精品解析：辽宁省大连市辽宁师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月模块考试数学试卷

辽宁师大附中2024—2025学年度下学期4月模块考试 高一数学试题 命题人：高二数学备课组 校对人：高二数学备课组 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量和满足与的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”则此问题的正确结果是（ ） A. 120平方步 B. 180平方步 C. 240平方步 D. 480平方步 4. 函数在某一周期内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，摩天轮的半径为40米.摩天轮的中心O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转.每30分钟转一圈.若摩天轮上点P的起始位置在最低点处.下面有关结论正确的是（ ） A. 经过10分钟，点P距离地面的高度为45米 B. 第25分钟和第70分钟点P距离地面的高度相同 C. 从第10分钟至第20分钟，点P距离地面的高度一直在上升 D. 摩天轮旋转一周，点P距离地面的高度不低于65米的时间为10分钟 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 或 B. C. 已知，为非零向量，且，则与方向相同 D. 若，则与的夹角是钝角 10. 设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 在上有且仅有2个零点 C. 若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则 D. 若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 设平面向量，满足，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 12. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______. 13. 给出下列四个命题： ①函数y=2sin的图象的一条对称轴是x=； ②函数y=tanx的图象关于点对称； ③若sin=sin，则x1-x2=kπ，其中k∈Z； ④函数，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为(1，3). 其中正确的有____(填写所有正确命题的序号). 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 已知. （1）若，求实数k的值； （2）求与的夹角的余弦值. 15. 已知. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 16. 已知函数. （1）求的零点； （2）设函数的最大值为，求的解析式； （3）若任意，存在，使，求实数的取值范围. 17. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 18. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁师大附中2024—2025学年度下学期4月模块考试 高一数学试题 命题人：高二数学备课组 校对人：高二数学备课组 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可求出. 【详解】 , 故选： 2. 已知向量和满足与的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方法即可求解. 【详解】由题意，. 故选：D. 3. 《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”则此问题的正确结果是（ ） A. 120平方步 B. 180平方步 C. 240平方步 D. 480平方步 【答案】A 【解析】 【分析】应用扇形面积公式求面积即可. 【详解】由题设及扇形的面积公式有平方步. 故选：A 4. 函数在某一周期内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正切函数性质结合图象利用排除法可得答案. 【详解】由题可知，的最小正周期，排除B，D．因为，所以排除A． 故选：C． 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据反三角函数的性质得出结果. 【详解】，， 因为，所以， 则， 故选：C. 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】因为， 所以只需将的图象向右平移个单位. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型. 7. 分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】由题意，， 易知为的中位线，且，所以的边长为2， 结合投影可知，，故. 故选:D. 8. 如图，摩天轮的半径为40米.摩天轮的中心O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转.每30分钟转一圈.若摩天轮上点P的起始位置在最低点处.下面有关结论正确的是（ ） A. 经过10分钟，点P距离地面的高度为45米 B. 第25分钟和第70分钟点P距离地面的高度相同 C. 从第10分钟至第20分钟，点P距离地面的高度一直在上升 D. 摩天轮旋转一周，点P距离地面的高度不低于65米的时间为10分钟 【答案】D 【解析】 【分析】若转动分钟，P距离地面的高度为可得，结合各选项的描述，利用余弦型函数的性质判断正误. 【详解】由题设，摩天轮每分钟的角速度为，若转动分钟，P距离地面的高度为，则， 所以，经过10分钟米，A错误； 第25分钟米；第70分钟米，B错误； 由，则，即P距离地面的高度先增大后减小，C错误； 由题设，，即，在一周内P距离地面的高度不低于65米有，可得，故时间长度为10分钟，D正确. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 或 B. C. 已知，为非零向量，且，则与方向相同 D. 若，则与的夹角是钝角 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助向量的数量积定义与性质可得A、B、D；借助向量共线性质可得C. 【详解】对A：由可得，故A错误； 对B：向量为矢量，故向量的数量积不满足结合律，故B错误； 对C：由，为非零向量，且，则与方向相同，故C正确； 对D：当、反向时，有，此时与的夹角不是钝角，故D错误. 故选：ABD. 10. 设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 在上有且仅有2个零点 C. 若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则 D. 若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦函数的最值列出不等关系，求得，判断A；结合正弦函数的零点判断B；根据三角函数的平移变换结合奇偶性可求得的值，判断C；根据三角函数的伸缩变化，可得的表达式，结合正弦函数的单调性即可判断D. 【详解】由题意若的图象与直线在上有且仅有1个交点， 则，结合正弦函数图像，如图： 由于，故， 解得，即，A正确； 结合以上分析可知， 令时, ， 由此可知时，函数一定有2个零点， 当时，相应的x可能是函数的零点，也可能不是， 即在上可能有2个零点，也可能有3或4个零点，B错误； 的图象向右平移个单位长度后关于轴对称， 即平移后图象对应的函数为偶函数， 则，即， 只有当时，，C正确； 将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象， 则，，则， 由于，故，而， 故在上不一定单调递增，D错误， 故选：AC 【点睛】关键点睛：本题综合考查正弦型函数的性质，涉及到最值、零点、奇偶性以及平移变换等，综合性强，解答时要能熟练应用正弦函数的相关知识，难点在于要注意采用整体处理的方法，即将角一个整体来处理，另外就是计算较复杂，要十分细心. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 设平面向量，满足，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解作答. 【详解】由，得，因此 所以在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 12. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______. 【答案】13 【解析】 【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解. 【详解】因为是的中点， 所以， 因为为三角形外接圆圆心，也就是三角形的三边中垂线的交点， ， 同理可得， . 故答案为：13. 13. 给出下列四个命题： ①函数y=2sin的图象的一条对称轴是x=； ②函数y=tanx的图象关于点对称； ③若sin=sin，则x1-x2=kπ，其中k∈Z； ④函数，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为(1，3). 其中正确的有____(填写所有正确命题的序号). 【答案】①②④ 【解析】 【分析】将x=代入中计算函数值是否为最值即可判断①；由正切函数的图象可判断②；若，则或 ，即可判断③；作出的图象，数形结合可判断④. 【详解】因为，故是函数的图象的一条对称轴，故①正确； 由正切函数的图象知是函数的一个对称中心，故②正确； 若sin，则或 ，即或，故③错误； ，作出函数的图象如图， 直线与的图象有且仅有两个不同的交点，则，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，涉及到函数的对称轴、对称中心、解方程、图象的交点等，考查学生数形结合思想，数学运算能力，是一道中档题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 已知. （1）若，求实数k的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的模长公式可得，即可根据向量数量积的运算律即可代入求解， （2）根据夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，，又，所以， 由，得，即 又，所以，解得. 【小问2详解】 设与的夹角为，则 所以与的夹角的余弦值为. 15. 已知. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数商的关系化简可得； （2）由齐次式可得； （3）由同角三角函数得，根据诱导公式可得，进而可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由得， 故. 【小问3详解】 由得，故， 又，故， 当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，， 因， 故当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，. 16. 已知函数. （1）求的零点； （2）设函数的最大值为，求的解析式； （3）若任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由得，解该方程即可得解； （2）先由题设得，构造函数，分、和三种情况结合二次函数单调性分析讨论即可求解. （3）求出最小值和的最小值即可求解. 【小问1详解】 令，则， 所以的零点是. 【小问2详解】 ， 设，则，， 由二次函数在上的单调性可知 当即时，； 当即时，； 当即时，， 所以. 【小问3详解】 由条件可知的最小值不小于的最小值， 因为，所以的最小值是， ， 若时，当，取得最小值， 所以，且，故， 若时，当，取得最小值， 所以，且，故， 综上所述，. 17. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）向量的线性运算计算即可； （2）应用向量夹角公式计算即可； （3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 【小问1详解】 由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． 【小问2详解】 当时，，，， 所以， ， ， 所以． 【小问3详解】 ， ， ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 18. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】（1） ，不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； （2） ； （3） ，的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； 【小问3详解】 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $