精品解析：天津市静海区第一中学2024-2025学年高二下学期学生学业能力调研（3月）数学试题

静海一中2024-2025第二学期高二数学（3月） 学生学业能力调研试卷 命题人：尹海燕 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（127分）和第Ⅱ卷提高题（20）两部分，卷面分3分，共150分. 知 识 与 技 能 学习能力 内容 导数定义 单调性 极值最值 性质 导数几何意义 参数范围 关键环节 分数 10 30 20 21 15 30 24 第Ⅰ卷 基础题（共127分） 一、选择题:（ 每小题5分，共45分．） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. （a为常数） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由于a为常数，为常数，故，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误， 故选：B 2. 设函数在处可导，且，则等于（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】对已知极限式子进行变形，结合导数的定义可得，从而可求出. 【详解】解：由题意知， 所以， 故选:A. 【点睛】本题考查了导数的定义，属于基础题. 3. 已知曲线在点处的切线方程为，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得． 【详解】详解： ， 将代入得，故选D． 【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 4. 函数在上的最小值为　　 A. B. C. D. 2e 【答案】A 【解析】 【分析】求函数的导数，由此得到函数在区间上的单调性，并求出极值和最值. 【详解】依题意，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得极小值也即是最小值，且最小值为.故选A. 【点睛】本小题考查函数最小值的求法，考查利用导数求函数的最值的方法.属于基础题.求函数的最值可以考虑以下几个方面：如果函数是二次函数，则可利用配方法求得函数的最值.如果函数是单调的函数，可利用单调性求得最值.如果函数符合基本不等式应用的条件，则可利用基本不等式来求得最值.还有一种方法就是利用函数的导数来求得函数的单调区间、极值进而求最值. 5. 已知函数， 则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出给定函数的导数并探讨其单调性，再利用单调性比较大小作答. 【详解】函数定义域为R，求导得， 因此函数在R上单调递减，而，则有， 所以的大小关系是，A正确. 故选：A 6. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得的取值范围. 【详解】因为函数在上无极值, 所以在上无变号零点，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C. 7. 已知是函数的导函数，且对任意实数都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，结合导数运算及求出函数的解析式，解不等式可得结论. 【详解】因为， 所以，即， 所以可设， 即，又， 所以，故， 所以不等式可化为， 故， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：A. 8. 若函数（为自然对数的底数）是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等价于恒成立，即等价于，再对分类讨论即得解. 【详解】函数的定义域为，， 因为函数是减函数，所以恒成立， 令，则恒成立， 当时，成立； 当时，则的图象开口向上，不恒成立，不符合题意； 当时，要使恒成立，则，解得，又，所以． 综上可得，实数的取值范围是． 故选：D． 【点睛】方法点睛：函数在区间上单调递增（减），等价于恒成立，再研究不等式恒成立问题即得解. 9. 设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是（ ） A. (1，＋∞) B. C. (1，＋∞)∪{0} D. (0，1] 【答案】D 【解析】 【分析】函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根,分x≤0时和x>0时对函数f(x)判断单调性画出图象,平移直线y=b与函数f(x)有三个交点,可求出实数b的取值范围. 【详解】令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)<0得ex(x＋2)<0，即x<－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)>0得ex(x＋2)>0，即－2<x<0，此时f(x)为增函数，即当x＝－2时，f(x)取得极小值f(－2)＝－，作出f(x)的图象如图， 要使f(x)＝b有三个根，则0<b≤1， 故选:D 【点睛】本题考查函数的零点问题,考查分段函数的图象,考查函数零点问题与方程根的相互转化,考查利用导数研究函数的单调性与极值,考查分类讨论思想和函数与方程思想,属于中档题. 二、填空题：（每小题5分，共25分．） 10. 函数的单调递减区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数，求导，然后结合函数的定义域为，由求解. 【详解】函数的定义域为 ， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间是， 故答案为：. 11. 若函数在上的最大值为4，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先利用导函数求得在上单调递减，在上单调递增，可得，可求得. 【详解】由题， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又. 因为，所以在上，，所以. 故答案为：. 12. 已知函数在在上不单调，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，求得其零点，由区间不单调，则区间跨过零点且属于函数定义域的子集，即可求t的范围. 【详解】由题意，，， 当时，有，得或， ∵在在上不单调，且， ∴，可得. 故答案为：. 13. 已知,若存在 ,, 使得成立,则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：分两步求解，要使得成立，则有，利用导数研究其单调性求得最小值；要满足使得成立，应有，根据二次函数知识求出的最大值，从而得到关于的不等式，求得其范围. 试题解析：，当时，函数递增；当时，函数递减，所以当时，取得极小值即最小值 . 函数 的最大值为,若，使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即 . 考点：存在性量词与不等式的有解问题． 【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题，属于中档题.含有存在性量词的命题通常转化为有解问题，进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词，解答时，先把其中一个函数看成参数，研究另一个的最值，再来解决另一个的最值，从而得到要求参数的不等式，求得其范围. 14. 设实数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】同构变形得到，构造，得到，求导，得到单调性，得到，构造，，求导得到其单调性，从而得到函数最大值，得到. 【详解】，由可得，，即 设，则(*)， 在上恒成立，故在上单调递增， 其中，，故， 故由（*）可得，即，也即， 令，， 故，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最大值，最大值为， 所以. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共4小题，共57分） 15. 已知，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数a，b的值； （2）若曲线C：，求曲线C过点的切线方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点为，写出导数的切线方程，结合题意求得切点坐标，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得， 因为直线的斜率为-2，且过点， 所以，即得，解得 【小问2详解】 由（1）知，则． 设切点为，则切线斜率， 故切线方程为． 由切线过点，代入可得，即， 即，解得或， ∴切点为或， 则切线方程为或． 16 已知函数，. （1）当时，求函数的极值； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的符号求得单调区间，再根据极值的定义即可得解； （2）若存在，使不等式成立，问题转化为，令，，利用导数求出函数的最大值即可得出答案. 【小问1详解】 解：当时，， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以函数的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 解：若存在，使不等式成立， 则，即， 则问题转化为， 令，， ， 当时，，当时，， 所以函数在递增，在上递减， 所以， 所以. 17. （1）已知函数，，若函数在单调递减，求实数a的取值范围． （2）已知在R上不是单调函数，求实数b的取值范围． （3）已知函数在上单调递增，求实数a的取值范围． （4）已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，求实数a的取值范围． （5）请总结已知函数单调性求参数范围的解题方法． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）；（5）答案见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为在区间上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据函数在R上的单调函数，求得实数的范围，进而求得函数不单调时，实数的范围； （3）根据题意，转化为在上恒成立，进而得到在上恒成立，结合函数的单调性与最值，即可求解； （4）根据题意转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （5）根据函数单调性求参方法总结即可. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 要使得函数在区间单调递减，则满足在区间上恒成立， 即在区间上满足， 根据二次函数性质，可得，即，解得， 即实数a的取值范围． （2）若函数在R上的单调函数， 因为，可得， 则满足恒成立，可得，解得， 所以函数在R上的单调函数， 则的取值范围． （3）由函数，可得， 要使得函数在上单调递增，则满足在上恒成立， 即在上恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值， 所以，即，即实数a的取值范围． （4）因为函数，对任意两个不等的正实数，，都有恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令， 当时，，可得，即实数a的取值范围． （5）对于已知函数的单调性求参数问题： 已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立； 已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立； 已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解； 已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解． 18. 设函数，，，. （1）讨论函数零点的个数； （2）若，讨论函数的单调性. 【答案】（1）答案见详解 （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）先求导数，再根据与0关系分情况讨论，判断的正负，判断的单调性，得到的最值，再根据最值的正负情况即可判断零点个数； （2）先求导数，再根据与及与的关系分五种情况讨论的正负，进而得到的单调区间. 【小问1详解】 ， 当，即时，恒成立， 所以在上单调递增， 又， ， 所以函数有唯一的零点； 当，即时， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 当，即时，无零点； 当，即时，有唯一的零点； 当，即时，有两个零点， 综上，当时，无零点； 当或时，有唯一的零点； 当时，有两个零点. 【小问2详解】 ， ， ①当时，， 当，，单调递增， 当，，单调递减， ②当时，， 当，，单调递增， 当，，单调递减， ③当时，，的单调递增区间为， ④当时，令，得或，， 当变化时，，变化如下表， 1 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 －ln m－1－ 单调递减 单调递增 即的单调递增区间为，，单调递减区间为. ⑤当时，令，得或， 当变化时，，变化如下表， 1 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 －ln m－1－ 单调递增 即的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 第Ⅱ卷 提高题（共20分） 19. 已知函数 (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数单调增区间； (3)若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 单调增区间为 (3) 【解析】 【详解】试题分析：（1）可得，又，得切线方程为；（2）求出，得增区间，得减区间；（3）存在，使得成立，等价于当时，，所以只要即可. 试题解析：（1）因为函数， 所以， 又因为，所以函数在点处的切线方程为． （2）由（1），， 因为当时，总有在上是增函数． 又，所以不等式的解集为， 故函数的单调增区间为，递减区间为． （3）因为存在，使得成立， 而当时，， 所以只要即可 又因为的变化情况如下表所示： 0 0 减函数 极小值 增函数 所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值． 的最大值为和中的最大值． 因为， 令，因为， 所以在上是增函数， 而，故当时，，即；当时，，即． 所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得． 综上可知，所求的取值范围为． 考点：1、导数运算、利用导数的几何意义求切线方程；2、利用导数研究函数的单调性和最值. 【方法点晴】本题主要考查导数运算、利用导数研究函数的单调性和最值、利用导数的几何意义求切线方程、，属于难题.求曲线切线的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 静海一中2024-2025第二学期高二数学（3月） 学生学业能力调研试卷 命题人：尹海燕 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（127分）和第Ⅱ卷提高题（20）两部分，卷面分3分，共150分. 知 识 与 技 能 学习能力 内容 导数定义 单调性 极值最值 性质 导数几何意义 参数范围 关键环节 分数 10 30 20 21 15 30 24 第Ⅰ卷 基础题（共127分） 一、选择题:（ 每小题5分，共45分．） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. （a为常数） B. C. D. 2. 设函数在处可导，且，则等于（ ） A. B. C. 1 D. -1 3. 已知曲线在点处的切线方程为，则 A. B. C. D. 4. 函数在上的最小值为　　 A. B. C. D. 2e 5. 已知函数， 则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上无极值，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是函数的导函数，且对任意实数都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数（为自然对数的底数）是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是（ ） A. (1，＋∞) B. C. (1，＋∞)∪{0} D. (0，1] 二、填空题：（每小题5分，共25分．） 10. 函数的单调递减区间是__________. 11. 若函数在上的最大值为4，则__________. 12. 已知函数在在上不单调，则实数的取值范围是_______． 13. 已知,若存在 ,, 使得成立,则实数的取值范围是_____. 14. 设实数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为________． 三、解答题：（本大题共4小题，共57分） 15. 已知，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数a，b的值； （2）若曲线C：，求曲线C过点的切线方程． 16 已知函数，. （1）当时，求函数的极值； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 17. （1）已知函数，，若函数在单调递减，求实数a的取值范围． （2）已知在R上不是单调函数，求实数b的取值范围． （3）已知函数在上单调递增，求实数a的取值范围． （4）已知，若对任意两个不等正实数，，都有恒成立，求实数a的取值范围． （5）请总结已知函数单调性求参数范围的解题方法． 18. 设函数，，，. （1）讨论函数零点个数； （2）若，讨论函数的单调性. 第Ⅱ卷 提高题（共20分） 19. 已知函数 (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数单调增区间； (3)若存在，使得是自然对数底数），求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$