第1章 专题微课 利用导数研究函数的性质 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

第1章 专题微课 利用导数研究函数的性质 [课时跟踪检测] 1.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系,是微积分学重要的理论基础,其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心,其内容如下:如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则(a,b)内至少存在一个点x0∈(a,b),使得f(b)- f(a)=f'(x0)(b-a),其中x=x0称为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的“中值点”.请问函数f(x)=5x3-3x在区间[-1,1]上的“中值点”的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　由拉格朗日中值定理,f(-1)=-2,f(1)=2,f'(x)=15x2-3,则f(1)-f(-1)=f'(x0)×2,所以f'(x0)=2 ,则15-3=2,x0=±,符合题意,共2个解,故选B. 2.函数f(x)=2x3-6x+m有三个零点,则实数m的取值范围是 (　　) A.[-4,4] B.(-4,4) C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞) 解析:选B　由题意可得f'(x)=6x2-6,当x<-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-1<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,据此可得函数在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值,结合题意可得解得-4<m<4,所以实数m的取值范围是(-4,4).故选B. 3.已知函数f(x)=x2-2ln x,若在定义域内的任意x,使得不等式f(x)-m≥0恒成立,则实数m的最大值是 (　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 解析:选C　因为f(x)=x2-2ln x,x>0,所以f'(x)=2x-=,x>0,令f'(x)=0得x=1,令f'(x)<0得0<x<1,令f'(x)>0得x>1,所以函数f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=1-2ln 1=1,因为不等式f(x)-m≥0恒成立,所以m≤f(x)min=1,所以实数m的最大值是1.故选C. 4.若对任意的x∈R,>x+log2a恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C.(0,8) D.(0,8] 解析:选C　由对任意的x∈R,ex+2>x+log2a恒成立,设f(x)= ex+2-x,f'(x)=ex+2-1,令f'(x)=ex+2-1>0,解得x>-2,令f'(x)=ex+2-1<0,解得x<-2,则f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(-2)=3,所以log2a<3,解得0<a<8.故选C. 5.已知函数f(x)=ln x与g(x)=,则它们的图象交点个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.不确定 解析:选B　令h(x)=ln x-,则h'(x)=-,∴当0<x<e时,h'(x)>0,当x>e时,h'(x)<0,∴当x=e时,h(x)取得最大值h(e)=0.∴h(x)=ln x-只有一个零点,即f(x)与g(x)的图象只有1个交点,故选B. 6.已知函数f(x)=2x-kex(2x+1),若∃x0∈(0,+∞),使得f(x0)≥0成立,则实数k的最大值是 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题设,∃x0∈(0,+∞),使k≤=·成立,令g(x)=,x>0,则g'(x)=-,∴当0<x<时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>时,g'(x)<0,g(x)单调递减.∴g(x)≤g=,故k≤即可.故选D. 7.(5分)(2024·全国甲卷)曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点,则a的取值范围为　　　　.  解析: 令x3-3x=-(x-1)2+a,则a=x3+x2-5x+1.令g(x)=x3+x2-5x+1(x>0),则g'(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1).令g'(x)=0(x>0)得x=1,当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,g(0)=1,g(1)=-2.因为曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点,所以等价于y=a与y=g(x)有两个交点,所以a∈(-2,1). 答案:(-2,1) 8.(5分)已知函数f(x)=xex,若f(x)>x2+(a-1)x在x∈(0,+∞)上恒成立,则实数a的最大值为　　　　.  解析:当x>0时,f(x)>x2+(a-1)x恒成立,等价于a<ex-x+1恒成立,令h(x)=ex-x+1(x>0),所以h'(x)=ex- 1,所以当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,又e0-0+1=2,所以h(x)>2,所以a≤2,所以实数a的最大值为2. 答案:2 9.(5分)已知函数f(x)=-mx+3,g(x)=ln x,若∀x∈(0,e],f(x)-g(x)≥1恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　　　.  解析:由∀x∈(0,e],f(x)-g(x)≥1,可化为mx+ln x-2≤0,取x=e有me+1-2≤0,得m≤.令h(x)=mx+ln x-2(0<x≤e),①当m≤0时,由0<x≤e,有mx≤0,ln x≤1,此时h(x) <0恒成立;②当0<m≤时,此时函数h(x)单调递增,有h(e)=me+1-2=me-1≤0.综上所述,实数m的取值范围是. 答案: 10.(10分)已知函数f(x)=sin x+ax,其中x∈[0,π]. (1)当a=-时,求f(x)的极值;(6分) (2)当a≥1时,求f(x)的零点个数.(4分) 解:(1)当a=-时,f(x)=sin x-x,x∈[0,π], 求导得f'(x)=cos x-,x∈[0,π], 令f'(x)=0,得x=, 当x∈时,f'(x)≥0; 当x∈时,f'(x)<0. ∴f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减, ∴当x=时,f(x)取得极大值f=-,无极小值. (2)f'(x)=cos x+a,x∈[0,π], 当a≥1时,∵-1≤cos x≤1,∴f'(x)≥0, ∴f(x)在区间[0,π]内单调递增, ∴f(x)≥f(0)=0,故f(x)只有一个零点0. 11.(15分)已知函数f(x)=2ex-x-ln(x+a). (1)当a=1时,求f(x)在x=1处的切线方程;(5分) (2)若f(x)>2a恒成立,求a的取值范围.(10分) 解:(1)当a=1时,f(x)=2ex-x-ln(x+1),求导得f'(x)=2ex-1-, f'(1)=2e-,f(1)=2e-1-ln 2, 故切线方程为(4e-3)x-2y+1-2ln 2=0. (2)由f(x)>2a可得2ex-x-ln(x+a)>2a,即2ex+x>ln(x+a)+2x+2a, 变形得ln ex+2ex>ln(x+a)+2(x+a)(此处也可变形为2ex+x>ln(x+a)+2eln(x+a),设h(x)=x+2ex), 设g(x)=ln x+2x,则有g(ex)>g(x+a),显然g(x)在(0,+∞)上为增函数,所以只需ex>x+a>0恒成立.设h(x)=ex-x-a(x>-a),求导得h'(x)=ex-1, ①若a>0,当-a<x<0时,h'(x)<0,则h(x)在(-a,0)内单调递减,当x>0时,h'(x)>0,则h(x)在(0,+∞)上单调递增, 故 h(x)≥h(0)=1-a,要使h(x)>0恒成立,需使1-a>0,又a>0,故得0<a<1; ②若a≤0,则x>-a≥0,h'(x)>0,则h(x)在(-a,+∞)上单调递增,故有 h(x)>h(-a)=e-a>0恒成立. 综上所述,a的取值范围是(-∞,1). 12.(15分)(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,其中0<k<. (1)证明:f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点;(6分) (2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0,+∞)的极值点和零点. ①设函数g(t)=f(x1+t)-f(x1-t),证明:g(t)在区间(0,x1)单调递减;(5分) ②比较2x1与x2的大小,并证明你的结论.(4分) 解:(1)证明:∵f(x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,k∈.∴f'(x)=-1+x-3kx2 = =, 当x>0时,令f'(x)=0,解得x=-1>0, ∴当0<x<-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, ∴x=-1是f(x)在(0,+∞)上唯一的极值点,且是极大值点. 又∵f>f(0)=0, f=ln-<0, ∴∃x2∈,f(x2)=0, 即x2是f(x)在(0,+∞)上唯一的零点. (2)①证明:∵g(t)=f(x1+t)-f(x1-t), ∴g'(t)=f'(x1+t)+f'(x1-t) =(x1+t-x1)+ (x1-t-x1) =3kt =,∵t∈(0,x1), ∴t2--2x1<0,(1+x1)2-t2>0, ∴g'(t)=<0, 即g(t)在t∈(0,x1)内单调递减. ②由①得,g(t)在t∈(0,x1)内单调递减, ∴g(x1)<g(0),即f(2x1)-f(0)<f(x1)-f(x1)=0,f(2x1)<0, ∵x2是f(x)的零点, ∴f(x2)=0, ∴f(2x1)<f(x2), 又∵x2>x1,2x1>x1,且f(x)在(x1,+∞)上单调递减,∴2x1>x2. 学科网（北京）股份有限公司 $