清单02 空间向量与立体几何（考点清单，知识导图+14个考点清单+题型解读）（期末复习知识清单）高二数学下学期湘教版

清单02 空间向量与立体几何 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【清单02】向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。 【清单03】空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【清单04】利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 【清单05】空间向量的长度 1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【清单06】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【清单07】空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【清单08】空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 【清单09】 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①;②;③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【清单10】平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【清单11】用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【清单12】用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【清单13】用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【清单14】用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【考点题型一】空间线面位置关系的判定 技巧：（1）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量 能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． 【例1】在正方体中，分别为AB，BC的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【变式1-1】若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在四棱锥中，，、分别为、的中点，经过、、三点的平面交于点，为上一点，且平面，为等边三角形，，，则经过、、、四点的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【变式1-4】在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 【考点题型二】利用空间向量的数量积求值 技巧：1、利用空间向量的数量积求两向量的夹角 本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 2、利用空间向量的数量积求线段的长度 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 3、利用空间向量的数量积证垂直 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零 【例2】如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（   ）    A．在翻折的过程中，恒有平面PEN B．若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为 C．当二面角的大小为时， D．当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为 【变式2-1】在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【变式2-2】已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】斜四棱柱中，底面为平行四边形，，，，. (1)求四棱柱的体积； (2)求平面与平面的夹角的正切值. 【变式2-4】如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【考点题型三】空间向量及其运算的坐标表示 技巧：空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 向量数量积的坐标运算若，则 空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则 . 空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【例3】已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（    ） A． B．2.5 C． D．2.6 【变式3-2】已知向量，，，则正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【变式3-3】设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【变式3-4】已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【考点题型四】求平面的法向量 技巧：求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【例4】是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，直四棱柱中，，，，，直线与直线所成角为，为棱的中点，矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，如图所示. (1)求证：平面； (2)线段与平面交于点，且在上投影向量的模等于，求的值. 【变式4-3】已知正方体，建立如图所示空间直角坐标系， (1)求出对角线的一个方向向量． (2)求出平面的一个法向量． 【变式4-4】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【考点题型五】异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 【例5】正四棱台的体积为，，，则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】北京天桥艺术中心旁边的四面钟是天桥附近颇有意趣的传统景观之一.这个主体建筑可以近似看做正四棱柱.四面钟的每一面都挂在该正四棱柱的一个侧面上.当四面钟都正常显示标准北京时间时，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为（   ）    A． B． C． D． 【变式5-2】在正四棱柱中，分别为的中点，点为上底面的中心，则直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A． B．是等边三角形 C．点与平面的距离为 D．与所成的角为 【变式5-4】如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法不正确的是（ ） A．与垂直 B．是异面直线与的公垂线段， C．异面直线与所成的角为 D．异面直线与间的距离为 【考点题型六】利用空间向量解决二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【例6】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，E为线段PB的中点，若面面ABCD，则平面PAD和平面ABCD夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【变式6-2】已知二面角的大小为，棱l上有A，B两点，线段AC与BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且线段AC与BD都垂直于若，，，则CD的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A．与所成角的余弦值为 B．平面与平面所成的角为 C．四点共面 D．点到平面的距离为 【变式6-4】如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（    ） A．平面 B． C．二面角的大小为 D．直线与平面所成角的大小不变 【考点题型七】利用空间向量解决距离问题 技巧：1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【例7】在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式7-1】在正方体 中，若棱长为 分别为线段上的动点，则下列结论中错误的个数为（     ） （1） 平面 （2）直线与平面 所成角的正弦值为定值 （3）平面 平面 （4）点 到平面 的距离为定值 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-2】已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，四棱锥的底面是矩形，，平面平面，，，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 【变式7-4】如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，E是PD的中点，F，M分别在线段PC，PB上，且，，. (1)证明：多面体为四棱锥； (2)作出四棱锥的底面所在平面与平面的交线，写出画法，不必证明； (3)若，平面，且，求四棱锥的体积. 【考点题型八】利用空间向量解决线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 【例8】如图，圆锥的底面圆周上有，，三点，为底面圆的直径，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知正三棱锥中，D是棱PC上的点，，且，则直线BD与平面PAB所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与平面所成的角为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在三棱锥中，，．是线段上的点． (1)求证：平面平面ABC； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，当三棱锥体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【变式8-4】如图，在四棱柱中，底面与侧面均为菱形，平面为的中点，与平面交于点．    (1)求证：为的中点； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 空间向量与立体几何 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【清单02】向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。 【清单03】空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【清单04】利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 【清单05】空间向量的长度 1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【清单06】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【清单07】空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【清单08】空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 【清单09】 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①;②;③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【清单10】平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【清单11】用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【清单12】用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【清单13】用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【清单14】用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【考点题型一】空间线面位置关系的判定 技巧：（1）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量 能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． 【例1】在正方体中，分别为AB，BC的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的数量积证得，，得到面，进而得平面平面，即可判断B；分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断ACD. 【详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则，，， 则，， ， 所以，，即，， 又，面，故面， 面，故平面平面，故B正确； 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故A错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：B. 【变式1-1】若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，有，结合空间向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，即，可得. 故选：A 【变式1-2】在四棱锥中，，、分别为、的中点，经过、、三点的平面交于点，为上一点，且平面，为等边三角形，，，则经过、、、四点的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量的坐标，根据线面位置关系与向量的关系求出点的坐标，然后设球心为，由可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可求出球的半径，即可得解. 【详解】因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的一个法向量为，， 直线的一个方向向量为， 则，取，可得， 设， 所以，， 因为平面，则，解得， 所以，，即点， 设经过、、、四点的球的球心为， 由可得，解得， 故球的半径为， 因此，经过、、、四点的球的表面积为. 故选：C. 【变式1-3】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【变式1-4】在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形的边长，结合勾股定理可建立空间直角坐标系，理由向量证明线面垂直即可求证， 【详解】如图， 由可得， 由于，故， 又，故， 可得： 故，故， 结合底面为矩形，故， 故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. ， ，， 由， 又， 两式联立解得：， 所以 则， 故， 因此平面， 故平面， 平面， 故 【考点题型二】利用空间向量的数量积求值 技巧：1、利用空间向量的数量积求两向量的夹角 本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 2、利用空间向量的数量积求线段的长度 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 3、利用空间向量的数量积证垂直 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零 【例2】如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（   ）    A．在翻折的过程中，恒有平面PEN B．若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为 C．当二面角的大小为时， D．当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】结合相似三角形及勾股定理可得，，对于A，结合翻折的知识可得，结合可得平面PEN，进而判断即可；对于B，与A同理可得平面AMF，进而得到，，可得MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN，进而求解判断即可；对于C，结合空间向量的线性运算可得，根据二面角的大小为可得，进而利用空间向量的数量积的运算律求解判断即可；对于D，分析可得BD的中点为三棱锥外接球的球心，进而求解判断即可. 【详解】在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点， 计算可得，，易知， 又，所以，则，， 所以，所以，同理可得． 对于A，由上述过程可知在翻折的过程中，，而， 因为，PN，平面PEN，所以平面PEN，故A正确； 对于B，与A同理可得平面AMF，因为平面AMF，所以， 由平面PEN，平面PEN，可得， 所以MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN， 而，故B正确； 对于C，因为，二面角的大小为， 则， 所以 ， 所以，故C错误； 对于D，因为和都是直角三角形，且BD为公共边， 所以BD的中点为其所在三角形的外心，同时也是三棱锥外接球的球心， 所以外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积，故D正确． 故选：ABD. 【变式2-1】在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 【变式2-2】已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的运算律得，结合数量积的几何意义确定点的轨迹，进而求出面积. 【详解】在棱长为1的正方体中， ， 则，而，由数量积的几何意义知，在上投影的数量为， 因此点在与垂直的平面内，且点到该平面的距离为， 在正方体中易证平面，点到平面的距离为， 取的中点，易得平面平面， 则平面，且点到平面的距离为， 所以点的轨迹所形成区域为等边，面积为. 故选：B 【变式2-3】斜四棱柱中，底面为平行四边形，，，，. (1)求四棱柱的体积； (2)求平面与平面的夹角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据线段长度和位置关系可得，，进而可得，高，进而可得而四棱柱的体积. （2）取的中点，连接，为平面与平面所成角的一个平面角，利用余弦定理可得. 【详解】（1） 如图，连接交于，连接，， 在中，由余弦定理可得， 因，故，即，， 故为等边三角形，，由题意，， 则， 由题意可得， 整理可得，得， 则为等边三角形，故， 又，故为等边三角形，故， 又， 在中，由余弦定理可得, ， 因，故平行四边形为菱形，故， 又，    ，平面，故平面， 作，由平面，则， 由，平面，则平面， 即为斜四棱柱的高， 在直角三角形中，， （2） 取的中点，连接，由（1）可知为等边三角形， 则，， 故为平面与平面所成角的一个平面角， 在中，由余弦定理可得， 【变式2-4】如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 【考点题型三】空间向量及其运算的坐标表示 技巧：空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 向量数量积的坐标运算若，则 空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则 . 空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【例3】已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算表示，利用共面求出参数，据此求出即可得解. 【详解】如图， 设， 则． 又，，，四点共面，所以，解得， 所以，，得． 故选：B 【变式3-1】已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（    ） A． B．2.5 C． D．2.6 【答案】C 【分析】设三棱锥的侧棱长为，依题建系，设单位向量是平面的一个法向量，可得，由题设条件，得到，代入整理得，同理，利用向量坐标运算求得或，结合求出侧棱长. 【详解】设三棱锥的侧棱长为， 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设单位向量是平面的一个法向量，由空间向量基本定理知， 存在唯一的有序实数组，使得， 依题意，在上的投影向量的长度为2，则， 即，即，解得， 同理得，因， 又因三点在平面的同一侧，于是或， 由，解得. 故选：C. 【变式3-2】已知向量，，，则正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量计算公式计算可判断A；根据向量数量积与向量夹角关系可判断B；根据向量数量积坐标运算计算可判断C；根据向量共线的条件可判断D； 【详解】对于A， 在上的投影向量为，故A正确； 对于B，，且所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以与不平行，故D错误. 故选：A 【变式3-3】设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 【变式3-4】已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标运算求出的值，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出； （2）根据三个向量不能构成空间的一个基底可知这三个向量共面，利用向量共面的性质列出方程求解的值. 【详解】（1）已知，，可得,解得. 所以，则. 根据向量模的计算公式可得. （2）已知，，, 先求出. 因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. 即存在实数，使得，则. 由此可得方程组.由可得，将其代入中，得到，解得. 把代入，可得. 再把，代入， 可得，解得. 【考点题型四】求平面的法向量 技巧：求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【例4】是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系得出相关点的坐标，设，根据已知以及线面角的坐标表示得出.进而分六个面依次讨论，即可得出点坐标.进而根据线线角的坐标求解即可得出答案. 【详解】    如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，设，则 易知平面一个法向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面、平面、平面所成的角分别为， 由已知可得. 又，，， 所以有. 又由是正四棱柱表面上的一个动点，易知，所以. 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，点可以为； 若是平面上的一个动点，可知，，，没有满足条件的点； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，重复舍去. 综上所述，. 所以. 又 所以，与所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式4-1】结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量. 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：A. 【变式4-2】如图，直四棱柱中，，，，，直线与直线所成角为，为棱的中点，矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，如图所示. (1)求证：平面； (2)线段与平面交于点，且在上投影向量的模等于，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，，由平行线的传递性可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点，，利用在上投影向量的模等于求出的值，然后求出平面的一个法向量的坐标，由结合空间向量数量积的坐标运算化简可得出的值； 解法二：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点，，利用在上投影向量的模等于求出的值，然后求出平面的一个法向量的坐标，由结合空间向量数量积的坐标运算化简可得出的值. 【详解】（1）中，，，， 由余弦定理得， 因为，故， 在四棱柱中，，，故四边形为平行四边形， 所以， 因为直线与直线所成角为， 所以为直线与直线所成角或其补角， 又因为，所以，则，所以， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面. （2）（法一）因为，，，所以， 由勾股定理得，且， 因为为直四棱柱，故以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点，. ，， 因为在投影向量的模为， 所以即，得或（舍去）， 所以，， 因为、、、四点共面，所以设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由题意可得，则， 由得， 化简得，所以. （法二）因为，，，所以， 由勾股定理得，且， 因为为直四棱柱，故以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点，. ，，， 因为在投影向量的模为， 所以，，得或（舍去）， 所以，， 因为、、、四点共面， 所以设平面的一个法向量为，由， 令，得，由题意可得，， 由得， 化简得，所以. 【变式4-3】已知正方体，建立如图所示空间直角坐标系， (1)求出对角线的一个方向向量． (2)求出平面的一个法向量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出边长，根据点的坐标可得到向量的坐标，即可求得方向向量； （2）根据（1）中点的坐标可得到平面的一个法向量. 【详解】（1）设边长为，则， 所以， 所以对角线的一个方向向量为； （2）由（1）可得， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以， 所以平面的一个法向量. 【变式4-4】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 【考点题型五】异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 【例5】正四棱台的体积为，，，则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱台的体积公式求出正四棱台的高，建立空间直角坐标系，再利用向量法求解异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设正四棱台的高为, 已知体积、下底面积、上底面积, 代入正四棱台体积公式,可得， 解得高， 取AB的中点,连接OF, 取AD的中点,连接OE， 如图，以 所在的直线分别作 轴，建立空间直角坐标系， 而，， 则顶点, ，顶点 ， 直线的方向向量为,， 直线 的方向向量为，， 则， 则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为: . 故选：C. 【变式5-1】北京天桥艺术中心旁边的四面钟是天桥附近颇有意趣的传统景观之一.这个主体建筑可以近似看做正四棱柱.四面钟的每一面都挂在该正四棱柱的一个侧面上.当四面钟都正常显示标准北京时间时，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱柱的几何特征建立空间直角坐标系，设出相邻两面钟的时针所在直线的方向向量，利用线线角的向量坐标公式计算即可求最大值. 【详解】    由题意，在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设平面上的时钟的时针的方向向量，不同时为0， 因为四面钟都正常显示标准北京时间，所以设平面上的时钟的时针的方向向量. 设相邻两面钟的时针所在直线所成角为， 则， ①当时，，则； ②当时，，因为，则， 即，则； 综上所述：，则的最大值为， 因此，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为. 故选：C. 【变式5-2】在正四棱柱中，分别为的中点，点为上底面的中心，则直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量的坐标，根据向量夹角公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 于是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：A. 【变式5-3】将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A． B．是等边三角形 C．点与平面的距离为 D．与所成的角为 【答案】D 【分析】对于选项A：取的中点，连接.运用正方形性质和直线与平面垂直的判定定理，可得平面.再用直线与平面垂直的性质，所以，判断A. 对于选项B：已知正方形边长为，能得到.由于二面角是直的，且，运用线面垂直性质，结合用勾股定理算出，又，三边相等，是等边三角形. 判断B. 对于选项C：运用等体积法，先算出的体积，再算出的面积，根据体积公式就能求出. 判断C. 对于选项D：建立坐标系，得出、、、的坐标，进而得到向量、，用求向量夹角的方法算出余弦值，结合异面直线夹角范围，可知夹角是，不是，判断D. 【详解】对于选项A，取的中点，连接. 因为正方形，所以 又，根据直线与平面垂直的判定定理，可得平面. 而平面，根据直线与平面垂直的性质，所以，故选项A正确. 对于选项B，因为正方形边长为，所以. 由于二面角是直二面角，即平面平面，且，平面平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，而平面，则. 在中，根据勾股定理，可得. 又，三边相等，所以是等边三角形，故选项B正确. 对于选项C，设点到平面的距离为. 根据三棱锥体积公式，，， 所以.. 由，即，解得，故选项C正确. 对于选项D，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，.，. 设与所成的角为，根据向量的夹角公式. ，，. 则，因为异面直线所成角的范围是，所以，故选项D错误. 故选：D. 【变式5-4】如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法不正确的是（ ） A．与垂直 B．是异面直线与的公垂线段， C．异面直线与所成的角为 D．异面直线与间的距离为 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项分析. 【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立如下图所示坐标系： 则： ， ， 设 ， 则有： ， 又 ， 解得 ， ， ， ， 同理可得 ； 对于A， ， ， ，故A正确； 对于B， ， ， 即，又， 故是异面直线与的公垂线段，故B正确； 对于C，设 与 所成的角为 ，则 ， ，，故C错误； 对于D，由B知 是 与 的公垂线段， ，故D正确； 故选：C. 【考点题型六】利用空间向量解决二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【例6】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，E为线段PB的中点，若面面ABCD，则平面PAD和平面ABCD夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到或其补角为平面PAD和平面ABCD夹角，建立空间直角坐标系，设，则，由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，由得到方程，求出，故的补角为平面PAD和平面ABCD夹角，作出辅助线，得到，又，求出，得到答案. 【详解】取的中点，连接， 因为底面为正方形，， 所以⊥，为等边三角形，故⊥， 所以或其补角为平面PAD和平面ABCD夹角， 过点作⊥平面，交平面于点， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，， 设，则， 因为面面，交线为，⊥，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， ， 故，解得， 所以的补角为平面PAD和平面ABCD夹角， 过点作⊥轴于点，则， 又， 其中， 所以的补角的余弦值为. 故选：A 【变式6-1】如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判断推理判断A；利用线面平行判断性质推理判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角、面面角判断CD. 【详解】对于A，在菱形中，，，则是正三角形， 由为边的中点，得，又，则， 而，平面，则平面， 又，于是平面，而平面，因此平面平面，A正确； 对于B，由，平面，平面，则平面， 又平面与平面的交线为，平面，因此，B正确； 对于C，由A知，，折起后仍有，，又平面， 则，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由平面，得是平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， 因此，C错误； 对于D，由选项C知平面，则为平面的一个法向量， 又，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则，由图形知二面角为锐角，其余弦值为，D正确. 故选：C 【变式6-2】已知二面角的大小为，棱l上有A，B两点，线段AC与BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且线段AC与BD都垂直于若，，，则CD的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出草图，根据向量垂直的结论得到，再根据二面角大小，借助向量法，结合数量积公式计算即可. 【详解】解：，， ， 又直线分别在这个二面角的两个半平面内，二面角的大小为， ， ， ， ， ， 故选：A. 【变式6-3】如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A．与所成角的余弦值为 B．平面与平面所成的角为 C．四点共面 D．点到平面的距离为 【答案】C 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出可判断A；判断出为二面角的平面角，再由可判断B；取的中点，连接，判断出四边形是平行四边形可判断C；利用点到平面距离的向量求法可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，则， ，， 对于A，， 所以， 所以与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，平面平面， 又因为为等腰三角形，则即为二面角的平面角， ，故B错误； 对于C，如图2，取的中点，连接， 由正方体的性质可知， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可知： ，所以，， 四边形是平行四边形，则四点共面，故C正确； 对于D，，， 设平面法向量为， 则，即， 令，则，则， 点到平面的距离，D错误. 故选：C. 【变式6-4】如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（    ） A．平面 B． C．二面角的大小为 D．直线与平面所成角的大小不变 【答案】D 【分析】由平面平面，平面，即可判断A；建立空间直角坐标系计算即可判断选项B；先找出二面角的平面角为即可判断选项C，利用向量方法求直线与平面所成角的大小判断D. 【详解】对于选项A：因为平面平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，， ，，， 对于选项B：，， 因为， 所以，即， 故选项B正确； 因为，在棱上，所以二面角即二面角， 因为，， 平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，， 所以二面角的大小为， 故选项C正确， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成角的的正弦值为， 随的值的变换其正弦值也变化，故直线与平面所成角也变化，D错误. 故选：D. 【考点题型七】利用空间向量解决距离问题 技巧：1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【例7】在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系后利用点到直线的距离空间向量求解后可得正确的选项. 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设．    因为，平面，平面，故平面， 故直线到平面的距离为到平面的距离. ，， 设平面的法向量为，则由可得： ，取， 故到平面的距离，故，故， 故选：C. 【变式7-1】在正方体 中，若棱长为 分别为线段上的动点，则下列结论中错误的个数为（     ） （1） 平面 （2）直线与平面 所成角的正弦值为定值 （3）平面 平面 （4）点 到平面 的距离为定值 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】方法一：根据线线垂直即可求解 平面 判断（1），根据线面角的几何法，可得直线与平面 所成角为，根据正切值，即可判断(2),根据面面平行的判定即可求解(3),利用等体积法即可求解（4）.方法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向量逐个计算判断即可 【详解】方法一：由于平面，平面，故, 又，平面， 故平面，平面，故, 同理可得,平面，故 平面 ，故（1）正确， 根据平面，故直线与平面 所成角为,则， 由于长度是不确定的，故的正弦值不为定值，故（2）错误， 由于，平面 ,平面 ,故平面 , 同理可得平面 ,平面，故平面 平面 ，（3）正确， 由于平面，故点到平面 的距离即为点 到平面 的距离， 设点到平面 的距离为， 由得，故(4)正确， 方法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 令，得， 令，得，， 对于（1），，显然， 即，， 而，平面，因此平面，（1）正确； 对于（2），由平面，平面，得， 因为，，平面，则平面， 于是为平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则不是定值，（2）错误； 对于（3），由选项A知平面，即为平面的一个法向量， 而，则， 即有， 又，平面，因此平面， 则平面平面，（3）正确； 对于（4），显然， 因此点到平面的距离为，为定值，（4）正确. 故选：B 【变式7-2】已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由且，得到，E，A，C四点共面，即点E在平面上，从而的最小值为点D到平面的距离求解. 【详解】由题意得，， ∴，即， 由共面向量定理得，，E，A，C四点共面，即点E在平面上， 则的最小值为点D到平面的距离． 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，取， D到平面的距离， 即的最小值为． 故选：B 【变式7-3】如图，四棱锥的底面是矩形，，平面平面，，，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：构造中位线，利用线面平行判定定理证明平面，方法二或方法三：建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用法向量与方向向量的垂直关系证明， （2）方法一：根据面面垂直的性质证明平面，进而利用二面角的几何法找出二面角的平面角，进而根据平面,即可求出点到平面的距离，方法二或方法三：建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用两个平面的夹角求解未知量，即可利用点到面的距离的向量法求解. 【详解】（1）方法一：且. 是中点，四边形ABCD是矩形，且. ，四边形是平行四边形，. 又不在平面内，平面，平面. 方法二：平面平面，平面平面， 平面，，平面PAB. 又，则以为原点，所在直线分别为轴，轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空闻直角坐标系，设，，则. 依题意得，，，，，，. ，平面PBC的一个法向量为，. 又平面PBC，平面PBC. 法三：（1）平面平面ABCD，平面平面， 平面ABCD，，平面PAB. 以为原点，在平面PAB内过点且与AB垂直的直线为轴，以AB所在直线为轴，过点且与BC平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 依题意得，，，，，， 取PC中点G，连接BG， 由题可得，， ，. ，， 又平面，平面，平面 （2）方法一：平面平面，平面平面， 平面，，平面 又平面，. 又，，平面，平面， 平面. 又平面，. 即为平面与平面的夹角，. 又，，，. 又由（1）知G为PC的中点，. 平面，平面，. 又，平面，平面，平面. 点到平面的距离为. （注：此处亦可用等体积法求解.设点到平面PAC的距离为， 由得， 即，解得） 方法二：平面的一个法向量为，，， 设平面的一个法向量为，则取. 平面与平面的夹角为， ，解得. ，， 平面的一个法向量为. 点到平面的距离. 方法三：平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 则 取. 平面与平面的夹角为， ， 解得或.，. 平面的一个法向量为，， 点到平面的距离. 【变式7-4】如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，E是PD的中点，F，M分别在线段PC，PB上，且，，. (1)证明：多面体为四棱锥； (2)作出四棱锥的底面所在平面与平面的交线，写出画法，不必证明； (3)若，平面，且，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）法一：取的中点，连接，通过求证，说明共面即可求证；法二：连接AC，AF，通过向量运算说明，进而可求证；法三：连接AF，通过，说明共面即可求证； （2）法一：找到两平面的两个公共点，即可求解；法二：连接EM并延长交BD于点N，连接AN，确定为公共点即可； （3）法一：建系，由向量法求得点到面的距离，即可求解.法二：由， 及，即可求解； 【详解】（1）法一：取的中点，连接， 因为是的中点，且， 所以是的中点， 所以，， 又，，， 所以且， 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又，所以， 所以四点共面，即四边形为平面四边形. 又多面体其余各面都是有一个公共顶点P的三角形， 所以多面体为四棱锥. 法二：连接AC，AF，由已知，有， ， 所以，所以四边形AMFE为平面四边形. 又多面体PAMFE其余各面都是有一个公共顶点P的三角形， 所以多面体PAMFE为四棱锥， 法三：连接AF，由已知，有 ， ，， 所以， 所以A，M，F，E四点共面，即四边形AMFE为平面四边形. 又多面体PAMFE其余各面都是有一个公共顶点P的三角形， 所以多面体PAMFE为四棱锥. （2）法一：如图，延长交于点，连接，直线即为所求作的交线. 易知为平面与平面的公共点， 又为与的交点，易知也是平面与平面的公共点， 所以即为交线. 法二：如图，连接EM并延长交BD于点N，连接AN，直线AN即为所求作的交线. 易知：为平面与平面的公共点，所以即为交线. 法三：连接FE并延长交CD于点N，连接AN，直线AN即为所求作的交线. ， 易知：为平面与平面的公共点，所以即为交线. （3）法一：因为，平面ABCD，如图，以A为坐标原点，过点A且与CD平行的直线为x轴，AD，AP所在直线分别为Y轴，z轴建立空间直角坐标系，连接AF， 则，，，，，， 故，，，，，. 设平面AEF的法向量为， 则，即，不妨取，则可得， 则点P到底面AMFE的距离为，即为四棱锥的高. 因为，所以，因此四边形AMFE为直角梯形， 又由（1）知，，则， 从而，四棱锥P-AMFE的体积. 法二：连接AF， 因为，所以，所以， 所以四棱锥PAMFE的体积， 因为， 所以 ， 所以. 【考点题型八】利用空间向量解决线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 【例8】如图，圆锥的底面圆周上有，，三点，为底面圆的直径，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 故选：B. 【变式8-1】已知正三棱锥中，D是棱PC上的点，，且，则直线BD与平面PAB所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系，设点，根据列方程得到，然后利用空间向量的方法求线面角. 【详解】 取中点，连接， 因为为中点，所以，， 因为，平面，所以平面， 以为原点，所在直线分别为轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 设，，，，，， 因为，所以，解得， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，， 所以，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 【变式8-2】如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与平面所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，是平面的法向量，利用向量法求出线面角的正弦值即可求解. 【详解】 过点作的垂线，与交于点， 因为平面，又因为平面， 所以，又，平面， 所以平面, 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 所以，是平面的法向量， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以， 所以直线与平面所成的角为. 故选：. 【变式8-3】如图，在三棱锥中，，．是线段上的点． (1)求证：平面平面ABC； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，当三棱锥体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，结合（2），利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，则， 由，得，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 当点为的中点时，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以， 故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值. 由（2）知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 所以， 所以三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面夹角的余弦值为. 【变式8-4】如图，在四棱柱中，底面与侧面均为菱形，平面为的中点，与平面交于点．    (1)求证：为的中点； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由已知可得平面，由线面平行可得，进而得四边形为平行四边形，即可证得为的中点； （2）选择条件①：取中点，连接，由已知条件可证得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用坐标运算求得平面的一个法向量，设，再利用坐标运算和直线与平面所成角的正弦值为，解出，即可解答； 选择条件②：先证得平面，同①建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为，然后解答同①. 【详解】（1）在菱形中，． 因为平面平面， 所以平面． 又平面，平面平面， 所以． 又四棱柱中，， 所以四边形为平行四边形． 所以，所以为的中点． （2）选择条件①：    取中点，连接， 在菱形中，． 因为，所以为等边三角形． 因为为中点，所以，故． 因为平面，且平面， 所以， 所以两两垂直． 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，则． 设， 所以． 设直线与平面所成角为， 所以． 解得， 所以存在符合条件的点． 选择条件②： 取中点，连接． 因为平面，且平面， 所以， 又，且平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又因为为中点，所以． 在菱形中，， 所以为等边三角形， 所以，故． 所以两两垂直．如图建立空间直角坐标系， 则， 所以． 因为平面， 所以取平面的一个法向量为． 设， 所以． 设直线与平面所成角为， 所以． 解得， 所以存在符合条件的点． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$