微专题02 因式分解经典应用通关专练-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题02 因式分解经典应用通关专练 一、单选题 1．若a、b、c、为的三边长，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 3．如图，设（），则k的值可以为（　　） A． B．1 C． D．2 4．若，则的值是（ ） A．9 B．7 C．13 D．14 5．在实数范围内不能分解因式的是（        ） A． B． C． D． 6．下列多项式中，含有因式的多项式是（　　） A． B． C． D． 7．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．以下说法： ①分解因式：； ②若，，是的三边长，且满足，则为等边三角形； ③若，，是的三边长，且满足，则这三边能构成等腰三角形； 正确的有（    ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 9．把多项式分解因式，其中一个因式为，则k的值为 10．已知，则代数式的值是 ． 11．化简： ． 12．已知因式分解后含有因式，则的值为 ． 13．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．例如：可配方成；可配方成．若，则的值为 ． 14．已知的三边为a、b、c，且满足，则的形状为 ． 15．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，则的值为 ． 16．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解称，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“无量数”，并把数M分解成的过程称为“无量分解”，则最小的“无量数”为 ．把一个四位“无量数”M进行“无量分解”，即．若A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为，令．当能被4整除时，满足条件的M的最大值为 ． 三、解答题 17．在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬的解法： ……第1步 ……………………………………第2步 ……………………………第3步 小颖的解法： ……第1步 ………………………第2步 ………………………第3步 任务： ①经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______，这位同学的解答过程中第步依据的乘法公式可以用字母表示为______；而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是____________． ②按照做错同学的思路，写出正确的解答过程； ③除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，在对多项式进行因式分解时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 18．利用因式分解计算： (1)； (2)． 19．（1）请用含x和y的代数式来表示阴影部分的面积． （2）当x＝2022，y＝2021时，阴影部分的面积是多少？ 20．十位上的数是，个位上的数是的两位数，把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置． (1)计算所得数与原数的和； (2)这个和能被整除吗？请说明理由． 21．计算 (1) (2) 22．长方形的长为厘米，宽为厘米，其中，将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形的面积记为；将原长方形的长和宽各减少2厘米，得到的新长方形的面积记为．若，为正整数，请说明：与的差一定是5的倍数． 23．已知，，求的值． 24．用简便方法计算： (1)； (2)． 25．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状，并说明理由． 26．已知，，满足，试求的值． 27．（1）计算： （2）计算： （3）计算： 28．用简便方法计算： (1)； (2)． 29．阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值． 解：， ， ， ， ， ，解得 ． 根据你的观察，解答以下问题： (1)已知，求的值． (2)当x、y分别取何值时，多项式的值最小？请你求出最小值． 30．已知：a2﹣3a﹣1＝0，求值： (1)a3﹣3a2﹣a+2020； (2)． 31．先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：_______． (2)因式分解：_______． (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 32．阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． (1)【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； (3)【拓展运用】已知a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 33．阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 34．关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 35．阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程：分解因式： 解：方法（1）原式 ． 方法（2）原式 ． 请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求m与n的值． 解：由已知得 因此得到 所以只有当并且上式才能成立． 因而得：并且． 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 36．利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题： (1)因式分解： ________． (2)填空：①当时，代数式 _______；   ②当________时，代数式． ③代数式的最小值是________． (3)拓展与应用：求代数式的最小值． 37．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法：； ②用拆项法：； (2)已知：，，为的三条边，，求的周长． 38．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积. 例如，由图①，可得等式：．   (1)如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来， (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． (3)如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和，若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 39．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． (1)求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）． (2)图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值． (3)图3中空白面积为S，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含a、b的整式乘积的形式： ①______； ②______． 40．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a2+6a+8， 解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1 =(a+3)2－12= ②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值． 解： ∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：． （2）若，求M的最小值． （3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 因式分解经典应用通关专练 一、单选题 1．若a、b、c、为的三边长，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【知识点】等腰三角形的定义、因式分解的应用 【分析】由因式分解，可知，可得，因而可判断的形状． 【详解】解：∵a、b、c、为的三边长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，还考查了等腰三角形的定义，能够熟练掌握因式分解是解决本题的关键． 2．小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 【答案】B 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案． 【详解】解： ∴能被2022，2023，2024整除， 故选B． 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 3．如图，设（），则k的值可以为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】列代数式、因式分解的应用、最简分式 【分析】先用、的代数式表示出甲图阴影面积和乙图阴影面积，然后利用分式的约分可得的最简代数式，由即可确定的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：由题意，，， ， 又， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查了多项式的因式分解、分式的约分化简以及用代数式表示图形面积，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述相关知识点是解题关键． 4．若，则的值是（ ） A．9 B．7 C．13 D．14 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．把所给代数式变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 5．在实数范围内不能分解因式的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解的应用、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式与0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式． 【详解】A、， B、， C、， D、，只有C选项小于0 ，即C选项不能分解因式， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键． 6．下列多项式中，含有因式的多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】十字相乘法、完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、因式分解的应用 【分析】本题主要考查公因式的确定，先因式分解，再做判断，在解题时，仅看多项式的表面形式，不能做出判断．先对所给的多项式进行因式分解，根据分解的结果，然后进行判断即可． 【详解】解：A、，故不含因式，故A不符合题意； B、，故不含因式，故B不符合题意； C、，故含因式，故C符合题意； D、，故不含因式，故D不符合题意． 故选：C． 7．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查完全平方公式的变形计算，整式的因式分解，有理数的乘法计算法则，熟练掌握解题中运用分类讨论是思想解决问题是解题的关键． 根据，，利用完全平方公式变形求出，，，再分情况求出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， 当，时， 当，时， 当，时， 当，时， 综上所述：的值为． 故选：C． 8．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．以下说法： ①分解因式：； ②若，，是的三边长，且满足，则为等边三角形； ③若，，是的三边长，且满足，则这三边能构成等腰三角形； 正确的有（    ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】等腰三角形的定义、等边三角形的判定、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，非负数的性质，构成三角形的条件．先提取公因式，然后理由平方差公式分解因式即可判定①；根据已知条件式得到，然后利用完全平方公式得到，利用非负数的性质证明即可判断②；根据已知条件式推出，得到，再根据构成等腰三角形的条件即可判断③． 【详解】解： ，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，是的三边长， ∴，则， ∴， ∴， ∴这三边能构成等腰三角形，故③正确； 综上，②③正确； 故选：B． 二、填空题 9．把多项式分解因式，其中一个因式为，则k的值为 【答案】 【知识点】因式分解的应用、已知因式分解的结果求参数 【分析】根据因数分解的方法，其中一个因式是，则设另一个因式为，即，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，分解因式，其中一个因式为，设另一个因式为， ∴，即， ∴，， ∴，则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解法求参数值，掌握因式分解法的形式和解题技巧是解题的关键． 10．已知，则代数式的值是 ． 【答案】4 【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查平方差公式．利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：4． 11．化简： ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用提取公因式法进行化简，本题属于基础题型． 把当作一个整体，提取公因式计算即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12．已知因式分解后含有因式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的意义，设出是解题的关键．设，将其展开后即可求得答案． 【详解】解：设， 则， ∴，， 解得：， 则， 故答案为：． 13．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．例如：可配方成；可配方成．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】根据题目中给出的信息，求出x、y的值，然后代入求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是将变形为求出，． 14．已知的三边为a、b、c，且满足，则的形状为 ． 【答案】等腰三角形 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的判定，先将分式变形得出，得出，再进行因式分解，进而得出或，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ∴或． 故答案为：等腰三角形． 15．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，则的值为 ． 【答案】64 【知识点】提公因式法分解因式、因式分解的应用 【分析】此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键．根据长方形周长与面积公式求出与的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8， ∴， 即， 则原式， 故答案为：64． 16．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解称，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“无量数”，并把数M分解成的过程称为“无量分解”，则最小的“无量数”为 ．把一个四位“无量数”M进行“无量分解”，即．若A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为，令．当能被4整除时，满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了新定义、最值和整除，当M最小时，A和B的十位数的值为1，设A的个位数为x，则B的个位数为，求出M的表达式，即可求得最值；设A的十位数为a，A的个位数为b, 则B的十位数为a，B的个位数为，根据M是四位数，求出，再求出的表达式，根据能被4整除求出a的值，分别求出b的可能得值，即可求出M的最大值． 【详解】解：∵A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10， ∴A和B的十位最小值为1, 设A的个位数为x，则B的个位数为， ∴A的值为，B的值为， ∴M的值为， ∵， ∴当或时，M的值最小，且最小值为， 设A的十位数为a，A的个位数为b, 则B的十位数为a，B的个位数为， ∴，， ∴， ∵能被4整除， 设，n为正整数， ∴， ∵M是四位数， ∴， ∵能被4整除， ∴， ∴， ∴或或或 当时，A为，B为，M的值为； 当时，A为，B为，M的值为； 当时，A为，B为，M的值为； 当时，A为，B为，M的值为； ∴满足条件的M的最大值为， 故答案为：；． 三、解答题 17．在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬的解法： ……第1步 ……………………………………第2步 ……………………………第3步 小颖的解法： ……第1步 ………………………第2步 ………………………第3步 任务： ①经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______，这位同学的解答过程中第步依据的乘法公式可以用字母表示为______；而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是____________． ②按照做错同学的思路，写出正确的解答过程； ③除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，在对多项式进行因式分解时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】①小彬；；；没有变号；②解题过程见详解；③运用完全平方公式，平方差公式时，若是遇到多项式，要用括号括起来，再根据去括号法则去括号，注意各项的符号，合并同类项时，要根据有理数的加减法，合并同类项的法则进行 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式、运用平方差公式进行运算 【分析】①根据平方差公式即可作出判定；根据平方差公式即可用字母表示；从第1步就出差；运用平方差公式时要注意各项的符合； ②运用平方差公式因式分解，注意各项的符号即可求解； ③根据运用完全平方公式，平方差公式常见问题即可求解． 【详解】解：①小彬的解法是根据完全平方公式展开，合并同类项，提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解，各步骤严格按照因式分解法计算；小颖的解法是运用平方差公式进行因式分解，在第步的地方，忘记变号，故错误， ∴小彬的解法正确； 平方差公式用字母表示为：； 小颖的解法从第步出错，出错的原因是没有变号． 故答案为：小彬；；；没有变号； ②运用平方差公式正确的解法是： ； ③运用完全平方公式，平方差公式时，若是遇到多项式，要用括号括起来，再根据去括号法则去括号，注意各项的符号，合并同类项时，要根据有理数的加减法，合并同类项的法则进行． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，平方差公式因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键． 18．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解的应用 【分析】（1）根据平方差公式因式分解解题； （2）运用完全平方公式因式分解计算解题． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差和完全平方公式是解题的关键． 19．（1）请用含x和y的代数式来表示阴影部分的面积． （2）当x＝2022，y＝2021时，阴影部分的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）4043 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】（1）补全正方形，得到大的正方形，阴影部分的面积就是大正方形的面积-小正方形的面积； （2）代入x=2022，y=2021即可求得代数式的值． 【详解】解：（1）如图，阴影部分的面积= （2）当x=2022，y=2021时， ． 【点睛】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是了解矩形的面积计算方法及图形的构成，难度不大． 20．十位上的数是，个位上的数是的两位数，把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置． (1)计算所得数与原数的和； (2)这个和能被整除吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)能被整除，理由见解析 【知识点】整式加减的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据题意列出代数式并求和． （1）分别表示出这两个数，然后求和即可； （2）把和因式分解后，有因数，所以能被整除． 【详解】（1）解： （2）， ， 所以和能被整除． 21．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式四则混合运算、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】（1）利用完全平方公式变形为，再计算即可； （2）利用多项式乘多项式，多项式除以单项式法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握乘法公式的灵活运用． 22．长方形的长为厘米，宽为厘米，其中，将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形的面积记为；将原长方形的长和宽各减少2厘米，得到的新长方形的面积记为．若，为正整数，请说明：与的差一定是5的倍数． 【答案】见解析 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用 【分析】本题考查了整式乘法的应用，整式的加减以及因式分解的应用．先根据整式的乘法分别求出与，再求出它们的差即可得． 【详解】解：由题意得：， ， 则， ， ， ， 所以与的差一定是5的倍数． 23．已知，，求的值． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将分解为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 24．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）把原式化为，再进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，熟记平方差公式的特点是解本题的关键． 25．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】△ABC为等边三角形，理由见解析 【知识点】等边三角形的判定、因式分解的应用 【分析】将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a-b=0，b-c=0，c-a=0，即可判断出△ABC的形状． 【详解】解：△ABC为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴a﹣b＝0，a﹣c＝0， ∴a＝b，a＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．解题的关键是将已知等式利用完全平方公式变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系． 26．已知，，满足，试求的值． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用以及非负数的性质，根据一次项的系数将原式中常数项50拆分，分别与二次项构成完全平方式，再结合非负性分别求出a，b，c的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴，，． ∴，，． ∴． 27．（1）计算： （2）计算： （3）计算： 【答案】（1）4899.5；（2）；（3）604931558 【知识点】有理数四则混合运算、因式分解的应用 【详解】(1) (2) (3) 【点睛】本题考查了因式分解的知识点，熟练掌握因式分解是解题的关键． 28．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)80 【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键； （1）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． 29．阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值． 解：， ， ， ， ， ，解得 ． 根据你的观察，解答以下问题： (1)已知，求的值． (2)当x、y分别取何值时，多项式的值最小？请你求出最小值． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，最小值为8 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了非负数的性质，因式分解的意义，代数式求值： （1）仿照题意得到，进而求出，最后代值计算即可； （2）利用配方法把原式变形为，则，当且仅当时等号成立，据此求出当时，有最小值，最小值为8． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为8． 30．已知：a2﹣3a﹣1＝0，求值： (1)a3﹣3a2﹣a+2020； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、因式分解的应用 【分析】对于（1），根据条件得a2﹣3a＝1，对原式的前两项提公因式a，然后整体代入求值即可； （2）根据条件得，且a≠0，将待求式的分子分母都除以a2，利用完全平方公式变形，整体代入求解即可． 【详解】（1）根据条件得：a2﹣3a＝1， 原式＝a(a2﹣3a)﹣a+2020 ＝a﹣a+2020 ＝2020； （2）∵当a＝0时，条件不成立， ∴a≠0， ∵a2﹣3a＝1， ∴， 即， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了代数式求值，掌握完全平方公式和整体代入的思想是解题的关键． 31．先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：_______． (2)因式分解：_______． (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)理由见解析 【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）原式变形为，再用平方差公式因式分解即可； （3）将原式转化为，令，则原式， ，根据为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）， ， ， 故答案为：； （3） 令， 则原式， ， ， 原式． 为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个正整数的平方． 32．阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． (1)【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； (3)【拓展运用】已知a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)为等边三角形，理由见解析 【知识点】因式分解的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据示例即可求解； （2）将多项式配成完全平方+常数的形式，利用平方的非负性即可求证； （3）将分成分别配方即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ， ． 多项式的值总是一个正数． （3）解：为等边三角形．理由如下： ， ． ． ，． ． 为等边三角形． 【点睛】本题考查配方法的应用．掌握完全平方公式的结构形式是解题关键． 33．阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可； （2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； ②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 34．关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 【答案】(1)1，1，1 (2) 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握轮换式法分解因式是解题关键． （1）观察多项式可得当时，多项式的值等于0；再将代入即可求出的值； （2）先分别求出当，，时，多项式的值等于0，从而可设，再将代入求出的值即可得． 【详解】（1）解：对多项式， 令，原式；令，原式， 所以设， 令得，，即， 故答案为：1，1，1． （2）解：对多项式， 令时，原式， 令时，原式， 令时，原式， 所以设（保证两边次数相同，其中是系数）， 令时，， 解得， 所以， 即． 35．阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程：分解因式： 解：方法（1）原式 ． 方法（2）原式 ． 请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求m与n的值． 解：由已知得 因此得到 所以只有当并且上式才能成立． 因而得：并且． 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、负整数指数幂、因式分解的应用 【分析】（1）根据题意，仿照题例先用提公因式法，方法二先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （2）仿照题例利用完全平方公式把方程写成两个代数式平方和的形式，先利用非负数的和为0求出x、y，再代入求代数式的值． 【详解】（1）解：方法（1）： ； 方法（2） ； （2） 【点睛】本题考查了整式的因式分解和求值，负整数指数幂的运算，看懂题例理解题例解法，掌握完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键． 36．利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题： (1)因式分解： ________． (2)填空：①当时，代数式 _______；   ②当________时，代数式． ③代数式的最小值是________． (3)拓展与应用：求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)①0②3③4 (3)3 【知识点】因式分解的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据完全平方公式将原式进行因式分解即可； （2）①将代入求解即可；②解方程，即可获得答案；③将代数式变形为，根据非负数的性质即可确定答案； （3）将代数式变形为，根据非负数的性质即可确定答案． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）①当时， ； ②∵， ∴， ∴当时，代数式； ③∵ ， 又∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 故答案为：①0；②3；③4； （3）解：∵原式 ， 又∵，， ∴原式， 代数式的最小值是3． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答． 37．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法：； ②用拆项法：； (2)已知：，，为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①，见解析；②，见解析 (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式、分组分解法、因式分解的应用 【分析】（1）①仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式； ②仿照例题的方法，根据拆项法分解因式； （2）仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式，根据非负数的性质，求得的值，即可求解． 【详解】（1）①； ② （2），，为的三条边，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了因式分解以及因式分解的应用，仿照例题的方法因式分解是解题的关键． 38．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积. 例如，由图①，可得等式：．   (1)如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来， (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． (3)如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和，若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)31 (3)20 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，完全平方式熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）图②大正方形的面积通过两种不同的方法计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，进行计算即可解答： （3）根据题意可得阴影部分的面积=的面积+正方形的面积- 的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：图②大正方形的面积 图②大正方形的面积 ∴ （2）解：由（1）可得： ∵ ∴ （3）解：∵， ∴阴影部分的面积 39．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． (1)求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）． (2)图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值． (3)图3中空白面积为S，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含a、b的整式乘积的形式： ①______； ②______． 【答案】(1) (2)ab=15； (3)①；； 【知识点】因式分解的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）结合图形，求图1中空白部分的面积即可； （2）根据图形，列出关于a，b的方程组并解方程组即可； （3）结合图形，将及写成含a、b的整式乘积的形式； 【详解】（1）∵图1小正方形的边长为a+b，其中阴影部分面积为3ab，， ∴， （2）∵图2小长方形的长为2a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为5ab，， ∴， ∵、面积分别为19、68， ∴，， 由②-①×2，得2ab=30， ∴ab=15； （3）∵图3小长方形的长为3a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为7ab，， ∴， ∴①， ②， 故答案为：①；； 【点睛】本题考查了分解因式的应用，长方形的面积，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力． 40．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a2+6a+8， 解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1 =(a+3)2－12= ②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值． 解： ∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：． （2）若，求M的最小值． （3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4． 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； （2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可； （3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）原式 ； （2） 当时，有最小值； （3） 解得 则． 【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$