专题02 空间向量与立体几何（易错必刷50题10种题型专项训练）高二数学下学期湘教版

专题02 平面向量（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 题型二　用空间向量基本定理解决相关的几何问题 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 题型四　求平面的法向量 题型五　利用向量研究平行问题 题型六　利用向量研究垂直问题 题型七　异面直线所成的角 题型八　利用空间向量解决线面角 题型九　利用空间向量解决二面角 题型十　利用空间向量距离问题 题型一　利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 1．如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【分析】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 2．如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为 . 【答案】3 【分析】根据向量共面的推论易知在面内，且面，结合正方体的对称性及空间数量积运算确定不同取值的个数. 【详解】由，且，即在面内， 要使取最小值时，点位置记为点，即面，结合正方体的对称性， 知：，，三种情况， 所以数量积的不同取值的个数为3. 故答案为：3 3．在平行六面体中，，，，，则 . 【答案】 【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长. 【详解】 以为基底向量，可得， 则 ， ∴． 故答案为： 4．如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据条件，利用空间向量线性运算、空间向量数量积的运算及模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，先求出，，，再利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】（1）由题知，又， 所以, 所以. （2）令，因为， 所以， 因为，所以， 因为 ，所以， 设与所成的角为，则， 即与所成角的余弦值为. 5．在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算，用表示，再用空间向量数量积运算即可. 【详解】根据题意可作图， 因为点是棱的中点，所以, 因为，所以, 则, 由题意，都是等边三角形， 所以， 故 故选：A. 题型二　用空间向量基本定理解决相关的几何问题 6．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数. 【答案】 【分析】应用空间向量共面定理计算求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，解得. 故答案为：. 7．已知在平行六面体中，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．线段的靠近点的三等分点在平面内 C．线段的长度为 D．直线与直线所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的线性运算可判断A选项；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，，A对； 对于B选项，由空间向量的平行六面体法则可得， 由题意可知，，可得， 所以，，即， 所以，在平面内，B对； 对于C选项，由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，，且， 所以， ，C错； 对于D选项，， 所以， ， ， 所以，， 因此，直线与直线所成角的余弦值为，D对. 故选：ABD. 8．已知是棱长都是2的正四棱锥的棱的中点，空间中一点满足，且 ，当最小时，下列结论中正确的是（     ） A．为等边三角形 B． C．与底面所成角是 D．四棱锥的外接球的体积为 【答案】BC 【分析】利用空间向量的基本定理，得到四点共面，且为正方形的中心时，取得最小值，由平面，得到为直角三角形，可判定A错误； 在直角中，由，得到为等腰直角三角形，可判定B正确；由平面，得到为直线与平面所成的角，可判定C正确；根据，得到点为正四棱锥的外接球的球心，利用球的体积公式，可判定D错误. 【详解】解：因为，， 所以， 又因为，所以四点共面， 所以当为正方形的中心时，取得最小值， 对于A中， 根据正棱锥的性质，可得平面， 因为平面，所以，所以为直角三角形，所以A错误； 对于B中，在中，，可得， 在直角中，，所以为等腰直角三角形， 因为棱的中点，所以，所以B正确； 对于C中，因为平面，所以点在底面上的投影落在上， 所以为直线与平面所成的角， 又因为为等腰直角三角形，所以，所以C正确； 对于D中，在正四棱锥中，可得， 所以点为正四棱锥的外接球的球心，其中为外接球的直径， 所以正四棱锥外接球的体积为，所以D错误. 故选：BC. 9．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M （填“属于”或“不属于”）平面ABC． 【答案】属于 【分析】将已知式子变成，由此即可判断. 【详解】 ， 四点共面．即点平面ABC． 故答案为：属于 10．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用共面向量定理的推论求解即可. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 11．已知向量，，若，，三点共线，则 【答案】 【分析】由条件可得，共线，结合向量共线关系列方程求，，由此可得结论. 【详解】因为，，三点共线， 所以，共线，即，又， 故存在实数t使得，又，， 所以，，， 所以，， 所以， 故答案为：. 12．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的几何意义即可求. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故选：B. 13．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以则. 故选：A. 14．已知空间向量，，若，则 ． 【答案】// 【分析】由得，即可得到的值. 【详解】因为，所以，解得． 故答案为：． 15．若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可． 【详解】，，则， ，， ， 故选：A 题型四　求平面的法向量 16．已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 【答案】 【分析】求得平面的一个法向量为，再根据和向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，即， 点P到平面ABC的距离等于，所以，即得，且， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 17．空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 【答案】/1.5 【分析】根据平面ABC，转换为的方向向量与平面ABC的法向量平行即可. 【详解】因为， 所以， 设平面ABC的法向量为， 所以，令，则， 所以 因为平面ABC， 所以，设，， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 18．在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【分析】求出平面的一个法向量的坐标，根据可得出、所满足的关系式，即可得解. 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 19．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 20．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意类比可得答案. 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点，则， 平面的法向量为，， 所以该平面的方程为. 故选：B 题型五　利用向量研究平行问题 21．如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)线段上存在点，是中点 【分析】（1）作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立的空间直角坐标系，先求出平面的法向量以及，再由公式即可求解. （2）结合（1），再由向量夹角余弦值公式即可求解. （3）“线段上存在点，使得平面”，则，而在第二问中已经求出，所以只需设，，待定系数即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，，平面平面，所以平面， 作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，，， 所以，，，     设平面的法向量为， 所以，即，，解得， 到平面的距离为 （2）由（1）知，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 所以直线与平面所成角的正弦值为 （3）“线段上存在点，使得平面”等价于“”． 因为，设，， 则，． 由（2）知平面的法向量为， 所以．解得． 所以线段上存在点，即中点，使得平面． 22．如图，正方体. (1)用空间向量方法证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据及线面垂直的判定即可证结论； （2）由（1）所得坐标系，求得，应用向量法求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）设正方体的棱长为2，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 易知， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即，又，即， 又平面，所以平面； （2）由（1）易知，则， 由（1）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为 23．如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，底面，，其中，是的中点，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，计算即可得证； （2）由平面，得为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，由即可求解. 【详解】（1）由平面，，以点为原点，分别以为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 由，E是的中点，F是的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以，又平面， 所以平面 （2）由平面，所以为平面的一个法向量， 由得平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 24．如图，几何体中，四边形是梯形，平面，，，且，点是棱上的点（不含端点）． (1)若，求证：平面； (2)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点与向量的坐标, 求出平面的法向量, 证明与平面的法向量垂直，即可得证； （2）由（1）得到相关点及向量的坐标，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求出的坐标，从而借助平面的法向量求解. 【详解】（1）因为平面，，所以两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 因为，所以，则，故． 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，故． 因为，所以， 显然平面，所以平面． （2），，，，，， 则，，，． 不妨设， 所以，则． 则． 设平面的法向量为， 则，得，取，则，，因此． 设平面的法向量为， 则，得，取，则，，因此． 因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为， 所以，解得或． 由于，故， 此时，所以， 又平面的法向量， 所以点到平面的距离． 25．如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，可得答案； （2）由（1）的空间直角坐标系，求得平面的法向量与直线的方向向量，可得答案. 【详解】（1），，所以， 又，， 又，，，. 在直四棱柱中，平面，又平面，所以，， ，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量， 令，得，. 设平面的一个法向量，则，取 ，又平面与平面不重合， 平面平面. （2）当时，为平面的一个法向量，， 则， 设， ，， 设直线与平面所成角为， ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 题型六　利用向量研究垂直问题 26．如图，长方体中，，，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得证； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量为， ，，， 则有， 显然，因此平面. （2）平面的法向量为，又， 由，， 则有， 设平面和平面夹角为， 则有. 27．如图，正三棱柱的所有棱长都为为中点. (1)求证：平面； (2)求平面与面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连结，根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明，再由线面垂直的判定证结论； （2）应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连结，为正三角形，则， 正三棱柱中，平面平面， 平面，平面平面， 平面， 以为原点，的方向为轴的建立空间直角坐标系， 则 ， ，且都在面内， 平面 （2）设平面的法向量为，且 ，令，得， 由（1）知面，则为平面的法向量， 设面与面所成角所为， . 28．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 29．如图，在直三棱柱中，，. (1)证明：三棱柱是正三棱柱； (2)证明：； (3)设平面，平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）通过证明三角形全等得到，即可证明三棱柱为正三棱柱； （2）建系，利用空间向量的方法证明线线垂直； （3）根据垂直关系得到可以作为平面的法向量，然后利用点到面的距离公式列方程，解方程得到，然后求外接球表面积即可. 【详解】（1）在直三棱柱中， 又因为， 所以， 所以， 所以三棱柱为正三棱柱. （2）取的中点，连结， 则. 因为平面， 所以平面. 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，则 ， ， 所以. 因为，所以， 所以，所以. 所以， 所以，即. （3）因为平面平面， 又因为， 所以不妨取平面的法向量. 因为直线与平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 因为， 所以点到平面的距离， 所以. 所以正三角形的外接圆半径， 所以正三棱柱的外接球的半径 ， 所以三棱柱外接球的表面积为. 30．如图所示，在直三棱柱中，，，D，E分别为棱，的中点.    (1)证明： (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系计算即可得证； （2）分别计算平面的法向量和平面的法向量，利用夹角公式即可求解. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 所以，又， 所以，可以以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 所以， 即 （2）由得，，    设向量是平面的一个法向量，则，， 即可取 显然为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，所以，， 又因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为 题型七　异面直线所成的角 31．在正四棱柱中，分别为的中点，点为上底面的中心，则直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量的坐标，根据向量夹角公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 于是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：A. 32．将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A． B．是等边三角形 C．点与平面的距离为 D．与所成的角为 【答案】D 【分析】对于选项A：取的中点，连接.运用正方形性质和直线与平面垂直的判定定理，可得平面.再用直线与平面垂直的性质，所以，判断A. 对于选项B：已知正方形边长为，能得到.由于二面角是直的，且，运用线面垂直性质，结合用勾股定理算出，又，三边相等，是等边三角形. 判断B. 对于选项C：运用等体积法，先算出的体积，再算出的面积，根据体积公式就能求出. 判断C. 对于选项D：建立坐标系，得出、、、的坐标，进而得到向量、，用求向量夹角的方法算出余弦值，结合异面直线夹角范围，可知夹角是，不是，判断D. 【详解】对于选项A，取的中点，连接. 因为正方形，所以 又，根据直线与平面垂直的判定定理，可得平面. 而平面，根据直线与平面垂直的性质，所以，故选项A正确. 对于选项B，因为正方形边长为，所以. 由于二面角是直二面角，即平面平面，且，平面平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，而平面，则. 在中，根据勾股定理，可得. 又，三边相等，所以是等边三角形，故选项B正确. 对于选项C，设点到平面的距离为. 根据三棱锥体积公式，，， 所以.. 由，即，解得，故选项C正确. 对于选项D，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，.，. 设与所成的角为，根据向量的夹角公式. ，，. 则，因为异面直线所成角的范围是，所以，故选项D错误. 故选：D. 33．直三棱柱中，，，则与所成角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，结合向量的坐标运算和向量夹角公式，即可求解. 【详解】根据题意，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，令， 则，，，，所以，， 设与所成角为，则，所以与所成角为. 故选：C. 34．已知在正三棱锥中，侧棱的中点是，线段的中点是，若，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一，取的中点，连接，则，则就是异面直线与所成角或其补角，再利用几何关系得到，和，再利用余弦定理，即可求解；法二，建立空间直角坐标系，求得，，再利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 所以就是异面直线与所成角或其补角， 取的中点，连接，因为三棱锥为正三棱锥， 所以，，则，， 又，平面，所以平面， 又面，所以， 又，，面，所以平面， 平面，因此，， 又三棱锥为正三棱锥，所以， 设，则， 在中，，， 又，所以， 连接，在中，，， 所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 所以． 解法二  取的中点，连接，由三棱锥为正三棱锥， 得，，所以，， 又，平面， 所以平面，又面，， 又，，面，所以平面， 因此，，又三棱锥为正三棱锥，所以， 故以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，， 则，， 设异面直线与所成的角为，则， 所以，得到． 故选：C 35．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为，， 所以． 所以和夹角的余弦值为． 故选：C 题型八　利用空间向量解决线面角 36．已知正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量的坐标，再求出平面的法向量；最后利用向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为正四棱柱中底面ABCD是正方形，且，所以. 以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，. 所以， ，. 设平面的法向量为， 则且. ，  . 令，解得，. 所以. 设直线与平面所成角为，则. . ，. 所以. 故选：D. 37．在直三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出答案. 【详解】设，则， 则，即， 在直三棱柱中，平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 直线与平面所成角为， 所以， 故直线BC与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 38．在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取中点，平面即为平面再根据线面角的向量法求解即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 取中点，因为是棱的中点，故， 又平面，平面，则平面， 故平面即为平面 ， ， 设平面的一个法向量为，即， 令则，即为平面的一个法向量， 线面角的正弦值为. 故选：C 39．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量法求线面角的正弦值，进而求余弦值. 【详解】设直线l与平面所成的角为，则， 所以． 故选：A． 40．正方体的棱长为1，为棱的中点，点在面对角线上运动（点异于点），以下说法错误的是（   ）    A．平面 B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 【答案】C 【分析】根据线面平行判定定理证明A，应用空间向量法计算数量积判断B，计算线面角判断C，应用点到平面距离空间向量法求解再结合三棱锥体积公式计算判断D. 【详解】    连接，因为分别是中点，所以平面，平面，所以平面，A选项正确；    如图建系，设， 所以， 所以，B选项正确； 设，设平面法向量为，， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以，C选项错误； 设平面法向量为， 因为，所以， 所以，令，则， 因为，所以， 所以点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为，D选项正确. 故选：C. 题型九　利用空间向量解决二面角 41．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二面角的向量求解公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设平面与平面的夹角为，则. 故选：D 42．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先求两个平面法向量的夹角，再根据两个平面所成的二面角与法向量的夹角相等或互补求二面角. 【详解】，即． 两平面所成二面角为或. 故选：C 43．如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 (1)证明：； (2)若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作于，应用面面、线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明面，最后应用线面垂直的判定和性质证明结论； （2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于，建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）过点作于， 由平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，故，又为直径，易知， 且平面，所以平面，平面， ，且，平面，， 平面，平面，故. （2）由（1）知，， 当时，取到最大值，过点作于， 建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴， 设平面与平面的法向量分别为. 则，， 所以，则， 令，可得， 所以，因为平面的法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值. 44．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面； (2)若，四棱锥的体积为1，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据已知条件求得各边长，利用勾股定理证得即，又有利用线面垂直的判定定理证得结论； （2）利用棱锥的体积公式求出高，建立空间直角坐标系，根据以及确定点坐标，再利用向量法求平面与平面间的夹角. 【详解】（1） 如图，设中点为，连接， 四边形为菱形，，， 是等边三角形，, ，， 在中，，即，所以,即. 又四边形为菱形， 平面，平面, 平面. （2）设四棱锥的高为，则，解得. 如图建立空间直角坐标系，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过点作轴平面，则. 由（1）可知，平面，平面，平面平面， 所以设，则，解得， 因为，所以，所以点. ， 设平面的法向量， 则，取，则，故. ， 设平面的法向量， 则，取，则，故. 所以，平面与平面夹角的余弦值为 45．如图，四棱锥的底面为正方形，，且.    (1)求证：平面平面. (2)若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. （i）求点到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理解题； （2）（i）建立直角坐标系，根据，得出点坐标，再求平面的法向量，最后利用距离公式即可； （ii）求平面的法向量，再求，进而即得. 【详解】（1）在中，，得， 则，即， 因为四边形为正方形，则， 又因，平面，平面，则平面， 又因平面，则平面平面. （2）（i）以点为坐标原点，分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 得，即， 因， ，且， 则， 因，则，即， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为.    （ii）， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为. 题型十　利用空间向量距离问题 46．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，平面平面，点为线段的中点，，直线与平面所成的角为.    (1)若点为线段的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，根据题意作出图形，由中位线和平行四边形的性质证明四边形为平行四边形，从而得到线线平行，然后证明线面平行； （2）由线面角的定义，及已知线段长求得长.由线面垂直的性质得到，，由面面垂直的性质得到，然后建立空间直角坐标系，结合线段长得到点的坐标，从而得到平面内向量的坐标，由空间向量的数量积求得面的法向量，再由空间向量的夹角求得二面角的余弦值. （3）由空间向量的投影即可得点到面的距离. 【详解】（1）取的中点，连接，； 因为分别为的中点， 所以，． 因为四边形是平行四边形，G为线段的中点， 所以，， 所以，． 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为 所以平面．    （2）因为平面，所以即为直线与平面所成的角， 由题意可知：，又，所以， 因为平面， 所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以且，，两两垂直， 分别以，，所在直线为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系， 则，，，，则，，，      设平面的法向量为，平面的法向量为， 则有，也即，令，则； 则有，也即，令，则， 则， 由图可知：二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. （3）因为 所以点到平面的距离. 47．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，N为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点M在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设的中点为，连接， （2）记的中点为，连结，易得，，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）设，利用空间向量结合直线与平面所成角的正弦值为求出的值，再利用空间向量求解即可. 【详解】（1）设的中点为，连接， 因为N为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）记的中点为，连结， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （3）依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 48．如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，已知，. (1)求到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）推导出，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1），， ，，. 由直三棱柱中，底面，、底面， ，. 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的法一个向量为，则， 令，则，，所以， 设到平面的距离为，则. （2）设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 49．如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，O为AC与BD的交点．    (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可证，根据线面平行的判断定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则可用表示平面的法向量，根据距离公式可求. 【详解】（1）在正四棱柱中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则，， 又为与的交点，为与的交点，则，， 因此四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，    则，设，则， 设平面的一个法向量为，而， 则，令，得，又， 由点到平面的距离为，得，解得， 所以正四棱柱的高为. 50．如图，正方体的棱长为为棱上一点． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方体的特征，可得，平面，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）以所在直线，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，利用向量法表示出线面角的正弦值，即可求出的值，然后利用向量法直接求解点到平面的距离即可. 【详解】（1）在正方体中，， 又平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）由题知，以所在直线， 分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 取，则， 令直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以，，又， 所以点到平面的距离为. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 题型二　用空间向量基本定理解决相关的几何问题 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 题型四　求平面的法向量 题型五　利用向量研究平行问题 题型六　利用向量研究垂直问题 题型七　异面直线所成的角 题型八　利用空间向量解决线面角 题型九　利用空间向量解决二面角 题型十　利用空间向量距离问题 题型一　利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 1．如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 2．如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为 . 3．在平行六面体中，，，，，则 . 4．如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 5．在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 题型二　用空间向量基本定理解决相关的几何问题 6．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数. 7．已知在平行六面体中，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．线段的靠近点的三等分点在平面内 C．线段的长度为 D．直线与直线所成角的余弦值为 8．已知是棱长都是2的正四棱锥的棱的中点，空间中一点满足，且 ，当最小时，下列结论中正确的是（     ） A．为等边三角形 B． C．与底面所成角是 D．四棱锥的外接球的体积为 9．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M （填“属于”或“不属于”）平面ABC． 10．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 11．已知向量，，若，，三点共线，则 12．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C．3 D． 13．若，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知空间向量，，若，则 ． 15．若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 题型四　求平面的法向量 16．已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 17．空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 18．在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 19．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 20．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 题型五　利用向量研究平行问题 21．如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 22．如图，正方体. (1)用空间向量方法证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 23．如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，底面，，其中，是的中点，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 24．如图，几何体中，四边形是梯形，平面，，，且，点是棱上的点（不含端点）． (1)若，求证：平面； (2)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求点到平面的距离． 25．如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 题型六　利用向量研究垂直问题 26．如图，长方体中，，，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值. 27．如图，正三棱柱的所有棱长都为为中点. (1)求证：平面； (2)求平面与面所成角的余弦值. 28．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 29．如图，在直三棱柱中，，. (1)证明：三棱柱是正三棱柱； (2)证明：； (3)设平面，平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积. 30．如图所示，在直三棱柱中，，，D，E分别为棱，的中点.    (1)证明： (2)求二面角的余弦值. 题型七　异面直线所成的角 31．在正四棱柱中，分别为的中点，点为上底面的中心，则直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 32．将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A． B．是等边三角形 C．点与平面的距离为 D．与所成的角为 33．直三棱柱中，，，则与所成角为 （    ） A． B． C． D． 34．已知在正三棱锥中，侧棱的中点是，线段的中点是，若，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 35．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型八　利用空间向量解决线面角 36．已知正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 37．在直三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 38．在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 39．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 40．正方体的棱长为1，为棱的中点，点在面对角线上运动（点异于点），以下说法错误的是（   ）    A．平面 B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 题型九　利用空间向量解决二面角 41．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 42．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（   ） A． B． C．或 D． 43．如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 (1)证明：； (2)若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 44．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面； (2)若，四棱锥的体积为1，求平面与平面夹角的余弦值. 45．如图，四棱锥的底面为正方形，，且.    (1)求证：平面平面. (2)若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. （i）求点到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 题型十　利用空间向量距离问题 46．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，平面平面，点为线段的中点，，直线与平面所成的角为.    (1)若点为线段的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 47．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，N为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点M在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点M到平面的距离． 48．如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，已知，. (1)求到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 49．如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，O为AC与BD的交点．    (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高． 50．如图，正方体的棱长为为棱上一点． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$