清单01 导数及其应用（考点清单，知识导图+17个考点清单+题型解读）高二数学下学期湘教版

清单01 导数及其应用 （17个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平均变化率问题 1、变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即． （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【清单02】导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 【清单03】求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：；②求平均变化率：； ③求极限，得导数：．也可称为三步法求导数． 【清单04】导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，．换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 2、导数的几何意义——曲线的切线 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． （1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）切线斜率的本质———函数在处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直． ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减． 【清单05】曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标；②求出函数在点处的导数③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【清单06】导数的概念 导函数定义：由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或，即： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系． （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． （2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数． （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值． 【清单07】导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量．（2）求平均变化率．（3）取极限，得导数． 【清单08】导数的定义的几种形式： 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 【清单09】基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3）， （4），（5），（6）， （7），（8），， 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即．4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，．6、对数函数的导数：，． 有时也把记作：以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 【清单10】函数的和、差、积、商的导数 运算法则：（1）和差的导数： （2）积的导数：（3）商的导数：（） 1、上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：，推广：． （ⅱ）积的导数：，特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：，两函数商的求导法则的特例， 当时，．这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 知识10．复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 【清单11】函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增；②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间；在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 【清单12】利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导，（1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减；（3）如果恒有，则函数在内为常数函数． （1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 【清单13】利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 【清单14】讨论单调区间问题 1：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 2：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【清单15】函数的极值 （一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 【清单16】函数的最值 （一）函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．②函数的极值可以有多个，但最值只有一个． （二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． （三）最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 【清单17】函数极值与最值的简单应用 1、不等式恒成立，求参数范围问题． 一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 2、证不等式问题． 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题． 3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题） 一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题， 我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题． 【考点题型一】平均变化率问题 技巧：求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出 和②作商：对所求得的差作商，即． （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【例1】函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】函数从到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-3】函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式1-4】函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】利用定义求导函数 技巧：①求函数的增量：；②求平均变化率：； ③求极限，得导数：．也可称为三步法求导数． 【例2】已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2025 【变式2-1】设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式2-2】设f(x)是可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式2-3】已知函数在处的导数，函数的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式2-4】若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】求复合函数的导数 技巧：（1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 【例3】已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 【变式3-1】已知函数满足，，则函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列求导数计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】设函数，若曲线在点处的切线斜率为1，则（   ） A．0 B． C．1 D．－1 【考点题型四】利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 技巧：（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标；②求出函数在点处的导数③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【例4】若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知 ，若 存在两条过的切线，则 的取值范围为（    ） A．B． C． D． 【变式4-2】过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式4-3】已知函数，若方程恰有四个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】利用导数求函数的单调区间 技巧：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 【例5】已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．函数的极小值是 C．函数的图像有条切线方程为 D．点是曲线的对称中心 【变式5-1】已知函数，且. (1)求单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【变式5-2】已知函数在处的切线与直线垂直. (1)求a的值； (2)求的单调区间和极值. 【变式5-3】已知函数，其中． (1)当时，求的单调性； (2)当时，若对任意的实数恒成立，求证：． 【变式5-4】 已知函数 ，判断的单调性，并求出函数的极值 【考点题型六】已知单调性求参数的取值范围 技巧：，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 【例6】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知函数，以下结论正确的个数为（   ） ①当时，函数的图象的对称中心为； ②当时，函数在上为单调递减函数； ③若函数在上不单调，则； ④当时，在上的最大值为1． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】已知． (1)若，且在处取得极值，求，的值； (2)当时，若在上单调递增，求的取值范围． 【变式6-3】已知函数，， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【变式6-4】已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ． 【考点题型七】判断、证明函数的单调性 技巧：（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 【例7】三次函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．是的极大值点 B．当时， 方程有三个实根 C．当时， D．的图象关于点对称 【变式7-1】已知函数. (1)若，判断的单调性； (2)讨论的单调性； (3)当时，恒成立，求实数b的最小值. 【变式7-2】若函数在处有极值10，则（   ）． A． B．或15 C． D．15 【变式7-3】已知函数. (1)若，求在上的最大值； (2)讨论函数在定义域内的单调性. 【变式7-4】已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 【考点题型八】含参数单调性讨论 技巧：（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【例8】已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 【变式8-1】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式8-2】设函数，. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【变式8-3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若时 （Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围； （Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值. 【变式8-4】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【考点题型九】利用导数研究函数的极值与最值问题 技巧：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 【例9】函数在有零点，则实数的取值范围为 . 【变式9-1】已知圆锥的母线长为2，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知函数. (1)求函数在上的最值； (2)设在上有两个零点，求的取值范围. 【变式9-3】若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 【变式9-4】设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． + 0 - 0 + 极大值 极小值 + 0 - 0 + 极大值 极小值 【考点题型十】利用导数研究恒成立问题 技巧：一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 【例10】函数   则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在 是减函数 C．的最小值是 D．当时，恒成立 【变式10-1】已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求m的取值范围． 【变式10-2】函数 (且)在是增函数，实数的取值范围是 【变式10-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式10-4】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围. 又，即，所以 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 导数及其应用 （17个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平均变化率问题 1、变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即． （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【清单02】导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 【清单03】求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：；②求平均变化率：； ③求极限，得导数：．也可称为三步法求导数． 【清单04】导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，．换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 2、导数的几何意义——曲线的切线 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． （1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）切线斜率的本质———函数在处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直． ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减． 【清单05】曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标；②求出函数在点处的导数③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【清单06】导数的概念 导函数定义：由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或，即： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系． （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． （2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数． （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值． 【清单07】导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量．（2）求平均变化率．（3）取极限，得导数． 【清单08】导数的定义的几种形式： 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 【清单09】基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3）， （4），（5），（6）， （7），（8），， 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即．4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，．6、对数函数的导数：，． 有时也把记作：以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 【清单10】函数的和、差、积、商的导数 运算法则：（1）和差的导数： （2）积的导数：（3）商的导数：（） 1、上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：，推广：． （ⅱ）积的导数：，特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：，两函数商的求导法则的特例， 当时，．这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 知识10．复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 【清单11】函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增；②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间；在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 【清单12】利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导，（1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减；（3）如果恒有，则函数在内为常数函数． （1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 【清单13】利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 【清单14】讨论单调区间问题 1：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 2：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【清单15】函数的极值 （一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 【清单16】函数的最值 （一）函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．②函数的极值可以有多个，但最值只有一个． （二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． （三）最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 【清单17】函数极值与最值的简单应用 1、不等式恒成立，求参数范围问题． 一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 2、证不等式问题． 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题． 3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题） 一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题， 我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题． 【考点题型一】平均变化率问题 技巧：求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出 和②作商：对所求得的差作商，即． （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【例1】函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由平均变化率计算公式求解． 【详解】解：函数在区间上的平均变化率为 ． 故选：B. 【变式1-1】函数从到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义直接进行计算即可求解. 【详解】由题得所求平均变化率为. 故选：C. 【变式1-2】函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】分别求出函数的平均变化率和瞬时变化率，解方程可得结果. 【详解】易知平均变化率为， 可得，瞬时变化率为， 因此，解得. 故选：A 【变式1-3】函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的计算公式求解可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为， 在时的瞬时变化率为， 所以． 故选：C 【变式1-4】函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C 【考点题型二】利用定义求导函数 技巧：①求函数的增量：；②求平均变化率：； ③求极限，得导数：．也可称为三步法求导数． 【例2】已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2025 【答案】A 【分析】由导数的定义得. 【详解】因为， 所以由导数的定义可知， 故选：A． 【变式2-1】设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线斜率为， 根据导数概念，， 又， 所以. 故选：C. 【变式2-2】设f(x)是可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据导数的定义计算即可得解 【详解】由可得， 所以， 故选：A 【变式2-3】已知函数在处的导数，函数的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用导数的定义求导数值，由函数与x轴交点个数可得，结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为， 所以. 因为函数的图象与x轴恰有一个交点，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为2. 故选：A 【变式2-4】若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在某点处的导数的定义即可求解. 【详解】由题得. 故选：B. 【考点题型三】求复合函数的导数 技巧：（1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 【例3】已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】求导函数，令即可. 【详解】由可得， 故，得， 故选：A 【变式3-1】已知函数满足，，则函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的概念和运算法则，求导后代入即可. 【详解】， 在处的瞬时变化率为. 故选：C. 【变式3-2】下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算性质可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：C. 【变式3-3】下列求导数计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BC选项；利用复合函数的求导法则可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设，， 由复合函数的求导法可得，D错. 故选：D. 【变式3-4】设函数，若曲线在点处的切线斜率为1，则（   ） A．0 B． C．1 D．－1 【答案】A 【分析】求出函数的导数，利用导数值为1求出. 【详解】函数，求导得，函数在R上都递增， 则函数在R上递增，而，又， 所以. 故选：A 【考点题型四】利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 技巧：（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标；②求出函数在点处的导数③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【例4】若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 【变式4-1】已知 ，若 存在两条过的切线，则 的取值范围为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得导函数，设切点写出切线方程，则切线方程过点，得到带参数的关于的一元二次方程，因为存在两条切线，即方程有两个不等的实根，即，注意实根不能为，由此求得 的取值范围. 【详解】由题意可得，设切点为， 则切点处的斜率为，则切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，因为 存在两条过点的切线， 所以方程有两个不等的实根， 若，则，原方程有两个相等的实根，不符合题意； 故，解得或. 故选：A. 【变式4-2】过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 【变式4-3】已知函数，若方程恰有四个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，作出函数的图象，然后求得与相切时的值，然后分，以及讨论两函数图像交点个数，即可得到结果. 【详解】如图所示，作出函数的图象， 易知， 先求与相切时的值， 设切点为，则切线方程为， 将代入，化简得，易知函数单调递增，，所以， 所以当时，与有两个交点； 当时，与有一个交点， 当时，与没有交点. 易知两函数图象均关于对称，可联立 得，，则， 此时切点横坐标为， 当过点时，， 所以当时，与有两个交点； 当时，与没有交点； 当时，与有三个交点. 综上，若与有四个交点， 则， 故选：D. 【变式4-4】已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，令，分析可知直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】设切点为，因为，则， 切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得， 整理可得， 令，则， 由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，则， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【考点题型五】利用导数求函数的单调区间 技巧：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 【例5】已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．函数的极小值是 C．函数的图像有条切线方程为 D．点是曲线的对称中心 【答案】ABD 【分析】利用求导思想来求单调区间，确定极小值，求切线方程，利用中心对称恒等式来确定函数的对称中心. 【详解】由， 由得： 在区间上单调递减，故A正确； 由或得： 在区间上单调递增， 所以在时取到极小值，即，故B正确； 当， 则在处的切线方程是：， 在处的切线方程是：，故C错误； 由 ， 则关于点成中心对称，故D正确； 故选：ABD. 【变式5-1】已知函数，且. (1)求单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为和; (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）写出函数导数，由求得的值，然后令导数小于0，求得函数的单调区间； （2）由（1）知函数在的单调性，即可求出函数的最值. 【详解】（1），∴， ∴，即， 令，则， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为和， （2）由（1）可知函数在上单调递增，在上递减， ∴， ，， ∴函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式5-2】已知函数在处的切线与直线垂直. (1)求a的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1)1； (2)答案见解析. 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后结合垂直斜率关系计算求参； （2）应用导函数的正负得出函数的单调性进而得出函数的极值即可. 【详解】（1）由题意知， 所以，又函数在点处的切线与直线垂直， 所以，解得，即a的值为1. （2）由（1）知，，令，解得或， 所以当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为、，单调递减区间为， 又，，所以的极大值为，极小值为. 【变式5-3】已知函数，其中． (1)当时，求的单调性； (2)当时，若对任意的实数恒成立，求证：． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【详解】（1），令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上，在上单调递减，在上单调递增． （2），令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，函数取得极小值， 所以当，，即， 即，即， 设，则 由可得，故在上单减，上单增，故． 所以． 【变式5-4】 已知函数 ，判断的单调性，并求出函数的极值 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，求导可得，结合导数即可求得函数的单调区间以及极值. 【详解】由可得， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为， 综上所述，函数在和单调递增， 在上单调递减；极大值为，极小值为. 【考点题型六】已知单调性求参数的取值范围 技巧：，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 【例6】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 【变式6-1】已知函数，以下结论正确的个数为（   ） ①当时，函数的图象的对称中心为； ②当时，函数在上为单调递减函数； ③若函数在上不单调，则； ④当时，在上的最大值为1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①根据函数的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件，则极值点必在区间；④利用导数求函数在给定区间的最值． 【详解】①为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数的图象的对称中心为，正确． ②由题意知．因为当时，， 又，所以在上恒成立，所以函数在上为单调递减函数，正确． ③由题意知，当时，，此时在上为增函数，不合题意，故． 令，解得．因为在上不单调，所以在上有解， 需，解得，正确． ④令，得． 易知在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据函数的单调性， 在上的最大值只可能为或． 因为，所以最大值为64，结论错误． 故选：C 【变式6-2】已知． (1)若，且在处取得极值，求，的值； (2)当时，若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导根据和解方程即可求出，的值，注意检验，的值,函数是否在处取得极值即可得出结论； （2）原题等价于在时恒成立，利用二次函数性质计算即可得出结果. 【详解】（1）由，得，即，解得或. 求导，因是极值点，故，即，化简为. 当时，，解得, 此时，恒成立，无极值点，舍. 当时，，解得， 此时，，在处取得极值， 综上， （2）当时，，, 因在单调递增，故在恒成立. 开口向上，对称轴, 若（即），在最小值为，解得​； 若（即），在处取最小值，解得，与无交集. 综上，的取值范围是. 【变式6-3】已知函数，， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导分与的大小关系讨论即可； （2）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【详解】（1）， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （2）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 【变式6-4】已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解；    若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是    故答案为：． 【考点题型七】判断、证明函数的单调性 技巧：（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 【例7】三次函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．是的极大值点 B．当时， 方程有三个实根 C．当时， D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值点，即可判断A，画出函数图象，数形结合判断B，由单调性判断C，求出判断D. 【详解】对于A：函数的定义域为，又， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，且，，故A错误， 对于B：由A可知的图象如下所示： 由图可知当时，与有三个交点，即方程有三个实根，故B正确； 对于C：当时，，又在上单调递减，所以，故C正确； 对于D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD 【变式7-1】已知函数. (1)若，判断的单调性； (2)讨论的单调性； (3)当时，恒成立，求实数b的最小值. 【答案】(1)在单调递减 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，，，求导得到，记，，求导得到的单调性，得到，得到，最后得到的单调性. （2）求出导数，再按，，，分类求出函数的单调区间. （3）由（2）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】（1）当时，，，，， 记，，则，令，则， 所以在内单调递增，在内单调递减，. 所以，∴在单调递减. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得，得， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，由得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，，递减区间为. （3）由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时， 函数在上递增，在上递减， 即，因此，所以b最小值为. 【变式7-2】若函数在处有极值10，则（   ）． A． B．或15 C． D．15 【答案】D 【分析】求导，根据得到方程组，求出或，验证后得到不合要求，满足要求，求出答案 【详解】， 由题意得， 解得或， 当时，，， 故在R上单调递增，无极值，舍去， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在处取得极小值，满足要求，此时. 故选：D 【变式7-3】已知函数. (1)若，求在上的最大值； (2)讨论函数在定义域内的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，根据导数判断函数在给定区间上的单调性，进而求出最大值；（2）同样先求导，然后根据导数的正负性，结合参数的不同取值范围来讨论函数的单调性. 【详解】（1）已知，当时，，其定义域为. 对求导，可得：. 令，即，因为，解得或. 当时，，，则，单调递增； 当时，，，则，单调递减. 所以在处取得极大值，也是在上的最大值，. （2）函数的定义域为，对其求导得： . 令，即，因为，解得或. 当时： 在区间上，，，则，单调递减； 在区间上，，，则，单调递增. 当时： 在区间上，，，则，单调递增； 在区间上，，，则，单调递减； 在区间上，，，则，单调递增. 当时： （当且仅当时取等号），所以在上单调递增. 当时： 在区间上，，，则，单调递增； 在区间上，，，则，单调递减； 在区间上，，，则，单调递增.   综上所得： 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【变式7-4】已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解. 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 【考点题型八】含参数单调性讨论 技巧：（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【例8】已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，进而由导函数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间； （3）先令，求导得到其单调性，求出，进而构造差函数，证明出极值点偏移问题. 【详解】（1）当时，，， ，故， 故函数在处的切线方程为，即； （2）定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可知函数在处取得极值，故符合题意， 因为，， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，恒成立，，当时，， 画出的图象如下： 故， 令，， ， 因为，所以，， 故在上单调递减， 又，故在上恒成立， 即，， 因为，所以，所以， 其中，故， 其中，，在上单调递增， 所以，即. 【变式8-1】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析. (2) 【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）用分离参数法把问题转化为恒成立，设，求的最大值即可. 【详解】（1）因为（）. 所以. 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，由；由， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上可知：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式可化为：在上恒成立. 所以在上恒成立. 设（），则. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以实数的取值范围为：. 【变式8-2】设函数，. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）求出，分别由、解不等式可得答案； （2）由于，只需在区间上没有零点，分、、讨论，利用的单调性可得答案. 【详解】（1）， 由得：， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）由于，只需在区间上没有零点， 由（1）知，①当时，即时，在区间上单调递增， 时，，符合题意； ②当时，即时，在区间上单调递减， 时，，符合题意； ③当时，即时，在上单调递减，在上单调递增， 只需即可，所以：， 综上，的取值范围是. 【变式8-3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若时 （Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围； （Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负求解函数的单调性， （2）根据极值点可将问题转化为有两个不相等的正数根，，即可利用二次方程根的分布求解（Ⅰ），构造函数，求导，结合零点存在性定理即可求解（Ⅱ）. 【详解】（1）的定义域为，，                        当时，恒成立，故在上单调递增, ②当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增.              综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（Ⅰ），                     ，                   令，要使存在两个极值点，， 则方程有两个不相等的正数根，， 所以  ， 解得， 所以的取值范围为.                   （Ⅱ）由于在上恒成立， 在上恒成立，                   令，则在上恒成立， 则， 当时，， 令，则，在上单调递增，   又，， 存在使得，即，，         故当时，，此时， 当时，，此时， 故函数在上单调递增，在上单调递减，         从而， 令，，则， 在上单调递增，， 又为整数，故，即整数的最小值为. 【变式8-4】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分和，两种情况分类讨论得出导函数的正负即得函数单调性； （2）先化为恒成立，应用导数求右侧的最值，即可得参数范围. 【详解】（1）因为，所以. 因为，若，即时，在上单调递增， 若，即时，令，得； 令，得，所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，恒成立， 所以，则， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 又，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以，实数的取值范围为. 【考点题型九】利用导数研究函数的极值与最值问题 技巧：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 【例9】函数在有零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数得到，由题转化为求的值域即可. 【详解】由题有解，即, 令 得, 当时, 单调递减, 当时, 单调递增, , 所以, 故. 故答案为：. 【变式9-1】已知圆锥的母线长为2，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆锥体积表示为底面半径为自变量的函数,利用导数求最值即可. 【详解】 设圆锥的底面半径为,如图,,故, 所以体积为 令, 当时, 单调递增, 当时, 单调递减, 所以当时,取得最大值, 此时取得最大值, 故选:D. 【变式9-2】已知函数. (1)求函数在上的最值； (2)设在上有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值1，最小值； (2). 【分析】（1）求出函数的导数并确定其单调区间，再根据单调性求出最值即可. （2）由（1）中信息，结合函数的性质及最值求出的范围. 【详解】（1）函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上的单调递增，在上的单调递减， 则，而，， 所以. （2）函数在上有两个零点，即方程在上有两个不等根， 亦即直线与函数在上的图象有两个交点，由（2）知， 所以的取值范围是. 【变式9-3】若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 【答案】 【分析】设动点的坐标为，利用点到直线的距离公式将所求距离表示为的函数，根据导数求其单调性，进而可求得距离最小值. 【详解】设动点的坐标为， 则点到直线的距离， 设，求导得， 由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值为，即的值域为，因此， 所以当时，点到直线的距离的最小值为. 故答案为： 【变式9-4】设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解； （2）由条件转化为恒成立．再转化为导函数的最小值大于等于0，即可求解； （3）方法一：首先将不等式整理为，再参变分离为，转化为求函数的最小值；方法二：根据（2）的结果，由的值，讨论的取值，判断不等式是否成立，即可求解；方法三：从命题成立的必要条件入手，再证明命题成立的充分条件，即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 由题意得，恒成立． 令，则，且在单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又，当且仅当，故． （3）解法一：因为，所以题意等价于当时，． 即， 整理，得， 因为，所以，故题意等价于． 设， 的导函数， 化简得， 考察函数，其导函数为， 当单调递减；当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即， 所以， 所以当单调递减； 当单调递增； 所以的最小值为， 故． 解法二：先考察，由（2）分析可得， 情况1：当，即， 此时在区间单调递增， 故，即，符合题意； 情况2：若，则， 注意到，且，故对进一步讨论． ①当时，即 且由（2）分析知：当单调递减， 故当，即单调递减， 故恒有，不符合题意，舍去； ②当时， 注意到在区间单调递减，且，又， 故在区间存在唯一的满足； 同理在区间单调递增，且， 故在区间存在唯一的满足；故可得 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以当，符合题意； 故题意等价于，即． 又因为，即，化简，得 所以，整理得． 注意到，所以， 故解得， 由之前分析得即 考察函数，其导函数为， 当单调递减； 当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即，所以恒成立， 故，又注意到情况（2）讨论范围为， 所以也符合题意． 综上①②本题所求的取值范围为． 方法三：先探究必要性，由题意知当时，是的最小值， 则必要地，即得到必要条件为； 下证的充分性，即证：当时，． 证明：由（2）可知当时，在单调递增， 故的最小值为，符合题意； 故只需要证明时，． 由（2）分析知时， + 0 - 0 + 极大值 极小值 其中． 注意到，据此可得更精确的范围是； 所以等价于证明， 又因为，即，可得， 只需证明， 等价于证明， 注意到，即， 故若①当，此时显然成立； 若②当，只要证明， 此时，且 所以，故得证． 综上必要性，充分性的分析，本题所求的取值范围为． 【考点题型十】利用导数研究恒成立问题 技巧：一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 【例10】函数   则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在 是减函数 C．的最小值是 D．当时，恒成立 【答案】ACD 【分析】由函数奇偶性的定义，即可判断A，求导得，利用导数即可判断函数的单调性以及极值，从而判断BC，构造函数，求导可得，即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故A正确； 对于B，因为， 令，即，解得， 即在上单调递减， 当时，减区间为， 由可得，解得， 即在上单调递增， 所以在上先增后减，故B错误； 对于C，由上可得在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 又，所以的最小值是，故C正确； 对于D，令，， 则， 所以在上单调递减，则， 所以，故D正确； 故选：ACD 【变式10-1】已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，得到，又，由导数几何意义得到切线方程； （2）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （3）在上的最大值小于等于在的最大值，在（2）基础上得到的最大值，并求出，从而得到不等式，得到，令，，求导，得到其单调性，并结合特殊点函数值，得到答案. 【详解】（1），， 又， 所以在处的切线方程为，即； （2），定义域为， ， 当时，， 故在上单调递增， 当时，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最大值小于等于在的最大值， 由（2）知，在上单调递增，在上单调递减； 故， ，， 由于，故在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 所以，即， 令，， 则，， ， 故在上单调递减， 又， 所以当时，，当时，， 故m的取值范围为. 【变式10-2】函数 (且)在是增函数，实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，利用单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】函数，，求导得， 依题意，在上恒成立， 令函数，，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式10-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的单调减区间为；当时，的单调增 区间为，的单调减区间为 (3) 【分析】（1）当时，，，求出切线的斜率和切点坐标即可得出答案； （2）求导，然后根据，讨论导函数的正负，即可得出原函数的单调区间； （3）参变分离，转成恒成立问题，然后构造函数，求最值即可得到答案. 【详解】（1）当时，，， 所以切线斜率为， ，所以切点坐标为， 故切线方程为，即； （2）， 当时，对恒成立，所以此时的单调减区间为，没有单调增区间； 当时，令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上，当时，的单调减区间为；当时，的单调增 区间为，的单调减区间为. （3）由题，对恒成立， 令，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，所以实数的取值范围. 【变式10-4】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围. 【详解】（1）由，得， 又，，所以在点处的切线方程为. （2）由题可知，， 所以，设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即，所以 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$