专题01 导数及其应用（易错必刷50题10种题型专项训练）高二数学下学期湘教版

专题01 导数及其应用（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　平均变化率问题 题型二　利用定义求导函数 题型三　求复合函数的导数 题型四　利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 题型五　利用导数求函数的单调区间 题型六　已知单调性求参数的取值范围 题型七　判断、证明函数的单调性 题型八　含参数单调性讨论 题型九　利用导数研究函数的极值与最值问题 题型十　利用导数研究恒成立问题 题型一　平均变化率问题 1．如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 2．函数在区间上的平均变化率为（    ）. A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由平均变化率计算公式求解. 【详解】函数在区间上的平均变化率为 故选：C. 3．已知函数，当自变量由5变到5.1时，函数的平均变化率为（   ） A．1 B．1.1 C．5.1 D．10.1 【答案】D 【分析】由函数的平均变化率定义直接计算即可. 【详解】由题函数的平均变化率为. 故选：D 4．过曲线上两点和作曲线的割线． (1)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1)6.3，6.003，6.00003． (2) 【分析】（1）利用平均变化率公式求割线斜率即可； （2）利用瞬时变化率求切线斜率即可求切线方程. 【详解】（1）割线的斜率， 当，0.001，0.00001时，，6.003，6.00003． （2）因为切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为． 5．已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据平均速度的概念求平均速度. （2）根据求初速度. （3）根据求该物体在时的瞬时速度. 【详解】（1）因为该物体在内的时间变化量， 该物体在内的位移变化量， 所以该物体在内的平均速度为． （2）求该物体的初速度即求该物体在时的瞬时速度． 因为该物体的位移在附近的平均变化率． 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体的初速度为． （3）该物体在时的瞬时速度即为位移在处的瞬时变化率． 因为该物体的位移在附近的平均变化率， 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体在时的瞬时速度为． 题型二　利用定义求导函数 6．设函数在处存在导数为2，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由导数的定义可得. 【详解】由题意可得 . 故选：D 7．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 8．已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求出的导函数，， 代入求解即可. 【详解】由题， ， 故选：A. 9．已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据导数的定义结合题意求解即可. 【详解】因为函数在处可导，且， 所以. 故选：B 10．若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用导数的定义求出极限值. 【详解】依题意，. 故选：D 题型三　求复合函数的导数 11．下列函数的求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由初等函数的导数和复合函数的导数公式逐项分析即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC. 12．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用求导的运算法则即可. 【详解】A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C正确； D. ，故D错误. 故选：C 13．下列求导运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项求导判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：D 14．已知函数，是函数的导函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求导公式和法则求出导函数，代入即可. 【详解】，所以， 故选：A. 15．已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为（   ） A．8 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据为偶函数，得出关于中心对称，再根据为偶函数，得出关于对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性计算即可. 【详解】为偶函数，则，左右两边同时求导得，，将看作整体得①， 将图象向右平移2个单位得到， 因为为偶函数，则图象关于对称，即②， ①②两式联立得，即， 用代替得，故， 即的周期为， 因，则①式中令有，令有， ②式中令有，令有， 则. 故选：C 题型四　利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 16．已知曲线在点处的切线方程为. (1)求实数与的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为；极小值为 【分析】（1）利用导数的几何意义列出方程组，解之即得； （2）利用求导判断函数的单调性，即可求得函数的极大极小值. 【详解】（1）由求导得：， 依题意，，， 故有，解得； （2）由（1）可得，则， 令可得或；由可得. 故函数在和单调递增，在上单调递减. 则函数在时取得极大值，在时，取得极小值. 17．已知函数. (1)求函数在上的最大值与最小值. (2)求函数的图象在点的切线方程； 【答案】(1)最大值是，最小值是； (2). 【分析】（1）求得，得到函数在的单调性，求得函数的极值，结合，进而得到函数的最大值与最小值； （2）由（1）知，，求得，结合直线的点斜式方程，即可求得曲线在的切线方程. 【详解】（1）解：由函数，可得， 当的变化时，的变化如下表： + 0 - 0 + 当时，函数取得极大值；当时，函数取得极大值， 又由， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （2）解：由（1）知，，可得， 即曲线在的切线的斜率为， 所以曲线在的切线方程为，即. 18．设直线与函数图象的三个交点分别为，，且，则（   ） A．图象的对称中心为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．设，曲线在点，，处的切线斜率分别记为，，，则 【答案】ACD 【分析】对于A，验证是否成立即可判断；对于B，结合函数的单调性及方程的解与图象交点的关系可得且，即可判断；对于C，由题意可得，，，则可借助表示出，即可判断；对于D，对函数求导得， ，，代入化简即可判断. 【详解】∵ ， 故图象的对称中心为，故选项A正确； ∵， ∴当时，；当时，， ∴在，上单调递增，在上单调递减. 又，，∴且. 又由题意可得， 即有, 则，，，故，故选项B错误； 由，则. 又，即， ∴. 又由，则，故. 又，故，故选项C正确； ∵， ∴， ∴，同理，， ∴ ，故选项D正确. 故选：ACD. 19．已知函数，其中a，. (1)若，，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)已知，若对任意的恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）将，代入得，利用导数的几何意义即可求得切线方程. （2）求导之后分和讨论得到单调性即可； （3）由条件得到时函数极小值，令极小值大于零，得到关于的不等式，再构造函数，求导分析单调性得到最值即可. 【详解】（1）当，时，函数， 则，得到曲线在处的切线方程的斜率为，且， 故切线方程为，整理得： （2）由，当时，恒成立，在R上单调递增； 当时，令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上：当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增； （3）由（2）可得，当时，在R上单调递增；当时，，不满足对任意的，恒成立， 当时，在上单调递减；在上单调递增；故时，函数取得最小值， 若对任意的恒成立，则只需满足， 即，即，即， 代入，设， 则，令，得， 当时，，在单调递减；当时，， 在单调递增， 所以，所以的最小值为. 20．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数在某点处的导数的几何意义求斜率，进而得切线方程； （2）将函数的单调性转化为关于导函数的恒成立问题，再参变分离求最值即可. 【详解】（1）因为，所以，得， 由，得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，化简得. （2）若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 所以“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 题型五　利用导数求函数的单调区间 21．已知函数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】通过求导，可得函数的单调区间，进而可得函数最小值. 【详解】由，得，令，解得， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数有最小值，即. 故选：C. 22．已知函数，， (1)求的单调区间和极值点； (2)求使恒成立的实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. 函数有极小值点：. (2) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号，求函数的单调区间和极值点. （2）把问题转化成在上恒成立，设，利用导数分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【详解】（1）因为（），所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数有极小值点：.没有极大值点. （2）由恒成立（）恒成立. 即（）恒成立. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的最大值为：. 所以. 所以实数的取值范围是：. 23．若函数在处取得极大值，则的极小值为 【答案】 【分析】先求得，根据题意，得到，求得，得到，求得的单调区间，进而求得函数的极小值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 因为函数在处取得极大值，可得， 即，解得， 将，代入可得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得极小值，极小值为. 故答案为：. 24．已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程有三个零点，求实数m的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，令导数大于0即可得到增区间； （2）问题转化为直线与的图象有三个交点，因此画出的图象，数形结合即可得到答案. 【详解】（1）的定义域为R， ， 当时，当时，； 故单调增区间为； （2）由（1）知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 的大致图象如图所示， 方程有三个零点等价于直线与的图象有三个交点， 由图可知时满足题意.    25．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若存在，当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）先求函数的定义域，再求导数，解不等式及即可求出单调区间； （2）在的前提下，针对与1的大小关系分三种情况讨论，借助导数得到当时，的最小值为即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 由得，由得， 所以函数 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由(1)可知，当时，， 所以，当时，，与相矛盾， 所以不存在，故不符合题意； 当时，由，得， 而当时，一定有 ，即， 与相矛盾，所以不存在，故不符合题意； 当时， 设， 即， ， 令，得，， 当时，，所以在上单调递增， 此时，， 所以存在，当时，， 故满足题意. 综上，实数的取值范围是. 题型六　已知单调性求参数的取值范围 26．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若在处的瞬时变化率为3，则 B．当时，函数在区间上的最小值为1 C．若在上单调递增，则 D．当时，函数图象的对称中心是 【答案】BD 【分析】根据题意，得到，由，求得，可判定A错误；当时，得到，求得的单调区间，得出的最小值，可判定B正确；把函数在上单调递增，转化为恒成立，结合二次函数的性质，可判定C错误；当时，得到，求得对称轴为，且，得出图像的对称中心，可判定D正确. 【详解】由函数的定义域为，可得， 对于A中，因为在处的瞬时变化率为3，可得， 解得，所以A错误； 对于B中，当时，可得， 当或时，；当时，， 函数在区间上单调递增，在上单调递减， 又由，所以在区间上最小值为，所以B正确； 对于C中，函数在上单调递增，则恒成立， 则满足，解得，所以C错误； 对于D中，当时，可得，其对称轴为，且， 所以函数图像的对称中心是，D正确. 故选：BD. 27．已知函数，是的导数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，没有零点 B．当时，有两个极值点 C．对，恒成立 D．若是上的增函数，则 【答案】BCD 【分析】由与的图像存在交点，即可判断A，求导可得有两个变号零点，即可判断B，求导得到其最值即可判断C，由恒成立，代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，当时，，可画出和的图像，可知在第二象限 一定有交点，一定有零点，∴A选项错误. 对于B，当时，， 令，则，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，又， 所以有两个变号零点，即有两个变号零点，有两个极值点， B选项正确. 对于C，，令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以恒成立，C选项正确. 对于D，恒成立，令， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即D选项正确. 故选：BCD 28．已知函数，若的单调减区间为，则实数 ． 【答案】1 【分析】单调区间的端点值为导数的零点，即可求得； 【详解】函数， 则， 若的单调减区间为， 则的解集为， 所以，则，检验符合， 故答案为：1. 29．已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】令，由题意可得函数在R上单调递增，由在R上恒成立，可得在R上恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得答案. 【详解】解：因为对任意两个不相等的实数，都有， 即， 令，不妨设， 则有， 所以， 所以在R上单调递增， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 令， 则，令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以. 即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：在解答已知函数的单调性求参数的范围这类题目时，常转化为其导函数的恒正(负)，再参变分离求解即可. 30．若对任意的正实数，，当时， 恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为对任意的正实数，，当时， 恒成立， 令，由在上单调递减求解. 【详解】因为对任意的正实数，，当时， 恒成立， 所以对任意的正实数，，当时， 恒成立， 令，所以在上单调递减， 则，所以在上恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A 题型七　判断、证明函数的单调性 31．已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到，分，和三种情况，结合函数单调性得到最大值； （2）变形为，构造，求导，结合零点存在性定理得到函数单调性，求出最大值为，故，证明出结论. 【详解】（1），， 故， 若时，，又，所以， 所以在上单调递减， 所以最大值为， 若，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， 若时，时，， 所以在上单调递增，故最大值为， 综上，当时，最大值为； 当时，最大值为； 当时，最大值为； （2）当时，，定义域为， ， 即证，即， 令，则， 令，， 则，故在上单调递减， 其中，， 由零点存在性定理得，使得，即， 当时，，，当时，，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， ，故， 所以，所以， 故. 32．函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图象过定点 B．当时，在上单调递增 C．当时，恒成立 D．存在，使得与轴相切 【答案】AC 【分析】A计算即可；B求导研究其单调性即可；C根据单调性求其最小值即可；D假设存在，列出方程组，，通过构造函数，来得出矛盾. 【详解】，故A正确； 当时，，， 因在上单调递增，且，， 故存在使得，即，， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时等号成立，因，故而恒成立，故B错误，C正确； 假设存在使得与轴相切，设切点为， 因，则切线斜率为， 故方程组，有解， 化简得， 令，则，则在上单调递减， 因，，故， 令，则，故在上单调递增， 因且，则，与矛盾， 故不存在，使得与轴相切，故D错误. 故选：AC 33．任意时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】同构变形得到，令，故，由单调性得到不等式，故，令，，求导，得到函数单调性和最小值，从而得到，得到答案. 【详解】， 令，则，故， ，故在R上单调递增， 所以，又，故， 令，， ，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在上取得极小值，也是最小值， 其中，故. 故答案为： 34．已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件构造函数，可得在上为增函数，且为奇函数，然后将可转化为，从而可求出不等式的解集. 【详解】令，则， 因为当时，有， 所以当时，，所以在上为增函数， 因为为奇函数，所以， 所以， 所以为R上的奇函数，所以在R上为增函数， 由，得 ， ， 所以， 因为为奇函数，所以， 所以，得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 35．已知是定义在上的连续可导函数，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导，结合条件判断原函数单调性，即可得出答案. 【详解】构造函数，， 所以在上单调递减，， 故选：B. 题型八　含参数单调性讨论 36．已知函数，其中 (1)设，讨论的单调性； (2)若是的极大值点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出的表达式，再对其求导，根据导数的正负来讨论函数的单调性. （2）先求出的导数，根据是的极大值点这一条件，结合导数的性质来确定的取值范围. 【详解】（1），则，其定义域为. 对求导，可得：. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，解得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减.   综上所得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）对求导，可得： . 因为是的极大值点，所以，且在两侧导数符号发生变化. 令，则. 当时，，在上单调递增. 那么当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增. 所以是的极小值点，不符合题意. 当时，由得. 若，即时，在上单调递增，在上单调递减，，即，在上单调递减，无极值点，不符合题意. 若，即时，在上单调递增，在上单调递减. 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增. 所以是的极小值点，不符合题意. 若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. 所以是的极大值点，符合题意. 综上，的取值范围是. 37．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个零点，求m 的范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解； （2）令，得，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而可得出答案. 【详解】（1）函数， 当时，则在上单调递增; 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在内单调递减，在单调递增； （2）由题意可得：， 令，整理可得， 设，则， 由， 令，得，令，得， 则在内单调递减，在内单调递增， 由题意可知：有两个零点，则，解得， 若，令， 则，则， 可知在内有且仅有一个零点， 且当趋近于趋近于， 可知内有且仅有一个零点， 即，符合题意， 综上所述，的取值范围为. 38．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）先求得，分，，和，四种情况讨论，结合的解集，即可求得函数的单调递增区间； （2）由（1）知：当时，求得，令求得；当时，利用在的单调性，得到，令函数，求得，再令，利用导数，结合函数的单调性，得到在上单调递减，结合，求得，进而得到答案. 【详解】（1）解：由函数，其中， 可得， 当时，令，解得，所以的单调递增区间为； 当时，令，解得或， 所以的单调递增区间为及； 当时，恒成立，所以的单调递增区间为； 当时，令，解得或， 所以的单调递增区间为及. 综上可得：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为及； 当时， 的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为及. （2）解：由（1）知，当，在单调递增，所以， 令，可得，所以； 当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以， 令，可得， 令，可得，所以为单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 因为且，所以， 综上可得：实数的取值范围为. 39．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求得，由，求得或，分，，和，四种情况讨论，结合的符号，求得的单调区间； （2）根据题意，转化为在上恒成立，设，求得，再令，求得，得出函数的单调性，结合，得到在内存在唯一的零点，求得的单调性，得到，再由，求得，代入求得，得到实数的取值范围. 【详解】（1）解：由函数， 可得且， 由，可得或， 当时，令，可得或； 令，可得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令，可得或； 令，可得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，此时，所以函数在上单调递增； 综上可得：当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的在区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间，减区间为； 当时，函数的在区间上单调递增，无减区间. （2）解：当时，不等式，即， 即在上恒成立， 设，可得， 令，可得， 令，解得；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以函数在内存在唯一的零点，且， 当时，，可得，所以单调递减； 当时，，可得，所以单调递增， 所以， 又因为，可得， 则，即， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 40．已知 (1)若 求在处的切线的斜率; (2)讨论的单调性; 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率即可. （2）求导，分和讨论，求出单调性即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以所求切线的斜率为. （2）由，，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 题型九　利用导数研究函数的极值与最值问题 41．已知函数在处取得极小值5． (1)求实数a，b的值； (2)当时，求函数的最值． 【答案】(1)， (2)的最小值为，最大值为 【分析】（1）由函数解析式求导，根据可导函数取极值的必要条件，建立方程求得，利用极小值的判别方法进行检验，再根据函数解析式求值，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，求得导数与零的大小关系，明确函数的单调区间，可得答案. 【详解】（1）， 因为在处取极小值5，所以，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又，所以． 即实数，. （2），所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 0 1 2 3 0 0 1 ↗ 极大值6 ↘ 极小值5 ↗ 10 因为时，且所以的最小值为，的最大值为. 42．下列关于函数的判断正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．是极小值，是极大值 C．没有最小值，也没有最大值 D．有最大值，没有最小值 【答案】BD 【分析】求出导函数，根据导函数的正负，判断原函数增减性，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，当时，，是的单调递增区间，故A错误； 对于B，由A知，在，上是减函数，在上是增函数，是的极小值，是的极大值，故B正确； 对于C，D，当时，恒成立，且在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，又当时，，无最小值，故C错误，D正确． 故选：BD. 43．已知函数.若有，（）两个极值点 (1)求实数a的取值范围； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分离参数得，再设新函数，研究其图象即可； （2）等价转化得，再设新函数，研究其单调性即可； 【详解】（1）求导可得：， 因为有，（）两个极值点， 所以有两个变号零点， 即方程在有两根， 即在有两根， 构造函数， ，易知时，，时，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，， 又， 所以实数a的取值范围是 （2）由， 要证，即证，即，即证， 只需证 ， 即证，由于， 即证， 令，，则， 令，， 当时，，当时，， 则， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故成立. 44．设函数，则（   ） A．在区间上有5个零点 B．在区间上有4个极值点 C．的图象有1条对称轴在区间上 D．的图象有3个对称中心在区间上 【答案】ABD 【分析】利用二倍角的正弦公式直接可求零点判断A；求导可得函数的极值点的个数判断B；利用余弦函数的性质与极值点的情况计算可判断CD. 【详解】对于A，由， 可得或，又， 所以或或或，或，故A正确； 对于B，由，可得， 令，即，因为， 又，故有4个解， 结合二次函数知识可得在每个解的左右两边导数符号不同， 所以函数在区间上有4个极值点，故B正确； 对于C，由B可知，由余弦函数的图象可得函数的极值点关于对称， 又，所以函数关于原点对称， 又，所以函数关于对称， 又，所以函数关于对称， 又，可得是函数的周期， 所以的图象在区间上没有对称轴，的图象有3个对称中心在区间上，故C错误，故D正确. 故选：ABD. 45．设函数. (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)在处的切线方程 (2)的单调递增区间为，单调递减区间为，； 的极小值为，极大值为； (3)， 【分析】（1）求导，求得及，利用直线的点斜式方程，即可求得切线方程； （2）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得的单调区间及极值； （3）由（2）可得在上的单调性，由单调性可求得最值． 【详解】（1）由题意可知，，则， 又， 则在处的切线方程为：，即， 所以在处的切线方程； （2）令，解得：或， 则，，变化如表， 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，； 的极小值为，极大值为； （3）（3）由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 又，，，， 所以，． 题型十　利用导数研究恒成立问题 46．若函数，对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据所给不等式转化为时，恒成立，构造函数知其单调递增，利用导数恒大于等于0求解即可. 【详解】因为单调递增，， 所以，即， 原不等式恒成立可化为恒成立， 即时，恒成立， 即函数在上为增函数， 所以在上恒成立， 即，令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，函数的最大值为， 即恒成立，所以实数m的最小值为． 故答案为：． 47．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明：在上有且只有一个零点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）利用导数求的单调性，按的不同取值分类讨论即可求解； （3）利用导数求的单调性，结合零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，，，， 所以在点处的切线方程为， 即. （2）因为，且， 由得， 当时，在上恒成立， 所以单调递增，恒成立， 当时，， 又因为，所以， 则在上，， 记，则时，，单调递减， ，与恒成立不符， 综上所述，恒成立，实数的取值范围是. （3）当时，， 令，则，， 当时，，单调递减， 所以在上，，， 易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点， 令，， 在上，单调递减，，， 所以存在使得，在上，在上，； 因此在上单调递增，在上单调递减，，； 所以存在使得，在上，在上，； 故在上单调递增，在上单调递减，且，， 所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点 综上所述，时，函数在上有且只有一个零点. 48．已知函数对于均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据其函数图象的对称轴方程确定，令，对进行求导，利用导数研究函数的单调性及最值，从而可得，进而可求出的取值范围． 【详解】解：令， 则图象的对称轴方程为，所以， 令， 则， 令，则，对， 在上单调递减， 又因为， 所以，且在上单调递增， 所以， 所以即在恒成立， 所以，即， 解得． 故选：D． 49．已知命题，；，．下列判断正确的是（   ） A．p，q均为真命题 B．为真命题，为假命题 C．为假命题，为真命题 D．p，q均为假命题 【答案】A 【分析】令，利用导数可得，可判断，令，计算可判断. 【详解】令，求导得，因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以为真命题，又，， 所以为真命题，所以p，q均为真命题. 故选：A. 50．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“当时，不等式恒成立”等价于“，恒成立”，设函数，通过导数分析其单调性得；再设并通过导数得在上单调递增，且，故得a的取值范围是. 【详解】由函数，，所以不等式恒成立，等价于 恒成立； 因为，所以； 设函数，，则， 计算，且； 所以， 当，时，令，解得， 所以时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以； 设，则， 所以在上单调递增，且； 要使恒成立，需使恒成立，即 所以a的取值范围是. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 导数及其应用（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　平均变化率问题 题型二　利用定义求导函数 题型三　求复合函数的导数 题型四　利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 题型五　利用导数求函数的单调区间 题型六　已知单调性求参数的取值范围 题型七　判断、证明函数的单调性 题型八　含参数单调性讨论 题型九　利用导数研究函数的极值与最值问题 题型十　利用导数研究恒成立问题 题型一　平均变化率问题 1．如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 2．函数在区间上的平均变化率为（    ）. A．5 B．4 C．3 D．2 3．已知函数，当自变量由5变到5.1时，函数的平均变化率为（   ） A．1 B．1.1 C．5.1 D．10.1 4．过曲线上两点和作曲线的割线． (1)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 5．已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 题型二　利用定义求导函数 6．设函数在处存在导数为2，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 7．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 9．已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C． D．1 10．若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 题型三　求复合函数的导数 11．下列函数的求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 12．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．下列求导运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 14．已知函数，是函数的导函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为（   ） A．8 B．1 C．0 D． 题型四　利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 16．已知曲线在点处的切线方程为. (1)求实数与的值； (2)求函数的极值. 17．已知函数. (1)求函数在上的最大值与最小值. (2)求函数的图象在点的切线方程； 18．设直线与函数图象的三个交点分别为，，且，则（   ） A．图象的对称中心为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．设，曲线在点，，处的切线斜率分别记为，，，则 19．已知函数，其中a，. (1)若，，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)已知，若对任意的恒成立，求的最小值. 20．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 题型五　利用导数求函数的单调区间 21．已知函数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 22．已知函数，， (1)求的单调区间和极值点； (2)求使恒成立的实数的取值范围. 23．若函数在处取得极大值，则的极小值为 24．已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程有三个零点，求实数m的范围. 25．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若存在，当时，，求实数的取值范围. 题型六　已知单调性求参数的取值范围 26．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若在处的瞬时变化率为3，则 B．当时，函数在区间上的最小值为1 C．若在上单调递增，则 D．当时，函数图象的对称中心是 27．已知函数，是的导数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，没有零点 B．当时，有两个极值点 C．对，恒成立 D．若是上的增函数，则 28．已知函数，若的单调减区间为，则实数 ． 29．已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 30．若对任意的正实数，，当时， 恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型七　判断、证明函数的单调性 31．已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 32．函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图象过定点 B．当时，在上单调递增 C．当时，恒成立 D．存在，使得与轴相切 33．任意时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 34．已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为 ． 35．已知是定义在上的连续可导函数，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型八　含参数单调性讨论 36．已知函数，其中 (1)设，讨论的单调性； (2)若是的极大值点，求的取值范围. 37．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个零点，求m 的范围． 38．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 39．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对，恒成立，求a的取值范围． 40．已知 (1)若 求在处的切线的斜率; (2)讨论的单调性; 题型九　利用导数研究函数的极值与最值问题 41．已知函数在处取得极小值5． (1)求实数a，b的值； (2)当时，求函数的最值． 42．下列关于函数的判断正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．是极小值，是极大值 C．没有最小值，也没有最大值 D．有最大值，没有最小值 43．已知函数.若有，（）两个极值点 (1)求实数a的取值范围； (2)证明： 44．设函数，则（   ） A．在区间上有5个零点 B．在区间上有4个极值点 C．的图象有1条对称轴在区间上 D．的图象有3个对称中心在区间上 45．设函数. (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求在区间上的最大值与最小值. 题型十　利用导数研究恒成立问题 46．若函数，对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为 ． 47．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明：在上有且只有一个零点. 48．已知函数对于均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．已知命题，；，．下列判断正确的是（   ） A．p，q均为真命题 B．为真命题，为假命题 C．为假命题，为真命题 D．p，q均为假命题 50．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$