.3P    【巩固练习 3】（22-23 高二下·重庆南岸·期中）彭老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇不同的课文让同 学背诵，规定至少要背出其中 2 篇才能及格．某同学只能背诵其中的 7 篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量 X 的分布列；(2)他能及格的概率． 【巩固练习 4】（22-23 高二下·江苏·期中）从装有除颜色外完全相同的 6 个白球，4 个黑球和 2 个黄 球的箱中随机取出两个球，规定每取出 1 个黑球记 2 分，而取出 1 个白球记 1 分，取出黄球记零分． (1)以 X 表示所得分数，求 X的概率分布；(2)求得分 0X  时的概率． 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 7 / 30 【题型 4】两个相关随机变量分布列性质问题 根据变量间的关系，把其中一个随机变量转化为另一个 【例题 1】（高二下·山东临沂·期中）已知离散型随机变量 X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 1 3 5a 1 6 若离散型随机变量 2 1Y X  ，则  5P Y  （ ）． A． 7 12 B． 5 12 C． 5 6 D． 3 4 【例题2】（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量 2 1   ，且 ( 4) 0.7P    ，则  7P   （ ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 【巩固练习 1】（24-25 高二下·天津红桥·阶段练习）设离散型随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量 1Y X  ， 则 1P Y （ ）等于 （ ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【巩固练习 2】已知随机变量 X 的取值范围为 3,4,5,6 ，且  6 0.1P X   ，若 4 3Y X  ，则  23P Y   ． 【巩固练习 3】已知随机变量 X的分布列如下： X 0 1 2 P 1 3 1 2 a 若随机变量 Y满足𝑌 = 3𝑋 − 1，则下列说法正确的是（ ） A．𝑎 = 1 6 B．𝑃(𝑋 > 1) = 5 6 C．𝑃(𝑌 = 2) = 1 2 D．𝑃(𝑌 < 2) = 0 基础知识 典型例题 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 8 / 30 【题型 5】 求离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列 1、定义：一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 1 2, , , nx x x ，我们称 X 取每一个 ix 的概率 ( )i iP X x p  ， 1,2,3, ,i n 为 X 的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X 1x 2x … nx P 1p 2p … np 2、离散型随机变量分布列的意义和作用 （1）离散随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概 率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的 基础。 【例题 1】在一次购物抽奖活动中，假设 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品， 有二等奖奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品，其余 6 张没有奖品．顾客甲从 10 张奖券中任意抽 取 1 张，求中奖次数 X的分布列． 基础知识 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 9 / 30 【例题 2】（23-24 高二下·福建福州·期中）现有 4 张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背 向上），排成一列． (1)将余下 4 个半张随机翻开两张，然后将桌上 4 个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数 字恰好有 2 个相同的概率； (2)将余下来的 4 个半张随机放在桌上 4 个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同 的个数记为 X ，求 X 的分布列及数学期望． 【例题 3】（23-24 高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛 中，一方获胜、打成平局和失败分别记 3m 分、m分和 0 分．比赛两局，已知在每局比赛中 A获胜、 打成平局和战败的概率分别为 0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若 2m  ，求 A两局得分之和为 5 的概率； (2)若 3m  ，用 X表示 B两局比赛的得分之和，求 X的分布列． 【巩固练习 1】一个袋中装有 6 个同样大小的黑球，编号为 1、2、3、4、5、6，从中随机取出 3 个 球，以 X 表示取出球的最大号码，求 X 的分布. 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 10 / 30 【巩固练习 2】某小组共 10 人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数 分别为 3，3，4．现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会，设 X 为选出的 2 人参加义 工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列． 【巩固练习 3】（23-24 高二下·河北承德·期中）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午 选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是 2 5 ，若小张第一天中午选择面食，则第二 天中午选择米饭的概率为 2 3 ，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为 3 4 ． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率；(2)记小张前两天中午吃面食的次数为 X，求 X的分布列． 【题型 6】两点分布 1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用 A表示“成功”， A表示“失败”， 定义 1, 0 A X A     发生 ，不发生 如果 ( )P A p ，则 ( ) 1P A p  ，那么 X 的分布列如表所示． X 0 1 P 1 p p 我们称 X 服从两点分布或 0-1 分布．【注意】随机变量 X 只取 0 和 1，才是两点分布，否则不是． 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； 基础知识 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 11 / 30 （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以 用两点分布来研究。 【例题 1】已知离散型随机变量 X的分布列服从参数为 p的两点分布，且    1 3 4 0P X P X    ， 则 p  . 【例题 2】已知 X服从参数为 0.3 的两点分布，则  0P X   ；若 3 2Y X  ，则  1P Y   . 【巩固练习 1】随机变量 X 服从两点分布，且  1 0.2P X   ，令 3 2Y X  ，则  2P Y   （ ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8 【巩固练习 2】设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，若用随机变量 X描述一次试验成功的次数， 求  0P X  的值． 【巩固练习 3】已知离散型随机变量 X 的分布列服从两点分布，且    0 3 4 1P X P X a     ，则 a （ ） A． 2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 模块二 求分布列综合大题 【题型 7】分组分配问题 先区分是否均匀分组。若均匀分组（各组元素数相同），需用组合数公式后除以组数的阶乘消除重 复；非均匀分组直接逐层分步计算 典型例题 巩固练习 解题技巧 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 12 / 30 【例题 1】（23-24 高二下·山西·期中）今年的贺岁片《第 20 条》、《飞驰人生》、《热辣滚烫》引爆了 电影市场，某天甲、乙、丙、丁、戊五名同学每人随机从三部电影中选一部观看，现知道每部电影 至少有一人观看. (1)求只有甲乙观看《热辣滚烫》电影的概率；(2)求这五个人观看《热辣滚烫》电影的人数 X 的分布 列. 【题型 8】重复随机事件的分布列 【例题 1】（23-24 高二下·天津·期中）甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率时 3 4 ，乙 每次击中目标的概率 2 3 ，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标， 相互之间没有影响． (1)求甲至少有 1 次未击中目标的概率； (2)记甲击中目标的次数为，求的概率分布列； (3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率． 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 13 / 30 【巩固练习 1】2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日，第 33 届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，中国 体育健儿们在赛场上奋力拼搏，取得骄人战绩．为了弘扬“更快、更高、更强、更团结”的奥运精神， 以及中国运动员们展现的“和谐、包容、坚忍不拔”——中国传统文化的精髓，某校举办奥运知识竞 赛．比赛的题目包括“奥运会历史”“中国历届奥运成绩”两个板块，每个板块 4 个题目，每位参加比 赛的同学首先从“奥运会历史”板块中随机抽取 2 题依次回答，然后从“中国历届奥运成绩”板块中随 机抽取 2 题依次回答，至少答对 3 题者获得奖品一份．已知甲同学能正确回答“奥运会历史”板块中 的 2 题，能正确回答“中国历届奥运成绩”板块中每题的概率为 0.8，且回答每题相互独立． (1)记 X 为甲答对题数，求 X 的分布列；(2)已知甲获得一份奖品，求甲 4 题全部答对的概率． 【巩固练习 2】（23-24 高二下·广东佛山·期末）某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后 经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现 有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为 4 5 ， 3 4 2 3 ，经过第二道工序 后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 3 4 ， 4 5 ， 9 10 . (1)求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率； (2)若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为，求随机变量的分布列. 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 14 / 30 【题型 9】答题计分类问题 按得分规则分类计算概率。例如答对＋5 分、答错－2 分，需分别列出答对题数 k对应的总分，再通 过组合数计算概率。若涉及多题不同分值，可构建得分分段表，用全概率公式叠加各情况概率，注 意排除不可能得分区间。 【例题 1】学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮， 每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直 接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他 在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不 予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为 3 4 ，在三分线处投篮命中率为 2 3 ．假设学生甲每次投 进与否互不影响． (1)求学生甲被录取的概率；(2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为 X ，求 X 的分布列． 【例题 2】（23-24 高二下·河北保定·期中）学校组织一项竞赛，在初赛中有两轮答题：第一轮从A 类 的三个问题中随机选两题作答，每答对一题得 30 分，答错得 0 分；第二轮从 B 类的分值分别为 40， 70 的 2 个问题中随机选 1 题作答，每答对一题得相应满分，答错得 0 分.若两轮总积分不低于 100 分， 则晋级复赛.甲､乙同时参赛，在A 类的三个问题中，甲每个问题答对的概率均为 2 3 ，乙只能答对其 中两个问题；在 B 类的 2 个分值分别为 40，70 的问题中，甲答对的概率分别为 3 2 , 4 3 ，乙答对的概率 分别为 2 1 , 3 2 ，甲､乙回答任一问题正确与否互不影响.设甲､乙在第一轮的得分分别为 ,X Y . (1)分别求 ,X Y 的概率分布列；(2)分别计算甲､乙晋级复赛的概率. 解题技巧 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 15 / 30 【例题 3】（23-24 高二上·吉林长春·期末）某商场为了促销规定顾客购买满 500 元商品即可抽奖，最 多有 3 次抽奖机会，每次抽中，可依次获得 10 元，30 元，50 元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾 客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面 所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了 500 元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率 依次为 2 1 1 , , 3 2 3 ，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为 2 3 ，第二次抽中选择继续抽奖的概率为 1 4 ， 且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量 X ，求 X 的分布列． 【巩固练习 1】（23-24 高二下·重庆·期中）某种资格证考试，每位考生一年内最多有 3 次考试机会. 一旦某次考试通过，便领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完 3 次 机会.小明决定参加考试，如果考试前复习了，每次参加考试通过的概率依次为 0.3，0.4，0.5，且每 次考试是否通过相互独立.如果考试前不复习，每次参加考试通过的概率依次为 0.1，0.2，0.3；考试 前复习的概率为 0.5，试求： (1)小明通过第一次考试的概率； (2)小明在一年内参加考试次数 X 的分布列. 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 16 / 30 【巩固练习 2】学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮 4 次，投中一球得 2 分，没有投中得 0 分， 假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是 1 3 . (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在 4 次投篮后的总得分 ξ的分布列 【巩固练习 3】（24-25 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮 制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组 才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮 比赛的概率分别是 3 3 , 4 5 ，通过第二轮比赛的概率分别是 4 2 , 5 3 ，且各个小组所有轮次比赛的结果互不 影响. (1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为 X ，求 X 的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得 100 分，答错 一题扣 100 分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛 资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是 1 2 , 3 3 ，假设每道题抢与答的结果均互不影响， 求乙已在第一道题中得 100 分的情况下甲获胜的概率. 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 17 / 30 【题型 10】选拔，闯关类问题 分析终止条件（如连续失败次数或总成功次数），建立递推关系或几何分布。例如闯关成功概率 0.6， 失败 3 次淘汰，则 X 为淘汰前成功次数，P(X＝k)＝0.6^k×0.3^(k＋1)（最后一次必失败），需累加所 有可能失败位置。 【例题 1】学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮， 每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直 接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他 在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不 予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为 3 4 ，在三分线处投篮命中率为 2 3 ．假设学生甲每次投 进与否互不影响． (1)求学生甲被录取的概率；(2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为 X ，求 X 的分布列． 【例题 2】（23-24 高二上·吉林长春·期末）某商场为了促销规定顾客购买满 500 元商品即可抽奖，最 多有 3 次抽奖机会，每次抽中，可依次获得 10 元，30 元，50 元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾 客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面 所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了 500 元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率 依次为 2 1 1 , , 3 2 3 ，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为 2 3 ，第二次抽中选择继续抽奖的概率为 1 4 ， 且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量 X ，求 X 的分布列． 解题技巧 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 18 / 30 【巩固练习 1】（23-24 高二下·重庆·期中）某种资格证考试，每位考生一年内最多有 3 次考试机会. 一旦某次考试通过，便领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完 3 次 机会.小明决定参加考试，如果考试前复习了，每次参加考试通过的概率依次为 0.3，0.4，0.5，且每 次考试是否通过相互独立.如果考试前不复习，每次参加考试通过的概率依次为 0.1，0.2，0.3；考试 前复习的概率为 0.5，试求： (1)小明通过第一次考试的概率； (2)小明在一年内参加考试次数 X 的分布列. 【巩固练习 2】（23-24 高二下·江苏南通·阶段练习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两 人轮流随机抽题作答，答对积 1 分且对方不得分，答错不得分且对方积 1 分，然后换对方抽题作答， 直到有领先 2 分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为 4 5 ，乙答对题目的概率为 P，答对与否 相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积 1 分的概率为 3 5 .记甲乙两人的答题 总次数为  2n n  . (1)求 P；(2)当 2n  时，求甲得分 X的分布列 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 19 / 30 【巩固练习 3】（23-24 高二下·浙江·期中）每年的 3 月 14 日是“国际圆周率日”，这是为纪念中国 古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024 年 3 月 14 日，某班级为纪念这个日子，特举办数学 题答题比赛． 已知赛题共 6 道(各不相同)，其中 3 道为高考题，另 3 道为竞赛题，参赛者依次不 放回地从 6 道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错(或不答) 或者 6 道题都答对即停 止并记录答对题数． (1)举办方进行模拟抽题，设第 X 次为首次抽到竞赛题，求 X 的分布列； (2) A 同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为100%，竞赛题答对的概率 为 20%． ①求A 同学停止答题时答对题数为 1 的概率； ②已知A 同学停止答题时答对题数为 2，求这两题抽到竞赛题题数Y 的分布列． 【题型 11】摸球类问题 区分放回与不放回。关键步骤：明确目标球数 a 和非目标球数 b，计算抽取 n 球中 k目标球的概率 【例题 1】（24-25 高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有 2 个红球和 4 个白球，这些球除了颜色以外 完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设 2 个红球都被取出时，已经取出的白球个数为 X ，求 X 的分布列. 解题技巧 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 20 / 30 【例题 2】（23-24 高二下·广东茂名·期中）化州市宏达广场的惠客多超市准备在 2024 年五一假期举 办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有 4 种奖品供选择，每种 奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从 4 种奖品中随机 选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为 1 2 ． (1)求甲、乙 2 位消费者均抽中三等奖且 2 人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有 4 位消费者均抽中三等奖，记三等奖的 4 种奖品中无人挑选的奖品种数为 X ，求随机变量 X 的分布列． 【例题 3】（23-24 高二下·广东深圳·阶段练习）盒中有大小颜色相同的 6 个乒乓球，其中 4 个未使用 过（称之为新球），2 个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取 2 个球作为比赛用球，该局比 赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球. (1)求一局比赛后盒中恰有 3 个新球的概率；(2)设两局比赛后盒中新球的个数为 X ，求 X 的分布列. 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 21 / 30 【巩固练习 1】（23-24 高二下·河北邢台·期中）一个不透明盒子里装有 7 个大小相同、质地均匀的小 球，其中白色小球 3 个（分别标有数字 1，2，3），黑色小球 4 个（分别标有数字 2，3，4，5）．现 从盒子中—次性随机取出 3 个小球． (1)求取出的 3 个小球上的数字之和等于 10 的概率； (2)在取出的 3 个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为 X（当只取到 1 个黑色 小球时，该球上的数字即为 X），求随机变量 X的分布列． 【巩固练习 2】（23-24 高二下·重庆·期中）第 33 届夏季奥林匹克运动会即将于 2024 年在巴黎举办， 其中男子 100 米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决 赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 1 2 和 2 3 ，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 2 3 和 3 4 ，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 p 和 4 3 p ，其中 1 2 3 3 p  ． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)在 1 2 p  的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 22 / 30 【巩固练习 3】2024 年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科 技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发， 在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小 相同的小球 9 个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2，3，4．乙袋中红色、黑色、 白色小球的个数均为 3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左 右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量 X ，求 X 的分布列． 【巩固练习 4】（23-24 高二下·河南郑州·期中）夏辰广场乒乓球场上，乒乓飞舞，明星老师带领班上 同学组织班内友谊比赛，拿过来一盘乒乓球，盒中有大小颜色相同的 6 个乒乓球，其中 4 个未使用 过（称之为新球），2 个使用过（称之为旧球），每局比赛从盒中随机取 1 个球作为比赛用球，该局 比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球. (1)求两局比赛后盒中恰有 3 个新球的概率; (2)设三局比赛后盒中新球的个数为 X ，求 X 的分布列. 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 23 / 30 【题型 12】分布列与概率综合 【例题 1】某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛 采用积分制．积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积 3 分，负 者积 0 分；五局结束比赛，取胜的一方积 2 分，负者积 1 分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的 概率为 1 2 ． (1)在一场比赛中，甲的积分为 X ，求 X 的概率分布列； (2)已知甲在参加三场比赛后积分之和为 5 分，求这三场比赛甲得分都不同的概率． 【例题 2】（2025·云南玉溪·二模）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0 指向”和“1 指向”，光 子的发送和接收都有 A、B 两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发 送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以 A 模式，从两个“1 指向”、两个“0 指向”的光 子中随机选择两个依次发送，接收器每次以 A 或者 B 模式接收，其概率分别为 1 3 和 2 3 .每次发送和接 收相互独立. (1)求发射器第 1 次发送“0 指向”光子的条件下，第二次发送“1 指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0 指向”光子个数为 X ，求 X 的分布列； (3)求检测器检测到两个“1 指向”光子的概率. 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 24 / 30 【巩固练习 1】（23-24·江西·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时， 若甲发球，则甲得分的概率为 3 5 ，若乙发球，则甲得分的概率为 1 3 .该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲 先发球），每人发两球后轮到对方进行发球. (1)求在前 4 球中，甲领先的概率； (2)16 球过后，双方战平（8:8），已知继续对战数球后，甲率先取得 11 分并获得胜利（获胜要求净 胜 2 分及以上）.设净胜分为 X （甲，乙的得分之差），求 X 的分布列. 【巩固练习 2】（23-24 高二下·湖北武汉·期末）甲､乙两位学生进行答题比赛，每局只有 1 道题目， 比赛时甲､乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得 10 分，答错者得-10 分；若两人都答对或都答错，则两人均得 0 分.根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为 1 2 ，乙答 对的概率为 2 3 ，且甲､乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响. (1)求在一局比赛中，甲的得分 X 的分布列与数学期望； (2)设这次比赛共有 4 局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 25 / 30 【巩固练习 3】（24-25 高三下·山东聊城·开学考试）在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为 发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对 方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为 1 5 ，乙队发球失误的概率为 1 4 ，并规定该场比赛甲队先 开始发球． (1)记在第 2，3，4 次发球中甲队获得发球权的次数为 X，求 X的分布列； (2)若乙队在第 n次获得发球权的概率大于 199 450 ，求 n的最小值． （参考数据： lg2 0.30 ， lg11 1.04 ） 【题型 13】比赛场次问题 根据赛制（如三局两胜）确定最大场次，按胜负序列组合计算概率。例如甲胜率 0.6，乙 0.4，求 3 局内决胜负的场次分布：X＝2时需前两局连胜，P＝0.6²＋0.4²；X＝3时前两局 1胜 1负，P＝2×0.6×0.4， 再乘决胜局胜率。 【例题 1】（23-24 高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已 知甲队每局获胜的概率为 2 3 ，乙队每局获胜的概率为 1 3 ． (1)求乙队以3: 2的比分获胜的概率； (2)设确定比赛结果需要比赛 X 局，求 X 的分布列． 解题技巧 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 26 / 30 【例题 2】某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛 采用积分制．积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积 3 分，负 者积 0 分；五局结束比赛，取胜的一方积 2 分，负者积 1 分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的 概率为 1 2 ． (1)在一场比赛中，甲的积分为 X ，求 X 的概率分布列； (2)已知甲在参加三场比赛后积分之和为 5 分，求这三场比赛甲得分都不同的概率． 【巩固练习 1】（23-24·浙江绍兴·阶段练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢 3 局谁就赢 得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为 1 3 ，乙获胜的概率为 2 3 ． (1)求甲赢得比赛的概率； (2)记比赛结束时的总局数为 X ，写出 X 的分布列． 【巩固练习 2】（23-24 高二下·浙江嘉兴·期中）为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体 育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进 行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记 1 分，失败方记 0 分，没有平局．首先获得 5 分者获胜， 比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是 3 5 ． (1)求比赛结束时恰好打了 6 局的概率； (2)若甲以3:1的比分领先，记 X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求 X的分布列． 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 27 / 30 【巩固练习 3】（23-24 高二上·河南·期末）学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛， 约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先 获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平局.已知甲赢乙的概率为 0.3，乙赢丙的概率为 0.5，丙赢甲的概率为 0.7. (1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数 X 的概率分布列；(2)求甲成为优胜者的概率. 课后巩固 1. 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，则命中的环数小于 9 环的概率为 ． 2. （24-25 高二下·陕西西安·阶段练习）设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 q  ． X 0 2 4 P 1 2 5 2 4 q 2q 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 28 / 30 3. 某商场为了促销规定顾客购买满 500 元商品即可抽奖，最多有 3 次抽奖机会，每次抽中，可依 次获得 10 元，30 元，50 元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走 所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束 抽奖．小李购买了 500 元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为 2 1 1 , , 3 2 3 ，如果 第一次抽中选择继续抽奖的概率为 2 3 ，第二次抽中选择继续抽奖的概率为 1 4 ，且每次是否抽中 互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量 X ，求 X 的分布列． 4. （23-24 高二下·安徽安庆·期中）已知随机变量 ξ的分布如下：则实数 a的值为 . ξ 1 2 3 P 1 4 3 1 2 a 22a 5. （23-24 高二下·重庆·阶段练习）（多选）围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被 列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两 人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场 比赛甲胜乙的概率都为 1 3 ，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为 X ， 则下列结论正确的是（ ） A． 4X  且甲获得冠军的概率是 1 27 B．有连续三场比赛都是乙胜的概率是 8 72 C． 10 ( 4) 27 P X   D．若甲赢了第一场，则乙仍有超过50%的可能性获得冠军 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 29 / 30 6. 已知新高考数学共 4 道多选题，评分标准是每题满分 5 分，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分， 有错选或不选的得 0 分．每道多选题共有 4 个选项，正确答案往往为 2 项或 3 项. 为了研究多 选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为 1 2 ，正确答 案是“选三项”的概率为 1 2 .现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只 能靠猜. (1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得 0 分的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分 的分布列. 7. （23-24 高二下·湖北武汉·期中）ChatGPT 是 OpenAI 研发的一款聊天机器人程序，是人工智能 技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答， 但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用 ChatGPT 对某 一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出 现语法错误，它回答正确的概率为0.18 .假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每 次输入问题，ChatGPT 的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下 ChatGPT，小 张和 ChatGPT 各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确 作答其中的9个. (1)在小张和 ChatGPT 的这次挑战中，求小张答对的题数 X 的分布列； (2)给 ChatGPT 输入一个问题，求该问题能被 ChatGPT 回答正确的概率； 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 30 / 30 8. （23-24 高二下·湖北十堰·期末）某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展 销．现随机抽取 7 个品牌产品，得到其促销活动经费 x （单位：万元）与销售额 y （单位：万 元）的数据如下： 品牌代号 1 2 3 4 5 6 7 促销活动经费 x 1 2 4 6 10 13 20 销售额 y 12 20 44 40 56 60 82 若将销售额 y 与促销活动经费 x 的比值称为促销效率值，当 10  时，称为“有效促销”，当 5  时， 称为“过度促销”． (1)从这 7 个品牌中随机抽取 4 个品牌，求取出的 4 个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数 多的概率； (2)从这 7 个品牌中随机抽取 3 个，记这 3 个品牌中“有效促销”的个数为 X ，求 X 的分布列与期望．