清单01 导数及其应用（考点清单，知识导图+17个考点清单+题型解读）（期末复习知识清单）高二数学下学期湘教版

清单01 导数及其应用 （17个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平均变化率问题 1、变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即． （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【清单02】导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 【清单03】求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：；②求平均变化率：； ③求极限，得导数：．也可称为三步法求导数． 【清单04】导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，．换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 2、导数的几何意义——曲线的切线 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． （1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）切线斜率的本质———函数在处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直． ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减． 【清单05】曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标；②求出函数在点处的导数③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【清单06】导数的概念 导函数定义：由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或，即： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系． （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． （2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数． （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值． 【清单07】导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量．（2）求平均变化率．（3）取极限，得导数． 【清单08】导数的定义的几种形式： 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 【清单09】基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3）， （4），（5），（6）， （7），（8），， 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即．4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，．6、对数函数的导数：，． 有时也把记作：以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 【清单10】函数的和、差、积、商的导数 运算法则：（1）和差的导数： （2）积的导数：（3）商的导数：（） 1、上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：，推广：． （ⅱ）积的导数：，特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：，两函数商的求导法则的特例， 当时，．这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 知识10．复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 【清单11】函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增；②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间；在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 【清单12】利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导，（1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减；（3）如果恒有，则函数在内为常数函数． （1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 【清单13】利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 【清单14】讨论单调区间问题 1：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 2：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【清单15】函数的极值 （一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 【清单16】函数的最值 （一）函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．②函数的极值可以有多个，但最值只有一个． （二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． （三）最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 【清单17】函数极值与最值的简单应用 1、不等式恒成立，求参数范围问题． 一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 2、证不等式问题． 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题． 3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题） 一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题， 我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题． 【考点题型一】平均变化率问题 技巧:求平均变化率的主要步骤 （1）先计算函数值的改变量． （2）再计算自变量的改变量． （3）得平均变化率． 【例1】降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式1-3】为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ） A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同； C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 【考点题型二】求切线方程与切点坐标 技巧：1、求切点坐标的一般步骤 （1）设出切点坐标． （2）利用导数或斜率公式求出斜率． （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 2、求曲线在某点处的切线方程的步骤 【例2】曲线的一条切线的斜率为，则切点坐标为________. 【变式2-1】已知f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【变式2-2】曲线在点处的切线方程为______． 【变式2-3】，在处切线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】设是曲线上一点，求曲线在点P处切线的斜率. 【变式2-5】求抛物线f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程. 【变式2-6】求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程. 【考点题型三】求复合函数的导数 技巧：（1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 【例3】求下列函数的导数． （1）（为常数）； （2）. 【变式3-1】求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3-2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3-3】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式3-4】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型四】利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 技巧：（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【例4】过点作曲线（）的切线，则切点坐标为________． 【变式4-1】已知二次函数，其图象过点，且. (1)求、的值； (2)设函数，求曲线在处的切线方程. 【变式4-2】已知函数. (1)求导函数； (2)当时，求函数的图像在点处的切线方程. 【变式4-3】已知函数. (1)求的导函数； (2)设是的零点，求曲线在点处的切线方程. 【变式4-4】计算： (1)求函数（a，b为正常数）的导数． (2)已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围 【变式4-5】（1）P是曲线上的一个动点，求点P到直线距离的最小值； （2）已知函数，求函数过点的切线方程. 【变式4-6】已知曲线. （1）求曲线S在点处的切线方程； （2）求过点并与曲线S相切的直线方程. 【变式4-7】已知函数f(x)＝x3． （1）求曲线f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程； （2）求经过点A(1，f（1）)的曲线f(x)的切线方程． 【变式4-8】求曲线过点的切线方程． 【变式4-9】已知函数． (1)求这个函数的图象在处的切线方程； (2)若过点的直线l与这个函数图象相切，求l的方程． 【变式4-10】求过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程． 【考点题型五】利用导数求函数的单调区间 技巧：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 【例5】若函数，则的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】函数的递增区间是（    ） A． B．和 C． D． 【变式5-3】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】函数的单调递减区间为（      ） A．（0，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，+∞） 【考点题型六】已知单调性求参数的取值范围 技巧：（1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． ②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意． （2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养． 【例6】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0） 【变式6-3】已知函数的单调递减区间是，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式6-4】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-6】若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-7】若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．(1，2] D．[1，2) 【变式6-8】函数是上的单调函数，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】判断、证明函数的单调性 技巧： 判断、证明函数的单调性的步骤： 1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论． 【例7】已知，且 (1)求实数的值； (2)判断此函数的奇偶性并证明； (3)判断此函数在的单调性（无需证明）. 【变式7-1】用导数证明： (1)在区间上是增函数； (2)在区间上是减函数． 【变式7-2】证明： (1)函数在定义域上是减函数； (2)函数在区间上是增函数． 【变式7-3】证明函数是R上的增函数． 【变式7-4】证明函数在区间上单调递减． 【考点题型八】含参数单调性讨论 技巧：（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【例8】已知函数，其中.讨论函数的单调性； 【变式8-1】已知函数 ，（为自然对数的底数，）． 求函数的单调区间； 【变式8-2】已知函数. (1)当时，求曲线在点的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式8-3】已知函数，函数的导函数为． 讨论函数的单调性； 【变式8-4】设函数． 讨论的单调性； 【考点题型九】利用导数研究函数的极值与最值问题 技巧：（1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． （2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负． （3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值． 【例9】已知函数． (1)若，求函数在区间上的值域； (2)求函数的极值． 【变式9-1】已知函数其中是自然对数的底数，为正数 (1)若在处取得极值，且是的一个零点，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数在区间上是减函数，求的取值范围． 【变式9-2】已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)讨论的极值点的个数. 【变式9-3】已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值． 【考点题型十】导数在解决实际问题中的应用 技巧;解决最优问题应从以下几个方面入手 （1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域． （2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 【例10】金秋十月，柚果飘香，又到一年马家柚成熟时节，小王大学毕业后决定结合实际情况合理安排采摘时间，确保马家柚品质，利用所学专业加工马家柚产品，经过市场调研，加工马家柚产品需投入年固定成本2万元，每加工x万斤，需另投入流动成本万元．已知在年产量不足4万斤时，；在年产量不小于4万斤时，；每斤产品售价6元．通过市场分析，小王加工的产品当年能全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式．（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本．） (2)年加工产量为多少万斤时，小王在加工中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式10-1】已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元． (1)求比例系数； (2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ (3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ 【变式10-2】第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【变式10-3】如图，工厂A到铁路专用线的距离km，在铁路专用线上距离B 100km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路（向着A），为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址？（已知每千米的运费铁路是公路的60%） 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 导数及其应用 （17个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平均变化率问题 1、变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即． （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【清单02】导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 【清单03】求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：；②求平均变化率：； ③求极限，得导数：．也可称为三步法求导数． 【清单04】导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，．换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 2、导数的几何意义——曲线的切线 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． （1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）切线斜率的本质———函数在处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直． ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减． 【清单05】曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标；②求出函数在点处的导数③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【清单06】导数的概念 导函数定义：由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或，即： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系． （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． （2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数． （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值． 【清单07】导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量．（2）求平均变化率．（3）取极限，得导数． 【清单08】导数的定义的几种形式： 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 【清单09】基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3）， （4），（5），（6）， （7），（8），， 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即．4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，．6、对数函数的导数：，． 有时也把记作：以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 【清单10】函数的和、差、积、商的导数 运算法则：（1）和差的导数： （2）积的导数：（3）商的导数：（） 1、上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：，推广：． （ⅱ）积的导数：，特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：，两函数商的求导法则的特例， 当时，．这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 知识10．复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 【清单11】函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增；②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间；在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 【清单12】利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导，（1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减；（3）如果恒有，则函数在内为常数函数． （1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 【清单13】利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 【清单14】讨论单调区间问题 1：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 2：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【清单15】函数的极值 （一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 【清单16】函数的最值 （一）函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．②函数的极值可以有多个，但最值只有一个． （二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． （三）最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 【清单17】函数极值与最值的简单应用 1、不等式恒成立，求参数范围问题． 一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 2、证不等式问题． 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题． 3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题） 一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题， 我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题． 【考点题型一】平均变化率问题 技巧:求平均变化率的主要步骤 （1）先计算函数值的改变量． （2）再计算自变量的改变量． （3）得平均变化率． 【例1】降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图分别令、、、、所对应的点为、、、、， 由图可知，所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； 故选：C 【变式1-1】函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由题，函数在区间上的平均变化率为 故选：D 【变式1-2】若函数，当时，平均变化率为2，则m等于（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解析】由题得，所以 故选：D. 【变式1-3】为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ） A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同； C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 【答案】D 【解析】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确. B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同， B选项结论正确. C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同， C选项结论正确. D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于 在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率 D选项结论错误. 故选：D 【考点题型二】求切线方程与切点坐标 技巧：1、求切点坐标的一般步骤 （1）设出切点坐标． （2）利用导数或斜率公式求出斜率． （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 2、求曲线在某点处的切线方程的步骤 【例2】曲线的一条切线的斜率为，则切点坐标为________. 【答案】 【解析】设切点坐标为， ， 解得，.切点为. 故答案为：. 【变式2-1】已知f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】设切点，则切线方程为 联立，化简得 ，又， 化简得， 故 故选：D 【变式2-2】曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】因为， 当时，， 所以，即切线的斜率， 所以切线方程为，即． 故答案为： 【变式2-3】，在处切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，，令， ∴＝，解， ∴在处切线方程为，即． 故选：B． 【变式2-4】设是曲线上一点，求曲线在点P处切线的斜率. 【解析】， ， 当无限趋近于0时，无限趋近于 所以曲线在点P处切线的斜率. 【变式2-5】求抛物线f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程. 【解析】因为 所以k＝(3Δx＋8)＝8， 则切线方程y－3＝8(x－2)， 即8x－y－13＝0. 【变式2-6】求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程. 【解析】因为＝3＋Δx 所以切线的斜率k＝＝ (3＋Δx)＝3. 则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0. 【考点题型三】求复合函数的导数 技巧：（1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 【例3】求下列函数的导数． （1）（为常数）； （2）. 【解析】（1）由可得； （2）由可得 【变式3-1】求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 【变式3-2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【解析】（1）函数可以看作函数和的复合函数， ∴． （2）函数可以看作函数和的复合函数， ∴ . （3）函数可以看作函数和的复合函数， ∴． （4）函数可以看作函数和的复合函数， ∴． （5）函数可以看作函数和的复合函数， ∴ ． （6）函数可以看作函数和的复合函数， ∴． 【变式3-3】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1），. （2）， ，. （3）， . （4）， . （5）， ． 【变式3-4】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用复合函数求导法则求导. （1）设，，则． （2）设，，， 则． （3）设，，， 则． （4）设，，则 【考点题型四】利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 技巧：（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【例4】过点作曲线（）的切线，则切点坐标为________． 【答案】 【解析】由（），则，化简得， 则，设切点为，显然不在曲线上， 则，得，则切点坐标为. 故答案为：. 【变式4-1】已知二次函数，其图象过点，且. (1)求、的值； (2)设函数，求曲线在处的切线方程. 【解析】（1）因为，则， 所以，，解得. （2）因为的定义域为，且， 所以，，，故切点坐标为， 所以，函数在处的切线方程为. 【变式4-2】已知函数. (1)求导函数； (2)当时，求函数的图像在点处的切线方程. 【解析】(1)由题意，函数， 可得. (2)当时，可得， 由（1）得，所以， 所以函数的图像在点处的切线方程，即. 【变式4-3】已知函数. (1)求的导函数； (2)设是的零点，求曲线在点处的切线方程. 【解析】(1)由， 得 (2)函数的定义域为， 由，得，，即， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即 【变式4-4】计算： (1)求函数（a，b为正常数）的导数． (2)已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围 【解析】（1）由题意得：； （2）, 由于，故，当且仅当时取等号， 故，则P处的切线的斜率 ， 由为曲线在点P处的切线的倾斜角可得 ， 由于 ，故的取值范围为：. 【变式4-5】（1）P是曲线上的一个动点，求点P到直线距离的最小值； （2）已知函数，求函数过点的切线方程. 【解析】（1）当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q(即为点P)到直线的距离最小， 由，而，解得，此时，即切点， 则切点Q到直线的距离为， 所以点P到直线距离的最小值为4. （2）设过点的曲线的切线对应切点为，求导得：，有， 切线方程为，而切线过点，则有，解得或， 当时，切线方程为，当时，切线方程， 所以所求切线方程为或. 【变式4-6】已知曲线. （1）求曲线S在点处的切线方程； （2）求过点并与曲线S相切的直线方程. 【解析】（1）∵，则， ∴当时，， ∴点处的切线方程为：，即. （2）设切点坐标为，则直线斜率，而，整理得： ∴，则，即有，解得， 当时：，直线方程为； 当时，，直线方程为； 当时，，直线方程为. 【变式4-7】已知函数f(x)＝x3． （1）求曲线f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程； （2）求经过点A(1，f（1）)的曲线f(x)的切线方程． 【解析】(1)由，得， 故切线斜率， 又因，所以切线方程为，即. (2)当为切点时，由(1)知，切线方程为； 当不为切点时，设切点，则切线斜率， 故切线方程为， 又因切线过点，所以，解得(舍)或， 因此切线方程为. 综上，过点的切线方程为或. 【变式4-8】求曲线过点的切线方程． 【解析】设切点为， 切线的斜率为， 切线的方程为， 点在切线上，， 解得或， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为. 综上，曲线过点的切线方程是：或. 【变式4-9】已知函数． (1)求这个函数的图象在处的切线方程； (2)若过点的直线l与这个函数图象相切，求l的方程． 【解析】（1）令，则， 函数的定义域为，， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为； （2）设切点为， 由(1)知，， 又直线l的斜率为， 有，解得， 所以， 所以直线l的方程为. 【变式4-10】求过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程． 【解析】∵， ∴曲线在点处的切线的斜率为， 过点且与切线平行的直线方程为，即． 【考点题型五】利用导数求函数的单调区间 技巧：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 【例5】若函数，则的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 令，解得， 所以的单调递增区间是， 故选：B 【变式5-1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为． 故选：B． 【变式5-2】函数的递增区间是（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【解析】由题设，且，可得， 所以递增区间为. 故选：C 【变式5-3】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 令，得，所以函数的单调递减区间是， 故选：A. 【变式5-4】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，该函数的定义域为，， 由，可得，解得， 因此，函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式5-5】函数的单调递减区间为（      ） A．（0，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，+∞） 【答案】B 【解析】的定义域为, , 令，解得：. 所以函数的单调递减区间为（2，3）. 故选：B. 【考点题型六】已知单调性求参数的取值范围 技巧：（1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． ②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意． （2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养． 【例6】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ． 故选:B． 【变式6-1】若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立. 令，则，所以在上单调递增，则，所以. 故选:B. 【变式6-2】若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0） 【答案】B 【解析】，由题意得：， 即在上恒成立， 因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是. 故选：B 【变式6-3】已知函数的单调递减区间是，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】函数，则导数 令，即， ∵，的单调递减区间是， ∴0，4是方程的两根， ∴，， ∴ 故选：B. 【变式6-4】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得：. 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解. 设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以. 所以. 故选：D 【变式6-5】已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在区间上不是单调函数， 所以在区间上有解，即在区间上有解． 令，则． 当时，；当时，． 故在上单调递减，在上单调递增．又因为， 且当时， 所以在区间上单调递增，所以，解得. 故选：A 【变式6-6】若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，，由存在递减区间，即存在使， ∴，可得或. 故选：B 【变式6-7】若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．(1，2] D．[1，2) 【答案】A 【解析】显然函数的定义域为，． 由，得函数的单调递增区间为； 由，得函数单调递减区间为． 因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得，又因为为定义域内的一个子区间，所以，即． 综上可知实数k的取值范围是． 故选：A 【变式6-8】函数是上的单调函数，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立 ，解得 故选：D 【考点题型七】判断、证明函数的单调性 技巧： 判断、证明函数的单调性的步骤： 1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论． 【例7】已知，且 (1)求实数的值； (2)判断此函数的奇偶性并证明； (3)判断此函数在的单调性（无需证明）. 【解析】（1）由，解得 （2）为奇函数. 证明：由（1）得，则，为奇函数 （3）∵，∴在上单调递增 【变式7-1】用导数证明： (1)在区间上是增函数； (2)在区间上是减函数． 【解析】(1)∵在R上恒成立，故在区间上是增函数； (2)在上恒成立，∴在区间上是减函数． 【变式7-2】证明： (1)函数在定义域上是减函数； (2)函数在区间上是增函数． 【解析】(1)证明：函数的定义域为，则对任意的恒成立， 故函数在定义域上是减函数. (2)证明：对任意的，， 故函数在区间上是增函数. 【变式7-3】证明函数是R上的增函数． 【解析】，因为，所以，则恒成立，所以函数是R上的增函数 【变式7-4】证明函数在区间上单调递减． 【解析】因为，所以， 当时，， 所以函数在区间上单调递减． 【考点题型八】含参数单调性讨论 技巧：（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【例8】已知函数，其中.讨论函数的单调性； 【解析】, 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，，解得， 当，当，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，时，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【变式8-1】已知函数 ，（为自然对数的底数，）． 求函数的单调区间； 【解析】 函数 的定义域为 ， ， ①当时，对任意的 ， ， 此时函数的减区间为，无增区间； ②当时，由 可得，由 可得， 此时函数的单调递增区间为，递减区间为； 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的单调递增区间为，递减区间为； 【变式8-2】已知函数. (1)当时，求曲线在点的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）由，则，， ，，切线方程：， 则. （2）由， 求导得， ①当时，， ，解得，，解得， 则：单减区间：，单增区间：； ②当时，令，解得或（舍去） 当时，，当时，， 则：单减区间：，单增区间：； ③当时，令，解得或， 当时，，当时，， 则：单减区间：和，单增区间：； ④当时，，则：单减区间：； ⑤当时，令，解得或， 当时，，当时，， 则：单减区间：和，单增区间：； 综上，当时，单减区间：，单增区间： 当时，单减区间：和，单增区间： 当时，单减区间： 当时，单减区间：和，单增区间：. 【变式8-3】已知函数，函数的导函数为． 讨论函数的单调性； 【解析】由得，函数的定义域为， 且，令，即， ①当，即时，恒成立，在单调递增； ②当，即时，令， 当时，，的解或， 故在上单调递增，在上单调递减； 当时，，同理在上单调递减，在上单调递增． 【变式8-4】设函数． 讨论的单调性； 【解析】由题， ①当时，，令则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减； ②当时，令则，： 当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减； 当，即时，，单调递增； 当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减 【考点题型九】利用导数研究函数的极值与最值问题 技巧：（1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． （2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负． （3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值． 【例9】已知函数． (1)若，求函数在区间上的值域； (2)求函数的极值． 【解析】（1）当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以，即函数在区间上的值域. （2）因为，，则， 当时，所以在定义域上单调递增，不存在极值； 当时令，解得或，又， 所以当或时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，， 在处取得极小值，， 当时令，解得或，又， 所以当或时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，， 在处取得极小值，， 综上可得：当时无极值， 当时，，， 当时，，． 【变式9-1】已知函数其中是自然对数的底数，为正数 (1)若在处取得极值，且是的一个零点，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数在区间上是减函数，求的取值范围． 【解析】（1）由可得， 由已知在处取得极值，所以,即，， 又, 即，. （2）， ，， 当时，时，单调递减，当时，单调递增; 当时，时，单调递减； 故函数在区间上的最大值为：或. 又， 当，即时，函数的最大值为； 当，即时，函数的最大值为. （3）， 在上是减函数， 在上恒成立，即在上恒成立， 在上恒成立，又，当且仅当时等号成立. . 【变式9-2】已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)讨论的极值点的个数. 【解析】（1）当时，， ，故在上单调递增， ，. （2）, ①当时,恒成立,此时在上单调递增，不存在极值点. ②当时,令,即，解得:或， 令,即，解得 故此时在递增,在递减,在递增, 所以在时取得极大值，在时取得极小值，故此时极值点个数为2， 综上所述:时,无极值点， 时,有2个极值点. 【变式9-3】已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值． 【解析】（1）若，有，定义域为 则， 得；得或 所以，的减区间是，增区间是，； （2）∵， 即： ∴ ∴ ∴ ∴当或时，；当时， ∴在，上递增，在上递减 ∴的极大值为，的极小值为. 又∵当 时， ，当时， ，． 【考点题型十】导数在解决实际问题中的应用 技巧;解决最优问题应从以下几个方面入手 （1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域． （2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 【例10】金秋十月，柚果飘香，又到一年马家柚成熟时节，小王大学毕业后决定结合实际情况合理安排采摘时间，确保马家柚品质，利用所学专业加工马家柚产品，经过市场调研，加工马家柚产品需投入年固定成本2万元，每加工x万斤，需另投入流动成本万元．已知在年产量不足4万斤时，；在年产量不小于4万斤时，；每斤产品售价6元．通过市场分析，小王加工的产品当年能全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式．（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本．） (2)年加工产量为多少万斤时，小王在加工中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【解析】（1）由题意，当时，； 当时，. 所以. （2）当时，，令，解得. 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，故. 当时，，当且仅当，即时取等号. 综上，当年产量为8万斤时，所获年利润最大，为9万元. 【变式10-1】已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元． (1)求比例系数； (2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ (3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ 【解析】(1)设每小时的燃料费为，则， 当，每小时的燃料费为720元， 代入得． (2)由（1）得． 设全程燃料费为y，则， 所以， 令，解得（舍去）或， 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 所以当时，y取得最小值， 故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为． (3)由（2）得当时，则y在区间上单调递减， 所以当时，y取得最小值； 若时，则y在区间内单调递减，在区间上单调递增， 则当时，y取得最小值． 综上，当时，船的实际前进速度为，全程燃料费最省； 当时，船的实际前进速度应为，全程燃料费最省． 【变式10-2】第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【解析】(1)由，得， 所以 . (2)由（1）知，， 令，得，所以. 当时，，则在区间内为减函数； 当时，，则在区间内为增函数. 所以在处取得最小值，此时. 故需新建9个桥墩才能使y最小. 【变式10-3】如图，工厂A到铁路专用线的距离km，在铁路专用线上距离B 100km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路（向着A），为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址？（已知每千米的运费铁路是公路的60%） 【解析】设，，设公路每千米的运费为，则铁路每千米的运费为，则配件厂到工厂A所需的总运费为 令，即，得，解得（不合题意，舍去） 当时，；当时，，即当时，函数取最小值. 故处选在距点处km时运费最省. 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$