清单03 概率（考点清单，知识导图+7个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（湘教版2019必修选择性第二册）

清单03 概率 （7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】条件概率 1．条件概率的概念 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3．条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 4．全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝=i＝1，2，…，n. 6.在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 【清单02】二项分布 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布（若有件产品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服从二项分布的） 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【清单03】两点分布 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.（想象成扔硬币问题） 【清单04】超几何分布 超几何分布：一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超几何分布. 注意：若有件产品，其中件为次品，无放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服出超几何分布. 【清单05】正态分布 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数，，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示： 　 甲　　　　　　　　　乙 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3σ原则 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 【规律方法】 1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 2.正态分布下2类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝． 特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称． 【清单06】离散型随机变量的均值与方差 Ⅰ：随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 方差：．称为随机变量的方差，它反映了离散型随机变量相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算术平方根为随机变量的标准差，记作，方差(或标准差)越小表明的取值相对于期望越集中，否则越分散． Ⅱ： 均值与方差的性质 (1)． (2)(为常数)．（3） 两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差 (1)若X服从两点分布，则，． (2)若X服从二项分布，即，则． (3)若X服从超几何分布，即时， ． 方法总结：　求离散型随机变量的均值、方差的基本步骤： 第一步：判断取值：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值； 第二步：探求概率：利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步：写分布列：按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质(概率总和为1)检验所求的分布列是否正确； 第四步：求期望值和方差：利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值．对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望与方差公式，可加快解题速度． 【清单07】二项分布之概率最值问题 Ⅰ：如果，其中，求最大值对应的值. 一般是考察与的大小关系. 因为 所以要使，则.故有 ⑴如果，则时取得最大值. ⑵如果，是不超过的正整数，则当和时，取得最大值. （3）如果是不超过的非整数，则当（注意表示不超过的最大整数）时取得最大值. Ⅱ：方法二 【考点题型一】条件概率的求算 技巧：规律方法　利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【例1】已知随机事件满足，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】表示三个随机事件，判断下列选项正确的是（   ） A．已知是事件与事件相互独立的充要条件 B．已知，则 C．已知是事件与事件互斥的充要条件 D．已知，则 【变式1-3】某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】全概率公式 技巧：全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时， 我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 【例2】商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了餐馆，则第31天选择餐馆的概率为 ． 【变式2-1】一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（   ） A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．第三次摸出黄球的概率为 【变式2-2】如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（   ） A．将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B．将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C．小球从房间出发，4次移动后到达房间的移动路径有6种 D．小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为 【变式2-3】设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占55%，25%，20%，各厂的产品的次品率分别为2%，4%，5%．现从中任取一件，则取到的是次品的概率是 ． 【变式2-4】某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装2袋，第一袋装有6名男生和4名女生的报表，第二袋装有7名男生和5名女生的报名.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生报表各1份的概率为（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】贝叶斯公式 技巧：贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 【例3】某农科所正在试验培育甲、乙两个品种的杂交水稻，水稻成熟后对每一株的米粒称重，重量达到规定的标准后，则该株水稻达标.在水稻收获后，通过科研人员的统计，甲品种的杂交水稻有不达标，乙品种的杂交水稻有不达标. (1)若假设甲、乙两个品种的杂交水稻株数相等，一科研人员随机选取了一株水稻，称重后发现不达标，求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是多少； (2)科研人员选取了8株水稻，其中甲品种5株，乙品种3株，再从中随机选取3株进行分析研究，这3株中来自乙品种水稻的有株，求的数学期望. 【变式3-1】有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列命题中正确的是（   ） A．已知随机变量，则 B． C．已知一组数据：7、7、8、9、5、6、8、8，则这组数据的第30百分位数是8 D．相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强 【变式3-3】有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【考点题型四】离散型随机变量的分布列 技巧：规律方法　求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列． 【例4】下列说法正确的是（    ） A．有一组数、、、，这组数的第百分位数是 B．在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 C．随机变量，若，，则 D．以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， 【变式4-1】盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求： (1)； (2)X的分布列. 【变式4-2】为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”4个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏（不同的经典故事不能搭配同一本名著）.规定：每答对1个经典故事的出处，可获得10分. (1)小王同学的答题情况如图所示， ①求小王同学的得分； ②老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率 (2)小李同学将这4个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他的得分为X，求X的分布列与期望. 【变式4-3】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量， 则等于 （  ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式4-4】某校心理活动中心计划在周四和周五两天各举行一次活动，分别由张老师和王老师两人负责活动通知．已知该中心共有n位学生成员，每次活动均需该中心的k位学生成员参加．假设张老师和王老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该中心k位学生成员，且所发信息都能收到． (1)当，时，求该中心学生成员小明同学收到张老师或王老师两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的学生成员人数为X ①设，，求随机变量X的分布列和数学期望； ②设，求使取得最大值的整数m． 【考点题型五】两点分布 技巧：规律方法　两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． 【例5】已知随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【变式5-1】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品 (1)若从10件产品中任意抽取1件，求抽到一等品件数的分布列． (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回．设取到一等品的件数为，求的分布列及均值． (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回．设取到一等品的件数为X，求： ①X的分布列及均值； ②取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 【变式5-2】设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】掷一颗骰子，观察掷得的点数. (1)求点数X的分布； (2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布. 【变式5-4】若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】正态分布 技巧：规律方法　利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1， 故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ] 内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【例6】某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【变式6-1】随机变量．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 【变式6-3】已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则 . 【变式6-4】某市高三年级学生联考，学生的数学成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．该市高三年级学生的数学成绩的方差是5 B．从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小 C． D．从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于110的概率为 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 概率 （7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】条件概率 1．条件概率的概念 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3．条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 4．全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝=i＝1，2，…，n. 6.在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 【清单02】二项分布 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布（若有件产品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服从二项分布的） 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【清单03】两点分布 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.（想象成扔硬币问题） 【清单04】超几何分布 超几何分布：一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超几何分布. 注意：若有件产品，其中件为次品，无放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服出超几何分布. 【清单05】正态分布 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数，，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示： 　 甲　　　　　　　　　乙 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3σ原则 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 【规律方法】 1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 2.正态分布下2类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝． 特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称． 【清单06】离散型随机变量的均值与方差 Ⅰ：随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 方差：．称为随机变量的方差，它反映了离散型随机变量相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算术平方根为随机变量的标准差，记作，方差(或标准差)越小表明的取值相对于期望越集中，否则越分散． Ⅱ： 均值与方差的性质 (1)． (2)(为常数)．（3） 两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差 (1)若X服从两点分布，则，． (2)若X服从二项分布，即，则． (3)若X服从超几何分布，即时， ． 方法总结：　求离散型随机变量的均值、方差的基本步骤： 第一步：判断取值：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值； 第二步：探求概率：利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步：写分布列：按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质(概率总和为1)检验所求的分布列是否正确； 第四步：求期望值和方差：利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值．对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望与方差公式，可加快解题速度． 【清单07】二项分布之概率最值问题 Ⅰ：如果，其中，求最大值对应的值. 一般是考察与的大小关系. 因为 所以要使，则.故有 ⑴如果，则时取得最大值. ⑵如果，是不超过的正整数，则当和时，取得最大值. （3）如果是不超过的非整数，则当（注意表示不超过的最大整数）时取得最大值. Ⅱ：方法二 【考点题型一】条件概率的求算 技巧：规律方法　利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【例1】已知随机事件满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，求得，结合，即可求解. 【详解】因为随机事件和满足，， 由条件概率的计算公式，可得， 所以. 故选：D. 【变式1-1】已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 【变式1-2】表示三个随机事件，判断下列选项正确的是（   ） A．已知是事件与事件相互独立的充要条件 B．已知，则 C．已知是事件与事件互斥的充要条件 D．已知，则 【答案】ACD 【分析】对于A，利用条件概率和相互独立事件的判断方法，即可判断；对于B，由，即可判断；对于C，利用互斥事件的定义和概率公式即可判断；对于D，利用条件概率公式即可判断. 【详解】对于A，因为，得到， 故事件与相互独立，即充分性成立； 若事件与相互独立，则， 于是，即必要性成立，故A正确； 对于B，因为，因表示事件发生而不发生的概率， 而则表示事件都不发生的概率，故B错误； 对于C，因为， 所以，又，故事件与互斥，即充分性成立； 若事件与互斥，则，，即必要性成立，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 故选：ACD. 【变式1-3】某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件，根据条件概率计算公式求解. 【详解】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件， 则， ， 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是. 故选：D. 【变式1-4】已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令事件为“该运动员没有全部命中”， 令事件“恰好命中两次”，根据条件概率公式有即可求解. 【详解】令事件为“该运动员没有全部命中”， 令事件“恰好命中两次”， 则，， 由条件概率知所求概率为， 故选：B. 【考点题型二】全概率公式 技巧：全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时， 我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 【例2】商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了餐馆，则第31天选择餐馆的概率为 ． 【答案】 【分析】根据全概率公式可得出，可得出，由此可得出数列为等比数列，求得数列的通项公式，即可求得. 【详解】设小明在第天选择餐馆的概率为， 由题意可知， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 故． 故答案为：. 【变式2-1】一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（   ） A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．第三次摸出黄球的概率为 【答案】ABD 【分析】A利用全概率公式求解；B利用条件概率求解；C 利用概率的乘法公式求解；D必备知识：无论第几次抽取黄球，其概率均为. 【详解】解：对于A、第二次摸出红球分两种情况： 第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为 第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为， 可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确； 对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件， 由选项A的分析可知，， 根据条件概率公式，所以选项B正确； 对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第一次摸出红球的概率为， 所以选项C错误； 对于D、因为袋子里共有个球，其中黄球有7个， 所以每次摸出黄球的概率都是，即第三次摸出黄球的概率为，所以选项D正确. 故选：ABD. 【变式2-2】如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（   ） A．将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B．将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C．小球从房间出发，4次移动后到达房间的移动路径有6种 D．小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为 【答案】ABD 【分析】A项列举法求出房间相邻的情况，由古典概型与对立事件的概率公式求解；B项给出取6个房间且两两不邻的例子，由房间均与个房间相邻，分析取个房间必有相邻情况；C项列举可得；D项先列举从到达的情况求出相应条件概率，再利用全概率公式写出递推关系，构造数列求通项进而求具体概率即可. 【详解】A项，任取两个房间，相邻有种情况：， 所以任取两个房间不相邻的概率为，故选项A正确； B项，当时， 可将小球放在，此时房间两两不相邻； 当时，房间均与个房间相邻， 则从个房间任意抽走个房间后，总有相邻的房间，所以，故选项B正确； C项，小球从房间出发，次移动后到达房间有种路径： ；；； ；；； ，故选项C错误； D项，设小球从房间经过次移动到达房间的概率为，由题意可知为偶数， 小球在房间，次移动的路径有： ； 小球在房间，次移动的路径有： ； 小球在房间，次移动的路径有： ； 所以，小球从房间出发，经过偶数次移动后一定在房间之一， 且当小球经过次移动到达房间时，第次移动后必在房间之一， 小球从房间或经过次移动到达房间的概率均为； 小球从房间经过次移动到达房间的概率均为； ， 则，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，则， 所以. 故选：ABD. 【变式2-3】设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占55%，25%，20%，各厂的产品的次品率分别为2%，4%，5%．现从中任取一件，则取到的是次品的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合全概率公式，代入计算，即可求解. 【详解】设表示“取到一件次品”，表示“取到的产品由甲乙丙三厂生产的，其中”， 则， 且, 由全概率公式，可得 , 即取到的是次品的概率是. 故答案为：. 【变式2-4】某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装2袋，第一袋装有6名男生和4名女生的报表，第二袋装有7名男生和5名女生的报名.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生报表各1份的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定选择每一袋的概率，再分别计算从每一袋中抽到一男一女报表的概率，最后根据全概率公式计算恰好抽到男生和女生报表各份的概率. 【详解】因为是随机选择一袋，所以选择第一袋和第二袋的概率均为. 第一袋中有名男生和名女生的报表，从10份报表中随机抽取份的组合数. 从名男生中选名，从名女生中选名的组合数为. 所以从第一袋中抽到一男一女报表的概率为. 第二袋中有名男生和名女生的报表，从12份报表中随机抽取份的组合数为. 从名男生中选名，从名女生中选名的组合数为. 所以从第二袋中抽到一男一女报表的概率为. 设事件表示“恰好抽到男生和女生报表各份”，事件表示“选择第一袋”，事件表示“选择第二袋”. 根据全概率公式，其中，，，可得： 恰好抽到男生和女生报表各份的概率为. 故选：D. 【考点题型三】贝叶斯公式 技巧：贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 【例3】某农科所正在试验培育甲、乙两个品种的杂交水稻，水稻成熟后对每一株的米粒称重，重量达到规定的标准后，则该株水稻达标.在水稻收获后，通过科研人员的统计，甲品种的杂交水稻有不达标，乙品种的杂交水稻有不达标. (1)若假设甲、乙两个品种的杂交水稻株数相等，一科研人员随机选取了一株水稻，称重后发现不达标，求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是多少； (2)科研人员选取了8株水稻，其中甲品种5株，乙品种3株，再从中随机选取3株进行分析研究，这3株中来自乙品种水稻的有株，求的数学期望. 【答案】(1)株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是，； (2). 【分析】（1）设事件A为“该株水稻来自甲品种”，事件B为“该株水稻不达标”，应用全概率公式求，再应用贝叶斯公式求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率； （2）根据已知分析随机变量的可能取值，并求出对应概率值，进而求期望即可. 【详解】（1）从甲、乙两个品种的杂交水稻中任取一株， 设事件A为“该株水稻来自甲品种”，事件B为“该株水稻不达标”， 则，，，， ∴， ，， 该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是，. （2）依题意的所有可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，， ∴的数学期望. 【变式3-1】有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，，由条件概率公式，即可求解；对于B，利用事件，事件相互对立和条件概率公式，即可求解；对于C，根据条件，利用全概论公式，即可求解；对于D，利用选项C中结果，再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为事件，事件相互对立，所以，所以选项B不正确； 对于选项C， 由全概率公式知， 所以选项C不正确； 对于选项D，由选项C知 则，所以选项D正确， 故选：AD． 【变式3-2】下列命题中正确的是（   ） A．已知随机变量，则 B． C．已知一组数据：7、7、8、9、5、6、8、8，则这组数据的第30百分位数是8 D．相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】AB 【分析】二项分布的方差计算方法可得A，再根据条件概率与贝叶斯公式可得B，有限个数的百分位数计算公式可求的30百分位数，根据相关系数的定义可得D选项. 【详解】因为，所以，则，A正确， 因为且，由贝叶斯公式可得，B正确， 将该组数据从小到大排列为：5，6，7，7，8，8，8，9，又因为，所以第30百分位数是7，C错误， 由相关系数的定义可知，越大，成对样本数据的线性相关程度越强，而不是越大，成对样本数据的线性相关程度越强，D错误. 故选: 【变式3-3】有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的，事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品，利用贝叶斯公式可求得的值. 【详解】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的， 事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品， 则，，， ，，， 由贝叶斯公式可得. 因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为. 故选：C. 【变式3-4】“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用全概率公式计算即可； （2）应用贝叶斯公式计算即可. 【详解】（1）设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； （2）设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 【考点题型四】离散型随机变量的分布列 技巧：规律方法　求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列． 【例4】下列说法正确的是（    ） A．有一组数、、、，这组数的第百分位数是 B．在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 C．随机变量，若，，则 D．以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， 【答案】BD 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用独立性检验可判断B选项；利用二项分布的期望和方差公式可判断C选项；利用回归分析可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，所以，这组数据的第百分位数是，A错； 对于B选项，在的独立性检验中，若不小于对应的临界值， 可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过，B对； 对于C选项，随机变量，若，， 解得，，C错； 对于D选项，以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为， 即，可得，故，，D对. 故选：BD. 【变式4-1】盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求： (1)； (2)X的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用超几何分布求概率，再写分布列即可. 【详解】（1）; （2）因为两张卡片中取到偶数的个数的可能取值有， 所以，，， 即的分布列为： 【变式4-2】为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”4个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏（不同的经典故事不能搭配同一本名著）.规定：每答对1个经典故事的出处，可获得10分. (1)小王同学的答题情况如图所示， ①求小王同学的得分； ②老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率 (2)小李同学将这4个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他的得分为X，求X的分布列与期望. 【答案】(1)①10分；②. (2)分布列见解析，10 【分析】（1）①由图易得小王同学的得分；②针对错误试题进行分析后，列出所有可能的2种情况，故可得小王全部答对的概率； （2）由题意，的所有取值可能为0，10，20，40，分别求出对应的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）①由图可知，小王同学答对1道试题，故他的得分为10分. ②经过老师的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”对应的出处错误，针对错误试题进行分析后，给出的答案可能为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，{（草船借箭，水浒传），（黛玉葬花，三国演义），（武松打虎，红楼梦）}，共2种情况， 其中错误试题全部答对的情况为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，故所求的概率为. （2）由题可知，的所有取值可能为0，10，20，40. ，，，\\ . X的分布列为： X 0 10 20 40 P 故. 【变式4-3】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量， 则等于 （  ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】. 故选：A. 【变式4-4】某校心理活动中心计划在周四和周五两天各举行一次活动，分别由张老师和王老师两人负责活动通知．已知该中心共有n位学生成员，每次活动均需该中心的k位学生成员参加．假设张老师和王老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该中心k位学生成员，且所发信息都能收到． (1)当，时，求该中心学生成员小明同学收到张老师或王老师两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的学生成员人数为X ①设，，求随机变量X的分布列和数学期望； ②设，求使取得最大值的整数m． 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②（为不超过的最大整数） 【分析】（1）先设出“小明收到张老师所发活动通知信息”事件和“小明收到王老师所发活动通知信息”事件，再根据独立事件性质，计算概率即可； （2）①先得到X的可能取值为2，3，4，再根据组合公式计算对应概率，最后运用期望公式计算即可； ②先求出当时的概率，当时，整数m满足，其中t是和7中的较小者，由张老师和王老师各自独立、随机地发送活动信息给k位学生成员，得所包含的基本事件总数为，进而得到当时，同时收到张老师和王老师两人所发信息的学生人数为，仅收到张老师或王老师转发信息的学生人数为，最后由分步乘法原理和古典概率公式计算得到，当时求出取得最大值时，m满足，最后证明即可. 【详解】（1）设事件A：“小明收到张老师所发活动通知信息”，事件B：“小明收到王老师所发活动通知信息”， 由题意A和B是相互独立的事件，则与相互独立， 而  所以， 因此，小明同学收到张老师或王老师两人所发活动通知信息的概率为． （2）①X的可能取值为2，3，4， ，，， 所以X的分布列为： X 2 3 4 P 数学期望． ②当时，m只能取7，此时有； 当时，整数m满足，其中t是和7中的较小者， 由张老师和王老师各自独立、随机地发送活动信息给k位学生成员，得所包含的基本事件总数为， 当时，同时收到张老师和王老师两人所发信息的学生人数为， 仅收到张老师或王老师转发信息的学生人数为， 由分步乘法原理知，事件所包含的基本事件数为，， 当时，， ， 因此取得最大值时，m满足， 假如成立， 则当能被9整除时，在和处达到最大； 当不能被9整除时，在处达到最大值． （表示不超过x的最大整数）， 下面证明： 由，得， ，则，显然， 因此． 综上，符合条件的表示不超过的最大整数）． 【考点题型五】两点分布 技巧：规律方法　两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． 【例5】已知随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【答案】D 【分析】利用两点分布概率公式计算可得结果. 【详解】因为随机变量服从两点分布，则. 故选：D. 【变式5-1】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品 (1)若从10件产品中任意抽取1件，求抽到一等品件数的分布列． (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回．设取到一等品的件数为，求的分布列及均值． (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回．设取到一等品的件数为X，求： ①X的分布列及均值； ②取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析， (3)①分布列见解析，；② 【分析】（1）由题意可知服从两点分布，由此可求出的分布列； （2）由题意可得，由二项分布的概率公式求出的分布列及均值； （3）①由题可知X服从超几何分布，求出X的可能取值及其对应的概率，即可求出X的分布列，再由均值公式求出. ②先求出3件产品中一等品件数多于二等品件数情况，再把对应的概率求出即可得出答案. 【详解】（1）抽取一次，只有抽到一等品和抽不到一等品两种情况， 故的取值只有0和1两种情况，服从两点分布． ，则． 因此的分布列为 0 1 P （2）若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为， 3次抽取可以看成3重伯努利试验，因此， 所以， ， ， ． 因此的分布列为 0 1 2 3 P ． （3）①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取3件， 因此一等品件数X服从超几何分布，所以从10件产品中任取3件， 其中恰有m件一等品的概率为，． 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P ． ②设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A， “恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件，“恰好取出2件一等品”为事件， “恰好取出3件一等品”为事件．由于事件，，彼此互斥，且， 又，，， 所以． 即取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为． 【变式5-2】设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点分布，结合已知条件求出，，再根据方差公式求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以， 又，所以解得，， 所以，， 故选：A 【变式5-3】掷一颗骰子，观察掷得的点数. (1)求点数X的分布； (2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据掷得每个点数为等可能事件写分布列即可； （2）根据古典概型求概率公式求概率，然后写分布列即可. 【详解】（1）因为掷得每个点数为等可能事件，所以点数X的分布为． （2）因为，而，所以Y的分布为． 【变式5-4】若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果. 【详解】随机变量服从两点分布，其中，， ， ， 在A中，，故A正确； 在B中，，故B正确； 在C中，，故C错误； 在D中，，故D正确. 故选：C. 【考点题型六】正态分布 技巧：规律方法　利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1， 故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ] 内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【例6】某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，可得出的值； （2）（i）由题意可得出，，则，可得出，即可得解； （ii）分析可知，，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】（1）由频率分布直方图可得. （2）（i）由题意可得，，则， 所以，； （ii）由题意可知，，故. 【变式6-1】随机变量．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解. 【详解】因为且， 所以， 根据正态分布曲线的对称性，可得， 所以. 故选：D 【变式6-2】某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 【答案】C 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于2的概率为，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故B正确； 对于C，因为正态分布密度曲线的性质，该物理量测量结果落在的概率大于落在的概率， 所以一次测量结果落在的概率大于落在的概率，故C错误； 对于D，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故D正确； 故选：C. 【变式6-3】已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则 . 【答案】/0.25 【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】设，由正态分布密度曲线的对称性可知， ，.所以， 解得.即. 故答案为：. 【变式6-4】某市高三年级学生联考，学生的数学成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．该市高三年级学生的数学成绩的方差是5 B．从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小 C． D．从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于110的概率为 【答案】BD 【分析】根据正态分布的性质判断ABC；结合相互独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意可知，该市高三年级学生的数学成绩的均值为110，方差是25，故A错误； ， 由正态分布的性质可知B正确； ，故C错误； 学生成绩低于110的概率为，每一名学生的成绩相互独立， 所以3名学生的数学成绩，至少有1个成绩低于110的概率为，故D正确. 故选：BD. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$