专题01 导数及其应用全章18个题型（期中复习讲义）高二数学下学期湘教版

专题01 导数及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 导数的概念极限的计算 题型02 求在某点处的切线方程 题型03 求过某点的切线方程及求参数 题型04 公切线问题 题型05 切线条数问题 题型06 导数的四则运算 题型07 由区间单调性求参数 题型08 讨论含参数函数的单调性 题型09 由单调性比较大小解抽象不等式 题型10 构造函数比较大小 题型11 由函数的极值极值点求参数 题型12 求函数的极值极值点 题型13 极值点个数求参数范围 题型14 求函数的最值 题型15 由函数的最值求参数 题型16 导数与不等式恒成立问题 题型17 三次函数的极值与最值 题型18 函数的极值最值单调性综合题型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 考点1：导数的概念及其几何意义 1能准确复述导数的定义，区分“平均变化率”与“瞬时变化率”，能利用极限表达式简单判断导数是否存在2能熟练运用导数的几何意义，快速求解已知切点的切线方程，能判断一条直线是否为函数某点的切线3能结合物理场景，理解导数的瞬时意义（如瞬时速度），完成简单的物理与数学的转化 命题趋势：基础必考点，必考选择/填空，以基础题为主，多考查切线方程求解、导数定义的简单辨析，难度中等偏易易错点：①混淆“导数存在”与“函数连续”（导数存在→函数连续，反之不成立）②求解切线方程时，漏代切点坐标或算错导数③忽略“切线过某点但该点不是切点”的情况 考点2：导数的运算 1能熟练背诵并默写基本初等函数的导数公式，无遗漏、无符号错误2能准确运用四则运算法则求导，尤其是积、商法则的符号处理，能对复杂函数（如分式、乘积型）进行求导化简3能识别简单复合函数，掌握“换元法”求复合函数导数，做到不丢层、不看错内层函数4能快速完成“求导→代入求值”的连贯操作，确保计算准确率 命题趋势：核心工具，贯穿全卷，所有导数大题、小题均需用到，单独考查以选择/填空为主，考查公式应用、四则运算、复合函数求导易错点：①基本公式记混（如与混淆）②商法则应用错误（漏记分母平方，符号出错）③复合函数求导漏层（如，误求为，忽略内层导数2）④三角函数求导符号错误（如漏写负号） 考点3：利用导数判断函数的单调性 1能准确掌握导数与单调性的关系，明确“导数符号决定单调性”2能熟练完成“求导→解不等式（或）→结合定义域→写出单调区间”的完整步骤3能利用函数单调性，快速比较两个自变量对应的函数值大小，解决简单的大小比较问题4能处理“已知单调性求参数”问题，掌握“分离参数法”“分类讨论法”，准确确定参数的取值范围（不遗漏定义域限制） 命题趋势：高频考点，大题必考，多以解答题形式考查，常结合函数解析式（分式、指数、对数、二次型），先求单调区间，再结合单调性求参数，难度中等易错点：①求单调区间时，忽略函数定义域（如对数函数）②误将“（或）”当作单调递增（或递减）的充要条件（忽略“导数等于0的点不影响单调性”）③已知单调性求参数时，漏讨论参数的临界值，或分离参数时符号出错 考点4：利用导数求函数的极值与最值 1能准确区分“极值”与“最值”，牢记极值的判断方法（导数符号变化），不混淆“导数为0的点”与“极值点”2能熟练完成求极值的完整步骤，准确判断导数符号变化，求出极值点和极值，无计算错误3能掌握闭区间上函数最值的求解方法，不遗漏端点函数值，准确比较极值与端点值，确定最值4能解决“已知极值求参数”问题，结合导数方程的根的情况，分类讨论参数范围，避免漏解 命题趋势：核心重点，大题必考，常与单调性结合考查（先求单调区间，再求极值/最值），偶尔结合参数，难度中等偏难易错点：①误将“导数为0的点”当作“极值点”（忽略导数符号是否变化）②求最值时，遗漏闭区间的端点函数值③计算极值时，代入函数解析式出错④已知极值求参数时，忽略导数方程有两个不相等实根的条件（判别式） 考点5：导数在不等式中的简单应用 1能掌握“构造函数法”证明不等式，准确构造差函数（如），通过求导判断单调性、求最值，完成不等式证明2能结合函数单调性，将不等式转化为与的大小关系（注意函数定义域）3能处理不等式恒成立问题，熟练运用“最值法”（恒成立→最值满足条件），结合分离参数法，快速求解参数范围 命题趋势：高频难点，期中常考，解答题压轴设问，常结合指数、对数函数，考查不等式证明、恒成立求参数，难度偏难，是拉开分差的关键易错点：①构造差函数时，符号出错（如误将构造为）②证明不等式时，未验证最值是否等于0（或满足不等式）③恒成立问题中，混淆“最大值”与“最小值”（如需最小值≥k，误求最大值） 考点6：导数在实际问题中的简单应用 1能准确理解实际问题的题意，快速梳理数量关系，构建符合题意的函数模型，标注正确的定义域2能运用导数求函数的极值与最值，结合实际意义筛选出合理的答案3能完整书写实际优化问题的解题步骤，做到逻辑清晰、表述规范 命题趋势：期中常考，多以解答题中档设问出现，结合生活实际场景，考查函数建模与导数应用，难度中等易错点：①构建函数模型时，数量关系梳理错误，列出错误的函数解析式②忽略实际问题中自变量的取值范围（定义域不符合实际意义）③求出最值后，未结合实际场景验证合理性，保留不符合题意的答案 知识点01 导数的定义与本质 核心概念 平均变化率：函数在区间上的变化率为 瞬时变化率（导数定义）：函数在处的导数 导函数：若在区间内每一点可导，则为其导函数，记作或 解题技巧 用定义求导数：三步法→求增量→求比值→求极限 导数存在的前提：函数在处连续（可导必连续，连续不一定可导） 易错点 混淆“导数存在”与“函数连续”：如在处连续，但不可导（左导数=-1，右导数=1，不相等） 用定义求导时，错误将当作的变量，忽略的极限本质 知识点02 导数的几何意义 核心概念 函数在处的导数等于该点切线的斜率，即 切线方程：已知切点，切线方程为 法线方程：与切线垂直的直线，斜率为（） 解题技巧 求切线方程：先求导→算处的导数值（斜率）→代入点斜式 求“过某点的切线”：先设切点，写切线方程，再将已知点代入求 易错点 求解切线方程时，漏代切点坐标，仅用斜率写方程 误将“切线与函数只有一个交点”作为判定依据（如在处的切线与函数有多个交点） 忽略“切线过某点但该点非切点”的情况，直接用该点求斜率 知识点03 三次函数的图像与性质 核心概念 三次函数一般形式：（） 图像与性质 参数特征 图像趋势 极值情况 单调性规律 左低右高（时；时） 有两个极值点（极大值+极小值）当且仅当 导数，时单调递增；时单调递减 左高右低（时；时） 有两个极值点当且仅当 导数，时单调递增；时单调递减 图像与x轴相切 无极值（导数不变号） 函数在上单调（递增，递减） 图像与x轴仅有一个交点 无极值（导数不变号） 函数在上单调（递增，递减） 极值判定（三次函数核心） 求导得，计算判别式 若：有两个不等实根（） 当时：为极大值点，为极小值点，极大值，极小值 当时：为极小值点，为极大值点，极小值，极大值 若：恒正或恒负，函数无极值 易错点 计算三次函数判别式时，漏乘系数（错误将算成，忽略三次函数导数是二次函数，系数为） 混淆极值点与最值点：三次函数无极值点时，闭区间上的最值仅在端点取得；有极值点时，需比较极值与端点值 忽略的符号对极值大小的影响（如时是极大值点，时相反） 知识点04 核心公式与法则 1.基本初等函数的导数公式（必背） 原函数 导函数 备注 （常数） 常数的导数为0 （） 幂函数求导，指数减1，系数乘原指数 自然指数函数导数不变 （） 一般指数函数导数乘 （） 自然对数函数导数为 （） 一般对数函数导数乘 正弦导数为余弦 余弦导数为负正弦 2.导数的四则运算法则 和差法则： 数乘法则：（为常数） 乘积法则： 商法则：（） 3.复合函数求导法则 核心公式 若，，则复合函数的导数为： 解题技巧 拆分复合函数：找“内层函数”和“外层函数”，分层求导再相乘 常见复合类型：→；→ 易错点 复合函数求导漏乘“内层函数的导数”：如，误求为，漏乘内层导数2 拆分内层函数时出错：如，内层函数应为，而非 知识点05 利用导数判断函数单调性 1.确定函数的定义域（关键前提，忽略定义域必出错） 2.求导得，并化简（因式分解便于解不等式） 3.解不等式，得单调递增区间；解，得单调递减区间 4.结合定义域，写出最终单调区间（区间之间用“，”或“和”连接，不能用） 解题技巧 含参数的单调性问题：分类讨论参数对符号的影响（如参数在二次项系数、一次项系数等位置） 分式型函数求导：先通分再判断符号，避免复杂计算 易错点 忽略函数定义域：如的定义域为，解单调区间时需限制范围 误将（或）作为单调递增（或递减）的充要条件：仅当的点为孤立点时，函数才单调（如，，但仍单调递增） 区间连接错误：单调区间不能用，需用“，”或“和”分隔 知识点06 利用导数求函数的极值与最值 极值求解步骤 1.求定义域，求导 2.求的根（驻点），以及不存在的点 3.用驻点划分定义域，判断在各区间的符号 4.根据符号变化判定极值：左正右负→极大值点；左负右正→极小值点；符号不变→无极值 5.计算极值点对应的函数值，得极值 闭区间最值求解步骤 1.求开区间内的极值点及极值 2.求闭区间端点的函数值、 3.比较极值与端点值，最大者为最大值，最小者为最小值 解题技巧 三次函数最值：结合其图像性质，先判断是否有极值，再结合区间端点求解 恒成立求参数：转化为“最值问题”，如恒成立；恒成立 易错点 求极值时，仅找的根，未判断符号变化（如，，但无极值） 求闭区间最值时，遗漏端点函数值 含参数的最值问题，未分类讨论参数范围，导致漏解 题型一 导数的概念极限的计算 解｜题｜技｜巧 1.定义式牢记：，或等价形式 2.三步计算法： 求增量： 求比值： 取极限： 3.极限化简技巧： 分式型：通分、因式分解、有理化（分子/分母） 指数/对数型：利用等价无穷小（时，，） 三角函数型： 4.易错点规避： 极限必须是，不能直接代入 区分与（常数导数为0） 可导必连续，连续不一定可导（如在） 【典例1】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【变式1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期中）设函数在点处可导，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式3】（24-25高二下·河北·期中）有一机器人的运动方程为（t是时间，单位：s；s是位移，单位：cm），则该机器人在时的瞬时速度是在时的瞬时速度的（   ） A．1倍 B．倍 C．2倍 D．倍 题型二 求在某点处的切线方程 解｜题｜技｜巧 1.核心公式：切点，斜率，切线方程 2.标准步骤： 验切点：确认点在曲线上 求导：计算，代入得斜率 写方程：点斜式→化为一般式/斜截式 3.速算技巧： 幂函数：切线 指数函数：切线 4.易错点： 忘记验证点在曲线上，直接求导 斜率计算错误（公式记混、符号错） 切线方程化简错误（移项、系数处理） 【典例1】（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为_____________． 【变式2】（24-25高二下·广东东莞·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·河南·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 求过某点的切线方程及求参数 解｜题｜技｜巧 1.核心方法：设切点法（必用） 设切点，斜率 切线方程： 代入已知点： 解方程求，回代得切线方程 2.参数求解： 切线含参：将切点方程、斜率方程联立，解参数 已知切线斜率：，先求，再写方程 3.易错点： 直接用已知点当切点（已知点不一定在曲线上） 方程解错（一元二次方程漏根、判别式错） 多切线情况漏解（如过三次函数外一点有2条切线） 【典例1】（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【变式2】（24-25高二下·陕西西安·月考）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程． 【变式3】（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 题型四 公切线问题 解｜题｜技｜巧 1.双切点设参法（通用）： 设切点，切点 斜率相等： 切线方程相等：与为同一直线 联立方程：消参得关系，求解 2.单公切点法（两曲线相切）： 公切点满足：且 3.参数范围：转化为方程解的个数，用函数零点/单调性分析 4.易错点： 漏斜率相等条件，仅用切线方程相等 消参错误（变量混淆、计算错） 公切线条数判断错误（未分析方程根的个数） 【典例1】（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为_____. 【变式1】（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则______． 【变式2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【变式3】（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 题型五 切线条数问题 解｜题｜技｜巧 1.核心转化：过点切线条数⇔方程的实根个数 2.构造函数法： 令 求，分析单调性、极值 结合零点存在定理：根的个数=切线条数 3.结论速记： 一次函数：1条切线 二次函数：点在曲线外→2条；上→1条；内→0条 三次函数（）：最多3条切线 4.易错点： 构造函数符号错误（表达式写错） 极值分析错误（未判断极值正负） 忽略定义域限制（如对数函数） 【典例1】（24-25高二下·江西·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 【变式2】（23-24高三上·陕西西安·期中）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是____________. 【变式3】（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 导数的四则运算 解｜题｜技｜巧 1.公式牢记： 和差： 数乘： 乘积：（前导后不导+后导前不导） 商：（上导下不导-下导上不导，分母平方） 2.复合函数求导：链式法则，分层求导、不丢内层 3.化简技巧： 先化简再求导（通分、因式分解、去根号） 对数函数：先展开，再求导 根式：化为分数指数幂 4.易错点： 乘积/商法则符号错（漏负号、顺序错） 复合函数漏内层导数（如） 基本公式记混（、） 【典例1】【多选题】（24-25高二下·青海西宁·期中）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．已知函数，若，则 C．若，则 D．曲线上点P处切线的倾斜角的取值范围是 【变式1】【多选题】（24-25高二下·河北保定·期中）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】【多选题】（24-25高二下·吉林长春·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】【多选题】（24-25高二下·安徽·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七 由区间单调性求参数 解｜题｜技｜巧 1.核心转化： 在递增⇔在恒成立（且不恒为0） 在递减⇔在恒成立（且不恒为0） 2.方法优选： 分离参数法（首选）：恒成立⇔；恒成立⇔ 分类讨论法：参数在二次项系数、判别式、根的位置讨论 3.端点处理： 开区间：（等号可取，孤立点不影响） 闭区间：验证端点导数符号 4.易错点： 用代替（漏等号，参数范围缩小） 分离参数时不等号方向错（乘负数未变号） 忽略定义域（如隐含） 【典例1】（25-26高三上·山东·月考）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高三上·安徽淮北·期中）若函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)设函数，若在定义域上存在减区间，求实数的取值范围； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围． 题型八 讨论含参数函数的单调性 解｜题｜技｜巧 1.标准步骤： 求定义域（第一步必做） 求导，因式分解/求根 分类讨论（按最高次项系数、判别式、根的大小、根与定义域关系） 列表：分区间、标符号、写单调性 2.讨论顺序（二次型导函数）： 二次项系数→一次函数 ：判别式→恒正/恒负；→求根，比较大小 3.速记口诀：定义域优先，导数因式分解，从高次到低次，从判别式到根 4.易错点： 漏定义域（导致区间错误） 讨论不全（漏、、根相等情况） 区间符号判断错（导数因式符号分析错） 【典例1】（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 【变式1】（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【变式2】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 【变式3】（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线方程； (2)讨论的单调性； 题型九 由单调性比较大小解抽象不等式 解｜题｜技｜巧 1.比较大小： 单调性+定义域：⇔ 奇偶性+单调性：奇函数对称区间单调性相同；偶函数相反 2.解抽象不等式（）： 去：利用单调性转化为自变量不等式 保定义域：且 解不等式组：得最终解集 3.技巧： 构造辅助函数：如、，分析单调性 赋值法：给抽象函数赋特殊值（） 4.易错点： 忽略定义域（解不等式漏范围） 单调性方向错（递增/递减混淆） 抽象函数性质用错（奇偶性、周期性） 【典例1】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·江苏·期中）已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·天津·期中）已知，，若成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型十 构造函数比较大小 解｜题｜技｜巧 1.构造原则（同构/差函数）： 两式结构相似：同构法（变形为同一函数形式） 两式作差易求导：差函数法 2.常见构造模型（名师总结）： →构造 →构造 →构造 →构造 3.步骤： 构造→求导判单调性→比较自变量→得函数值大小 4.易错点： 构造函数错误（模型匹配错） 求导计算错（四则/复合错） 自变量大小比较错（未结合定义域） 【典例1】（25-26高三上·山西太原·期中）设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知偶函数及其导函数的定义域均为，且对任意的都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·全国·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·福建宁德·月考）已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 题型十一 由函数的极值极值点求参数 解｜题｜技｜巧 1.核心条件： 为极值点⇔且在两侧异号 极值：（代入原函数，非导函数） 2.解题步骤： 由列方程（1个/多个极值点列方程组） 验证：在两侧异号（必做，防增根） 代入求参数，回代检验 3.含参极值： 极值存在⇔有变号零点 极大/极小值：左正右负→极大；左负右正→极小 4.易错点： 仅用，未验证符号（如，非极值） 极值代入错函数（代入导函数而非原函数） 多参数方程组解错（消元错误） 【典例1】（25-26高三上·吉林长春·期中）已知函数有两个极值点与，若，则实数的取值范围为________. 【变式1】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）函数在时有极小值，那么的值为____. 【变式2】（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)若为的极小值点，求的取值范围. 【变式3】（25-26高三上·北京通州·期中）已知函数的定义域为，其导函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若，求证：函数的图象恒在函数的图象的上方； (3)若为的极大值点，求实数的取值范围． 题型十二 求函数的极值极值点 解｜题｜技｜巧 1.标准五步（必背）： 求定义域 求导，求的根（驻点）及不存在点 分区间：用驻点划分定义域 判符号：列表分析在各区间符号 定极值：左正右负→极大值；左负右正→极小值；同号→无极值 2.速记口诀：定义域，求导找零点，分区间看符号，左增右减极大，左减右增极小 3.技巧： 导函数为二次函数：用判别式、根的分布分析 复杂函数：先化简再求导（对数展开、分式通分） 4.易错点： 漏不存在点（如，） 符号判断错（因式分解错、区间划分错） 极值计算错（代入原函数算错） 【典例1】（24-25高三上·福建厦门·期中）已知函数在处的切线平行于直线 (1)求的值： (2)求的单调区间和极值． 【变式1】（25-26高三上·山东泰安·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 【变式2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【变式3】（25-26高三上·黑龙江·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 题型十三 极值点个数求参数范围 解｜题｜技｜巧 1.核心转化： 极值点个数⇔的变号零点个数 导函数为二次函数： 0个极值点：（恒正/恒负） 1个极值点：（重根，不变号，无极值） 2个极值点：（两不等根，均变号） 2.含参讨论： 最高次项系数：→一次；→二次 判别式： 根与定义域：根是否在定义域内 3.数形结合：画图像，看与轴交点及符号变化 4.易错点： 把根的个数当极值点个数（未验证变号） 忽略定义域（根不在定义域内不算） 判别式计算错（二次函数系数错） 【典例1】（25-26高三上·青海西宁·期中）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是__________. 【变式1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是________. 【变式2】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是______． 【变式3】（24-25高二下·河北承德·期中）已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 题型十四 求函数的最值 解｜题｜技｜巧 1.闭区间最值（万能步骤）： 求内所有极值点（驻点+不可导点） 计算：极值点函数值、端点值 比较：最大→最大值；最小→最小值 2.开区间/无穷区间最值： 唯一极值点：极值即最值（单峰/单谷） 多个极值点：结合单调性、极限趋势分析 3.口诀：极值看零点，最值比四点（极值、端点、不可导、无定义） 4.技巧： 单调函数：最值在端点 偶函数：对称区间最值在对称点 4.易错点： 漏端点值（仅比较极值） 漏不可导点（如，） 开区间误判最值（无端点，仅极值） 【典例1】（25-26高三上·湖南·期中）已知函数若则的最大值为__________. 【变式1】（25-26高三上·福建龙岩·期中）函数的最小值为__________. 【变式2】（25-26高三上·福建厦门·期中）函数的最大值为__________. 【变式3】（23-24高二下·湖南·月考）函数的最小值为________. 题型十五 由函数的最值求参数 解｜题｜技｜巧 1.方法选择： 分离参数法（首选）：⇔；⇔ 分类讨论法：参数影响单调性、极值、最值，分情况求最值列方程 2.步骤： 求最值（含参表达式） 列方程：最值=已知值 解方程求参数，验证最值合理性 3.含参区间最值： 讨论极值点与区间位置关系（内、左、右） 不同位置对应不同最值点，列方程求解 4.易错点： 最值表达式错（单调性分析错） 方程解错（含参方程漏解） 验证不全（参数值导致定义域/极值异常） 【典例1】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数的最小值是，则实数______． 【变式1】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知为自然对数的底数，若函数的最大值与函数的最小值相等，则实数的值是__________. 【变式2】（24-25高三上·湖南·月考）已知函数，若存在，使得，且的最小值为1，则___________. 【变式3】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数的最小值为0，则的取值范围为______. 题型十六 导数与不等式恒成立问题 解｜题｜技｜巧 1.核心转化（万能）： 在恒成立⇔ 在恒成立⇔ 2.方法优先级： 1.分离参数法：优先尝试，转化为求函数最值 2.构造函数法：移项构造，求 3.分类讨论法：参数无法分离时，讨论参数范围 4.放缩法：用、等放缩 3.端点效应（压轴常用）： 端点处，则（必要条件），再验证充分性 4.易错点： 分离参数时不等号方向错（乘负数未变号） 构造函数符号错（） 忽略定义域（最值在定义域外） 【典例1】（25-26高三上·河北·期中）若 对任意的恒成立，则a的取值范围是________. 【变式1】（25-26高三上·吉林长春·期中）已知函数．若恒成立，求实数a的取值范围_____． 【变式2】（25-26高三上·山西大同·月考）若不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【变式3】（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数，若在处的切线斜率为，则____________；若恒成立，则的取值范围为____________________ 题型十七 三次函数的极值与最值 解｜题｜技｜巧 1.三次函数标准式：， 2.极值判定（核心）： 判别式 ：2个极值点（） ：极大，极小 ：极小，极大 ：无极值，在单调 3.闭区间最值： 有极值：比较 无极值：比较 4.图像性质： ：左低右高；：左高右低 对称中心： 5.易错点： 判别式错（记成，漏系数3） 符号对极值影响错（与极值相反） 最值漏端点/极值（比较不全） 【典例1】【多选题】（25-26高三上·河北衡水·期中）若函数，则（　　） A．在上单调递减 B．当时，的值域为 C．只有一个零点 D．曲线关于点对称 【变式1】【多选题】（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．直线是曲线的切线 【变式2】【多选题】（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，，则（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时，有两个极值 C．若有三个不同零点，则 D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【变式3】【多选题】（2025·陕西西安·模拟预测）设三次函数，其中，则以下正确的是（    ） A．若，且函数的对称中心为，则的极小值点为 B．若的导函数，则函数有3个零点 C．若且有三个相异且成等差的零点，则的取值范围为 D．若的两个极值点为，且，极大值为21，则极小值为17 题型十八 函数的极值最值单调性综合题型 解｜题｜技｜巧 1.综合思维：单调性→极值→最值→不等式/零点，环环相扣 2.解题流程（名师模板）： 第一步：定义域+求导+因式分解 第二步：讨论单调性（含参分类） 第三步：求极值点、极值（判符号） 第四步：求区间最值（比较极值+端点） 第五步：用单调性/极值/最值解决问题（不等式、零点、参数） 3.答题规范： 列表格：清晰展示区间、导数符号、单调性、极值 分点作答：逻辑清晰，步骤完整（防步骤分丢失） 4.压轴技巧： 隐零点：设而不求，代换消参 同构构造：复杂不等式同构为简单函数 放缩：常用不等式简化证明 5.易错点： 步骤跳跃（漏定义域、漏验证） 分类讨论不全（参数范围漏情况） 计算连环错（求导→极值→最值连锁错误） 【典例1】（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求极值点的个数； (3)当时，求函数零点的个数. 【变式1】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)当时， （i）证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点； （ii）证明：. 【变式2】（25-26高三上·辽宁·期中）已知，函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)若存在使得对任意成立，求的最小值. 【变式3】（25-26高三上·云南红河·月考）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值. 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高三上·河北唐山十校·期中)已知函数，则在上的极值为（   ） A． B．1 C． D． 2．(24-25高二下·山东德州优高联盟·期中)已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·吉林松原·期中)已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 5．(25-26高三上·山东聊城·期中)已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·)已知是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．函数，下列说法正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．是奇函数 C．在区间上的值域为 D．若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 三、填空题 8．(25-26高三上·山东沂源县第一中学·期中)已知函数，则函数在点处的切线方程为______. 9．已知函数，则__________. 四、解答题 10．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)已知函数. (1)当时，求函数在上的极值； (2)当时，求函数的单调区间． 11．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·月考)已知函数在处取得极大值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 12．(25-26高三上·安徽部分学校·)已知函数. (1)若曲线在点处的切线与x轴平行，求实数a的值； (2)若，求的单调区间. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．(25-26高三上·重庆部分校·月考)若，则（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高三上·陕西西安铁一中学·月考)对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 3．(24-25高二下·辽宁葫芦岛连山区东北师范大学连山实验高中·期中)若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 二、填空题 5．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中)已知点，分别是函数与图象上的点，则的最大值为________ 6．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期中)已知函数有两个极值点，则的取值范围是__________. 7．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中)若函数与函数有相等的极小值，则实数__________. 8．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若恒成立，则实数a的取值范围为________. 9．(24-25高二下·河北保定六校联盟·期中)定义在上的函数满足且，则满足的的取值范围为________． 10．(24-25高二下·福建部分名校·期中)已知是函数的导函数，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为______. 11．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知函数有两个零点，则实数的取值范围是__________． 12．(24-25高二下·北京东直门中学·期中)关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______________. 13．(23-24高二下·安徽池州贵池区·期中)若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是______． 三、解答题 14．(25-26高三上·北京朝阳区·期中)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．(25-26高三上·江苏无锡·期中)已知函数的三个零点为，，，且，则下列结论不正确的是（    ）． A．在上单调递减 B．曲线是中心对称图形 C．，都有 D．，都有 2．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(25-26高三上·山东潍坊部分学校·期中)已知是曲线的两条互相垂直的切线的交点，则下列说法正确的是（　　） A．若，则点不存在 B．若，则点坐标为 C．若，则点在直线上 D．若，且点在图象上，则的取值范围是 三、填空题 4．(24-25高二下·北京第五十七中学·期中)已知函数和（且），若两函数图象相交，则其交点的个数以下正确的是______． （1）当函数和的图象有两个公共点； （2）当时，函数和的图象有两个公共点； （3）当时，函数和的图象有一个公共点； （4）当函数和的图象只有一个公共点． 5．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知A，B两点在曲线上，C，D两点在曲线上，给出下列四个结论： ①的最小值为； ②当与坐标轴平行时，最小值为2； ③当四边形为正方形时，设正方形面积为S，则； ④当直线均为曲线和的公切线时，线段的中点在轴上． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题 6．(25-26高三上·江苏南通启东·期中)已知函数的导函数． (1)求的最大值； (2)当时，若是曲线在点处的切线方程． ①证明：对于定义域内任意成立； ②设过点的直线与直线垂直，，与轴的交点分别为，，表示的面积．是否存在实数，满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 导数的概念极限的计算 题型02 求在某点处的切线方程 题型03 求过某点的切线方程及求参数 题型04 公切线问题 题型05 切线条数问题 题型06 导数的四则运算 题型07 由区间单调性求参数 题型08 讨论含参数函数的单调性 题型09 由单调性比较大小解抽象不等式 题型10 构造函数比较大小 题型11 由函数的极值极值点求参数 题型12 求函数的极值极值点 题型13 极值点个数求参数范围 题型14 求函数的最值 题型15 由函数的最值求参数 题型16 导数与不等式恒成立问题 题型17 三次函数的极值与最值 题型18 函数的极值最值单调性综合题型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 考点1：导数的概念及其几何意义 1能准确复述导数的定义，区分“平均变化率”与“瞬时变化率”，能利用极限表达式简单判断导数是否存在2能熟练运用导数的几何意义，快速求解已知切点的切线方程，能判断一条直线是否为函数某点的切线3能结合物理场景，理解导数的瞬时意义（如瞬时速度），完成简单的物理与数学的转化 命题趋势：基础必考点，必考选择/填空，以基础题为主，多考查切线方程求解、导数定义的简单辨析，难度中等偏易易错点：①混淆“导数存在”与“函数连续”（导数存在→函数连续，反之不成立）②求解切线方程时，漏代切点坐标或算错导数③忽略“切线过某点但该点不是切点”的情况 考点2：导数的运算 1能熟练背诵并默写基本初等函数的导数公式，无遗漏、无符号错误2能准确运用四则运算法则求导，尤其是积、商法则的符号处理，能对复杂函数（如分式、乘积型）进行求导化简3能识别简单复合函数，掌握“换元法”求复合函数导数，做到不丢层、不看错内层函数4能快速完成“求导→代入求值”的连贯操作，确保计算准确率 命题趋势：核心工具，贯穿全卷，所有导数大题、小题均需用到，单独考查以选择/填空为主，考查公式应用、四则运算、复合函数求导易错点：①基本公式记混（如与混淆）②商法则应用错误（漏记分母平方，符号出错）③复合函数求导漏层（如，误求为，忽略内层导数2）④三角函数求导符号错误（如漏写负号） 考点3：利用导数判断函数的单调性 1能准确掌握导数与单调性的关系，明确“导数符号决定单调性”2能熟练完成“求导→解不等式（或）→结合定义域→写出单调区间”的完整步骤3能利用函数单调性，快速比较两个自变量对应的函数值大小，解决简单的大小比较问题4能处理“已知单调性求参数”问题，掌握“分离参数法”“分类讨论法”，准确确定参数的取值范围（不遗漏定义域限制） 命题趋势：高频考点，大题必考，多以解答题形式考查，常结合函数解析式（分式、指数、对数、二次型），先求单调区间，再结合单调性求参数，难度中等易错点：①求单调区间时，忽略函数定义域（如对数函数）②误将“（或）”当作单调递增（或递减）的充要条件（忽略“导数等于0的点不影响单调性”）③已知单调性求参数时，漏讨论参数的临界值，或分离参数时符号出错 考点4：利用导数求函数的极值与最值 1能准确区分“极值”与“最值”，牢记极值的判断方法（导数符号变化），不混淆“导数为0的点”与“极值点”2能熟练完成求极值的完整步骤，准确判断导数符号变化，求出极值点和极值，无计算错误3能掌握闭区间上函数最值的求解方法，不遗漏端点函数值，准确比较极值与端点值，确定最值4能解决“已知极值求参数”问题，结合导数方程的根的情况，分类讨论参数范围，避免漏解 命题趋势：核心重点，大题必考，常与单调性结合考查（先求单调区间，再求极值/最值），偶尔结合参数，难度中等偏难易错点：①误将“导数为0的点”当作“极值点”（忽略导数符号是否变化）②求最值时，遗漏闭区间的端点函数值③计算极值时，代入函数解析式出错④已知极值求参数时，忽略导数方程有两个不相等实根的条件（判别式） 考点5：导数在不等式中的简单应用 1能掌握“构造函数法”证明不等式，准确构造差函数（如），通过求导判断单调性、求最值，完成不等式证明2能结合函数单调性，将不等式转化为与的大小关系（注意函数定义域）3能处理不等式恒成立问题，熟练运用“最值法”（恒成立→最值满足条件），结合分离参数法，快速求解参数范围 命题趋势：高频难点，期中常考，解答题压轴设问，常结合指数、对数函数，考查不等式证明、恒成立求参数，难度偏难，是拉开分差的关键易错点：①构造差函数时，符号出错（如误将构造为）②证明不等式时，未验证最值是否等于0（或满足不等式）③恒成立问题中，混淆“最大值”与“最小值”（如需最小值≥k，误求最大值） 考点6：导数在实际问题中的简单应用 1能准确理解实际问题的题意，快速梳理数量关系，构建符合题意的函数模型，标注正确的定义域2能运用导数求函数的极值与最值，结合实际意义筛选出合理的答案3能完整书写实际优化问题的解题步骤，做到逻辑清晰、表述规范 命题趋势：期中常考，多以解答题中档设问出现，结合生活实际场景，考查函数建模与导数应用，难度中等易错点：①构建函数模型时，数量关系梳理错误，列出错误的函数解析式②忽略实际问题中自变量的取值范围（定义域不符合实际意义）③求出最值后，未结合实际场景验证合理性，保留不符合题意的答案 知识点01 导数的定义与本质 核心概念 平均变化率：函数在区间上的变化率为 瞬时变化率（导数定义）：函数在处的导数 导函数：若在区间内每一点可导，则为其导函数，记作或 解题技巧 用定义求导数：三步法→求增量→求比值→求极限 导数存在的前提：函数在处连续（可导必连续，连续不一定可导） 易错点 混淆“导数存在”与“函数连续”：如在处连续，但不可导（左导数=-1，右导数=1，不相等） 用定义求导时，错误将当作的变量，忽略的极限本质 知识点02 导数的几何意义 核心概念 函数在处的导数等于该点切线的斜率，即 切线方程：已知切点，切线方程为 法线方程：与切线垂直的直线，斜率为（） 解题技巧 求切线方程：先求导→算处的导数值（斜率）→代入点斜式 求“过某点的切线”：先设切点，写切线方程，再将已知点代入求 易错点 求解切线方程时，漏代切点坐标，仅用斜率写方程 误将“切线与函数只有一个交点”作为判定依据（如在处的切线与函数有多个交点） 忽略“切线过某点但该点非切点”的情况，直接用该点求斜率 知识点03 三次函数的图像与性质 核心概念 三次函数一般形式：（） 图像与性质 参数特征 图像趋势 极值情况 单调性规律 左低右高（时；时） 有两个极值点（极大值+极小值）当且仅当 导数，时单调递增；时单调递减 左高右低（时；时） 有两个极值点当且仅当 导数，时单调递增；时单调递减 图像与x轴相切 无极值（导数不变号） 函数在上单调（递增，递减） 图像与x轴仅有一个交点 无极值（导数不变号） 函数在上单调（递增，递减） 极值判定（三次函数核心） 求导得，计算判别式 若：有两个不等实根（） 当时：为极大值点，为极小值点，极大值，极小值 当时：为极小值点，为极大值点，极小值，极大值 若：恒正或恒负，函数无极值 易错点 计算三次函数判别式时，漏乘系数（错误将算成，忽略三次函数导数是二次函数，系数为） 混淆极值点与最值点：三次函数无极值点时，闭区间上的最值仅在端点取得；有极值点时，需比较极值与端点值 忽略的符号对极值大小的影响（如时是极大值点，时相反） 知识点04 核心公式与法则 1.基本初等函数的导数公式（必背） 原函数 导函数 备注 （常数） 常数的导数为0 （） 幂函数求导，指数减1，系数乘原指数 自然指数函数导数不变 （） 一般指数函数导数乘 （） 自然对数函数导数为 （） 一般对数函数导数乘 正弦导数为余弦 余弦导数为负正弦 2.导数的四则运算法则 和差法则： 数乘法则：（为常数） 乘积法则： 商法则：（） 3.复合函数求导法则 核心公式 若，，则复合函数的导数为： 解题技巧 拆分复合函数：找“内层函数”和“外层函数”，分层求导再相乘 常见复合类型：→；→ 易错点 复合函数求导漏乘“内层函数的导数”：如，误求为，漏乘内层导数2 拆分内层函数时出错：如，内层函数应为，而非 知识点05 利用导数判断函数单调性 1.确定函数的定义域（关键前提，忽略定义域必出错） 2.求导得，并化简（因式分解便于解不等式） 3.解不等式，得单调递增区间；解，得单调递减区间 4.结合定义域，写出最终单调区间（区间之间用“，”或“和”连接，不能用） 解题技巧 含参数的单调性问题：分类讨论参数对符号的影响（如参数在二次项系数、一次项系数等位置） 分式型函数求导：先通分再判断符号，避免复杂计算 易错点 忽略函数定义域：如的定义域为，解单调区间时需限制范围 误将（或）作为单调递增（或递减）的充要条件：仅当的点为孤立点时，函数才单调（如，，但仍单调递增） 区间连接错误：单调区间不能用，需用“，”或“和”分隔 知识点06 利用导数求函数的极值与最值 极值求解步骤 1.求定义域，求导 2.求的根（驻点），以及不存在的点 3.用驻点划分定义域，判断在各区间的符号 4.根据符号变化判定极值：左正右负→极大值点；左负右正→极小值点；符号不变→无极值 5.计算极值点对应的函数值，得极值 闭区间最值求解步骤 1.求开区间内的极值点及极值 2.求闭区间端点的函数值、 3.比较极值与端点值，最大者为最大值，最小者为最小值 解题技巧 三次函数最值：结合其图像性质，先判断是否有极值，再结合区间端点求解 恒成立求参数：转化为“最值问题”，如恒成立；恒成立 易错点 求极值时，仅找的根，未判断符号变化（如，，但无极值） 求闭区间最值时，遗漏端点函数值 含参数的最值问题，未分类讨论参数范围，导致漏解 题型一 导数的概念极限的计算 解｜题｜技｜巧 1.定义式牢记：，或等价形式 2.三步计算法： 求增量： 求比值： 取极限： 3.极限化简技巧： 分式型：通分、因式分解、有理化（分子/分母） 指数/对数型：利用等价无穷小（时，，） 三角函数型： 4.易错点规避： 极限必须是，不能直接代入 区分与（常数导数为0） 可导必连续，连续不一定可导（如在） 【典例1】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由导数的定义化简已知，即可求解. 【详解】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 【变式1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算得解. 【详解】由函数在处可导，且， 得. 故选：B 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期中）设函数在点处可导，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用极限的运算法则，即可求解. 【详解】由， 因为，所以. 故选：B. 【变式3】（24-25高二下·河北·期中）有一机器人的运动方程为（t是时间，单位：s；s是位移，单位：cm），则该机器人在时的瞬时速度是在时的瞬时速度的（   ） A．1倍 B．倍 C．2倍 D．倍 【答案】B 【分析】利用导数的运算法则先求导得，将和代入即可求解. 【详解】由题意有，所以． 故选：B. 题型二 求在某点处的切线方程 解｜题｜技｜巧 1.核心公式：切点，斜率，切线方程 2.标准步骤： 验切点：确认点在曲线上 求导：计算，代入得斜率 写方程：点斜式→化为一般式/斜截式 3.速算技巧： 幂函数：切线 指数函数：切线 4.易错点： 忘记验证点在曲线上，直接求导 斜率计算错误（公式记混、符号错） 切线方程化简错误（移项、系数处理） 【典例1】（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______． 【答案】 【分析】先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值. 【详解】由，求导可得，将切点的横坐标代入， 得到切线的斜率，则切线方程为，即， 由，求导可得， 由曲线在点处的切线与曲线相切， 则曲线的切线为， 令，解得， 将代入，可得，得到曲线上切线的切点为， 将代入，可得，解得． 故答案为:． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为_____________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设，则，又为上的奇函数， 所以， 即当时，，当时，， 所以的图象在处的切线方程为，即． 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·广东东莞·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义可求切线方程. 【详解】因为，故， 故曲线在点处的切线方程为， 故选：B. 【变式3】（24-25高三上·河南·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程. 【详解】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 题型三 求过某点的切线方程及求参数 解｜题｜技｜巧 1.核心方法：设切点法（必用） 设切点，斜率 切线方程： 代入已知点： 解方程求，回代得切线方程 2.参数求解： 切线含参：将切点方程、斜率方程联立，解参数 已知切线斜率：，先求，再写方程 3.易错点： 直接用已知点当切点（已知点不一定在曲线上） 方程解错（一元二次方程漏根、判别式错） 多切线情况漏解（如过三次函数外一点有2条切线） 【典例1】（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 【变式1】（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用商的导数来求正切函数的导数，即可求在某点处的切线方程； （2）利用导数公式来求经过某点的切线方程. 【详解】（1）由， 则，， 则所求的切线方程为：， 即 （2）由，设切点为， 则， 切线方程为： 又在切线上，则，得. 所以的方程为：， 即 【变式2】（24-25高二下·陕西西安·月考）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）设出切点坐标，求得切线方程并代入，求得切点坐标，进而求得切线方程. 【详解】（1）由得， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）设切点为，， 则，切线方程为， 将代入上式得，， 由于，故上式可整理为， ，解得或， 所以切线方程为或， 即或. 【变式3】（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以 ， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 题型四 公切线问题 解｜题｜技｜巧 1.双切点设参法（通用）： 设切点，切点 斜率相等： 切线方程相等：与为同一直线 联立方程：消参得关系，求解 2.单公切点法（两曲线相切）： 公切点满足：且 3.参数范围：转化为方程解的个数，用函数零点/单调性分析 4.易错点： 漏斜率相等条件，仅用切线方程相等 消参错误（变量混淆、计算错） 公切线条数判断错误（未分析方程根的个数） 【典例1】（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为_____. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则______． 【答案】1 【分析】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在轴上的截距相等即可求解. 【详解】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1 【变式2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 【变式3】（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【详解】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 题型五 切线条数问题 解｜题｜技｜巧 1.核心转化：过点切线条数⇔方程的实根个数 2.构造函数法： 令 求，分析单调性、极值 结合零点存在定理：根的个数=切线条数 3.结论速记： 一次函数：1条切线 二次函数：点在曲线外→2条；上→1条；内→0条 三次函数（）：最多3条切线 4.易错点： 构造函数符号错误（表达式写错） 极值分析错误（未判断极值正负） 忽略定义域限制（如对数函数） 【典例1】（24-25高二下·江西·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 【变式1】（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式2】（23-24高三上·陕西西安·期中）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是____________. 【答案】或 【分析】设切点，求导得切线方程，进而根据过点，将问题转化为方程有两个不相等实根，求得的范围. 【详解】设切点， 则切线方程为， 又切线过，则， 有两个不相等实根， 其中 或. 故答案为：或 【变式3】（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 题型六 导数的四则运算 解｜题｜技｜巧 1.公式牢记： 和差： 数乘： 乘积：（前导后不导+后导前不导） 商：（上导下不导-下导上不导，分母平方） 2.复合函数求导：链式法则，分层求导、不丢内层 3.化简技巧： 先化简再求导（通分、因式分解、去根号） 对数函数：先展开，再求导 根式：化为分数指数幂 4.易错点： 乘积/商法则符号错（漏负号、顺序错） 复合函数漏内层导数（如） 基本公式记混（、） 【典例1】【多选题】（24-25高二下·青海西宁·期中）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．已知函数，若，则 C．若，则 D．曲线上点P处切线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【分析】利用导数公式求导判断ABC选项，根据导数和倾斜角的关系和正切函数图象判断D选项． 【详解】对于A，易得，故A错误； 对于B，，令，解得，故B正确； 对于C，，则，解得，故C正确； 对于D，，即，而，则，故D错误. 故选：BC 【变式1】【多选题】（24-25高二下·河北保定·期中）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据导数的求导公式及求导法则判断ABC，根据复合函数的求导公式判断D. 【详解】因为， ， ， ， 所以ACD错误，B正确. 故选：ACD. 【变式2】【多选题】（24-25高二下·吉林长春·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用导数运算则、求导公式逐项求导判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，. 故选：BC 【变式3】【多选题】（24-25高二下·安徽·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用常数函数的求导法则判断A，利用对数函数的求导法则判断B，利用同角三角函数的基本关系结合三角函数的求导法则判断C，利用幂函数的求导法则判断D即可. 【详解】对于A，易得，故A错误， 对于B，由对数运算性质得， 则，故B正确， 对于C，由同角三角函数的基本关系得， 则，故C正确， 对于D，由幂函数求导法则得，故D错误. 故选：BC 题型七 由区间单调性求参数 解｜题｜技｜巧 1.核心转化： 在递增⇔在恒成立（且不恒为0） 在递减⇔在恒成立（且不恒为0） 2.方法优选： 分离参数法（首选）：恒成立⇔；恒成立⇔ 分类讨论法：参数在二次项系数、判别式、根的位置讨论 3.端点处理： 开区间：（等号可取，孤立点不影响） 闭区间：验证端点导数符号 4.易错点： 用代替（漏等号，参数范围缩小） 分离参数时不等号方向错（乘负数未变号） 忽略定义域（如隐含） 【典例1】（25-26高三上·山东·月考）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】把函数化成，换元，令，利用复合函数的单调性法则把问题转化为在上也单调递增，求导，可得到答案. 【详解】 设 ，易知在上单调递增，则， ， 由复合函数的单调性法则：同增异减，可得： 要使在上单调递增，只需在上也单调递增， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即，由于条件也是“”， 所以“”是“ 在 上单调递增”的充要条件. 故答案为：C 【变式1】（25-26高三上·安徽淮北·期中）若函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导函数，转换成不等式恒成立问题，然后换元，数形结合即可得出答案. 【详解】由题可知恒成立， ，即恒成立， 设，则在恒成立， ，则，解得， 故选：C. 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 【变式3】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)设函数，若在定义域上存在减区间，求实数的取值范围； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数及导数，利用导函数在上有解求出的范围. （2）等价变形给定不等式并构造函数，利用函数单调性定义确定单调性，再利用导数结合单调性求出的范围. 【详解】（1）由函数，得，函数的定义域为， 求导得，由在定义域上存在减区间，得在上有解， 因此不等式在上有解，而恒成立，则， 所以实数的取值范围是. （2）由函数的定义域为， 对任意的，且，都有，不妨设， 则， 设，即，， 因此函数在上是增函数， 于是对恒成立， 即对恒成立，而， 当且仅当时取等号，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 题型八 讨论含参数函数的单调性 解｜题｜技｜巧 1.标准步骤： 求定义域（第一步必做） 求导，因式分解/求根 分类讨论（按最高次项系数、判别式、根的大小、根与定义域关系） 列表：分区间、标符号、写单调性 2.讨论顺序（二次型导函数）： 二次项系数→一次函数 ：判别式→恒正/恒负；→求根，比较大小 3.速记口诀：定义域优先，导数因式分解，从高次到低次，从判别式到根 4.易错点： 漏定义域（导致区间错误） 讨论不全（漏、、根相等情况） 区间符号判断错（导数因式符号分析错） 【典例1】（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 【答案】(1)在单调递增，在单调递减； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数导数，再按分类讨论求解函数的单调性. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【变式1】（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分，，，四种情况进行讨论. 【详解】（1），， 所以切线方程为，即. （2）定义域为. 令，得. 当时， - 0 + 单调递减 单调递增 所以，在上单调递减，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【变式2】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合导数，分及进行讨论即可得； （2）将不等式化简后可令，可得在上单调递增，结合导数正负与单调性的关系求导后参变分离计算即可得. 【详解】（1），， 则当时，，故在上单调递减， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由题意可得， 整理得，令， 即对任意的，，当时，都有， 即在上单调递增， ， 则对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 由在上单调递增，则， 故. 【变式3】（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求得，得到且，即结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，即可求得函数的单调区间. 【详解】（1）解：当时，，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点为， 所以切线方程为，即. （2）解：由函数，可得函数的定义域，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，即，即，解得； 令，即，即，解得， 所以函数在上单调递减，在单调递增. 题型九 由单调性比较大小解抽象不等式 解｜题｜技｜巧 1.比较大小： 单调性+定义域：⇔ 奇偶性+单调性：奇函数对称区间单调性相同；偶函数相反 2.解抽象不等式（）： 去：利用单调性转化为自变量不等式 保定义域：且 解不等式组：得最终解集 3.技巧： 构造辅助函数：如、，分析单调性 赋值法：给抽象函数赋特殊值（） 4.易错点： 忽略定义域（解不等式漏范围） 单调性方向错（递增/递减混淆） 抽象函数性质用错（奇偶性、周期性） 【典例1】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性及单调性解不等式. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ， 则是偶函数，故的图象关于y轴对称， ， 当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而； 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 故 ． 故选：C． 【变式1】（25-26高三上·江苏·期中）已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及复合函数的单调性可确定为偶函数，且在上单调递增，构造函数，求导得函数单调性，即可利用单调性求解. 【详解】由题意知的定义域为R， ，故为偶函数， 当时，， 由于在上单调递增，对勾函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，因此在上单调递增， 构造，，当时，，故在上单调递减， 又，∴，即， 即，∴，即， 故选：A 【变式2】（25-26高三上·天津·期中）已知，，若成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性和单调性求解不等式即可. 【详解】由，得， 即为偶函数， 当时，，且， 即在单调递增，在单调递减， 所以， 等价于， 等价于， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B 【变式3】（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数判断是增函数，由奇偶性的定义可得是奇函数，由此可将不等式转化为，即可求得实数的取值范围. 【详解】令函数，则恒成立，所以是增函数. 又，且，所以是奇函数. 由，得， 即, 所以，解得. 故选：A. 题型十 构造函数比较大小 解｜题｜技｜巧 1.构造原则（同构/差函数）： 两式结构相似：同构法（变形为同一函数形式） 两式作差易求导：差函数法 2.常见构造模型（名师总结）： →构造 →构造 →构造 →构造 3.步骤： 构造→求导判单调性→比较自变量→得函数值大小 4.易错点： 构造函数错误（模型匹配错） 求导计算错（四则/复合错） 自变量大小比较错（未结合定义域） 【典例1】（25-26高三上·山西太原·期中）设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求导确定单调性从而得大小，设，求导得，设，，求导可得从而可得大小，进而得结论. 【详解】设，则， 所以时，，单调递减， 所以，即，则，即； 设，则， 故函数在上单调递减， 所以，即， 设，， 则在上恒成立， 故函数在上单调递减， 所以，即， 故，即； 综上，. 故选：C. 【变式1】（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知偶函数及其导函数的定义域均为，且对任意的都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，可得，根据题意，得到单调性，且为偶函数，把不等式转化为，得到，即可求解. 【详解】解：令，可得， 因为对任意时，都有， 所以，在上单调递增， 又因为函数为上的偶函数，可得也是上的偶函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，且图象关于轴对称， 由不等式，即， 即，所以，可得， 所以，解得，即不等式的解集为. 故选：B. 【变式2】（25-26高三上·全国·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求导得单调性从而得的大小，，求导得单调性判断大小，综合得结论. 【详解】由，设， 则恒成立，所以在上单调递增， 所以，即，所以，则； 由，设， 则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即，所以，则，故； 综上，. 故选：A. 【变式3】（23-24高二下·福建宁德·月考）已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导，确定单调性，即可比较大小. 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以在上单调递减. 因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B. 题型十一 由函数的极值极值点求参数 解｜题｜技｜巧 1.核心条件： 为极值点⇔且在两侧异号 极值：（代入原函数，非导函数） 2.解题步骤： 由列方程（1个/多个极值点列方程组） 验证：在两侧异号（必做，防增根） 代入求参数，回代检验 3.含参极值： 极值存在⇔有变号零点 极大/极小值：左正右负→极大；左负右正→极小 4.易错点： 仅用，未验证符号（如，非极值） 极值代入错函数（代入导函数而非原函数） 多参数方程组解错（消元错误） 【典例1】（25-26高三上·吉林长春·期中）已知函数有两个极值点与，若，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】求导可得两个根为与，令，分析可得为方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得，则，根据，代入化简，整理计算，即可得答案. 【详解】由题意的两个根为与， 即，所以， 同理，即， 令，则为方程的两个不相等实根， ，则， 所以判别式，解得. 又 ，所以， 综上，实数的取值范围. 故答案为： 【变式1】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）函数在时有极小值，那么的值为____. 【答案】30或6 【分析】由在时有极小值，可得，据此可得或，经验证后，可得答案. 【详解】，， 由题，又， 则 则或. 当，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则； 当，，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则. 故答案为：或. 【变式2】（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)若为的极小值点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得证； （2）当时令，，分析可得也是的极小值点，分、两种情况讨论，分别利用导数说明即可，当及时，结合的零点分类讨论. 【详解】（1）当 时, . 令，，则， 当 时, ,所以 单调递减，故， 又时，，所以； （2）①当 时, . 令，， 考察 ，所以. 因为为函数的极小值点，所以存在区间 (其中 )， 使得 时，，且 , 所以，从而 ,故也是的极小值点. 又， 令 ，则 ， 且 . 令，由于 ，则有两个不相等的实数根 ， . （i）当时,因为的对称轴，，则 . 当时, ,即,所以单调递增, 所以,则单调递减, 当时, ,即,所以 单调递增, 所以,则单调递增, 所以0是 的极小值点,符合题意.   （ii）当时,因为的对称轴，则 . 当时,，即，所以单调递减, 所以 ,则单调递减, 此时0不是的极小值点,不符合题意. 当时，则， 当 时, ,即,所以单调递减, 所以 ,则单调递增, 当时, ,即,所以单调递增, 所以 ,则单调递增, 此时 0 不是 的极小值点,不符合题意. ②由(1)知，当时,,此时0不是的极小值点,不符合题意. 当 时, ,即 , 当 ,.   （i）当 时, ,当 时, , 此时0不是的极小值点,不符合题意. （ii）当且时, ， 所以有两个不相等的实数根, 若 ,则 ,当时,,则 , 此时0不是的极小值点,不符合题意; 若 ,则 ,当 时, ,则 , 此时 0不是的极小值点,不符合题意. 综上所述,实数 的取值范围为 . 【变式3】（25-26高三上·北京通州·期中）已知函数的定义域为，其导函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若，求证：函数的图象恒在函数的图象的上方； (3)若为的极大值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意即证恒成立，令，即证恒成立，利用导数说明函数的单调性，即可求出，从而得证； （3）依题意可得在处左侧，右侧，结合（1）分和两种情况讨论，得到的单调性，即可得到，解得即可. 【详解】（1）因为定义域为， 令，则， 令，解得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）要证函数的图象恒在函数的图象的上方， 即证恒成立， 令，即证恒成立， 又， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以恒成立，原命题得证. （3）因为为的极大值点， 所以在处左侧（不要求为），右侧（不要求为）， 当时，恒成立， 所以即在上单调递增，又， 此时当时，当时， 则在处取得极小值，不符合题意； 当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 则，即，解得， 此时当时，当时，则为的极大值点，符合题意； 综上可得实数的取值范围为. 题型十二 求函数的极值极值点 解｜题｜技｜巧 1.标准五步（必背）： 求定义域 求导，求的根（驻点）及不存在点 分区间：用驻点划分定义域 判符号：列表分析在各区间符号 定极值：左正右负→极大值；左负右正→极小值；同号→无极值 2.速记口诀：定义域，求导找零点，分区间看符号，左增右减极大，左减右增极小 3.技巧： 导函数为二次函数：用判别式、根的分布分析 复杂函数：先化简再求导（对数展开、分式通分） 4.易错点： 漏不存在点（如，） 符号判断错（因式分解错、区间划分错） 极值计算错（代入原函数算错） 【典例1】（24-25高三上·福建厦门·期中）已知函数在处的切线平行于直线 (1)求的值： (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】1）由导数的几何意义计算即可； （2）利用导数求解单调性并研究函数的极值即可. 【详解】（1）由已知可得， 而直线的斜率为， 可得； （2）由（1）得， 则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 则的单调递增区间为，，单调递减区间为， 故极大值为，极小值为. 【变式1】（25-26高三上·山东泰安·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1)单调区间见解析 (2)极值见解析 【分析】（1）求出导函数，通分，然后按照和分类讨论即可得解； （2）按照、和分类讨论，根据极值的定义来求解. 【详解】（1）由得， 当时，，在上单调递增； 当时，令且得， 令且得， 故在上单调递减，在 上单调递增； 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，在上单调递增，无极值； 当，即时，在上单调递减，无极值； 当，即时，，且在上单调递减， 在上单调递增， 故函数在处有极小值，无极大值. 【变式2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1)1 (2)极大值为，极小值为. 【分析】（1）求导数，由切线平行于直线可知道的值，建立方程解得的值； （2）由（1）得导数，令，从而得到函数单调递增区间，列表得到函数的极值. 【详解】（1）由题意得， 曲线在点处的切线平行于直线， ，； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 1 3 ＋ 0 － 0 ＋ 递增 极大值 递减 极小值 递增 极大值为，极小值为. 【变式3】（25-26高三上·黑龙江·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1)； (2)极大值为，无极小值. 【分析】（1）求导可得，代入切点横坐标，可得切线斜率k，根据，代入点斜式方程，整理即可得答案. （2）根据，令，可得单调递增区间，令，可得单调递减区间，分析计算，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以点处的切线斜率， 又，即切点为， 故在点处的切线方程为， 即； （2）因为的定义域为，所以， 令，解得，令得， 故得的单调递增区间是，单调递减区间是 所以函数的极大值为，无极小值. 题型十三 极值点个数求参数范围 解｜题｜技｜巧 1.核心转化： 极值点个数⇔的变号零点个数 导函数为二次函数： 0个极值点：（恒正/恒负） 1个极值点：（重根，不变号，无极值） 2个极值点：（两不等根，均变号） 2.含参讨论： 最高次项系数：→一次；→二次 判别式： 根与定义域：根是否在定义域内 3.数形结合：画图像，看与轴交点及符号变化 4.易错点： 把根的个数当极值点个数（未验证变号） 忽略定义域（根不在定义域内不算） 判别式计算错（二次函数系数错） 【典例1】（25-26高三上·青海西宁·期中）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性，结合题意，根据零点存在性定理列出条件，求解可得实数的取值范围. 【详解】已知，由题意知在内有变号零点， 显然在上单调递增， 故原条件等价于解得， 故实数的取值范围是. 故答案是. 【变式1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，依题意存在唯一的变号正实根，即存在唯一的变号正实根，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，， 则， 因为函数存在唯一极值点， 所以存在唯一的变号正实根， 即方程存在唯一的变号正实根， 当时，， 当时，，当时，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数存在唯一极值点1，符合题意； 当时，方程，即， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要使方程存在唯一的变号正实根，且已经有一个正实根1， 则，即， 此时，，即， 当时，；当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数存在唯一的极值点，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题可得与直线在时上恰有一交点，据此可得答案. 【详解】由题可知在上恰有一个变号零点， 即与直线在时上恰有一交点，易得函数在上单调递增，值域为，则时满足题意. 故答案为：． 【变式3】（24-25高二下·河北承德·期中）已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意得到有两根，转换成函数与函数的图象有两个交点，进而可求解. 【详解】，函数有两个极值点，则有两个零点， 即函数与函数的图象有两个交点，    当两函数图象相切时，设切点为，对函数求导， 则有解得 所以要使函数图象有两个交点，则即. 故答案为： 题型十四 求函数的最值 解｜题｜技｜巧 1.闭区间最值（万能步骤）： 求内所有极值点（驻点+不可导点） 计算：极值点函数值、端点值 比较：最大→最大值；最小→最小值 2.开区间/无穷区间最值： 唯一极值点：极值即最值（单峰/单谷） 多个极值点：结合单调性、极限趋势分析 3.口诀：极值看零点，最值比四点（极值、端点、不可导、无定义） 4.技巧： 单调函数：最值在端点 偶函数：对称区间最值在对称点 4.易错点： 漏端点值（仅比较极值） 漏不可导点（如，） 开区间误判最值（无端点，仅极值） 【典例1】（25-26高三上·湖南·期中）已知函数若则的最大值为__________. 【答案】2 【分析】根据函数图象，设出，再根据分段函数解析式，用表示出，继而表示出关于的函数，求导后根据单调性求出最大值即可. 【详解】 令，由图象知，不妨设， 则，所以. 又因为，所以， 所以. 令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 故当时，有最大值2，所以的最大值为2. 故答案为：. 【变式1】（25-26高三上·福建龙岩·期中）函数的最小值为__________. 【答案】 【分析】由对数运算可得，设，求导分析单调性得出值域，换元，对再求导分析单调性即可得最小值. 【详解】设，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 设， 则， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以. 故答案为：. 【变式2】（25-26高三上·福建厦门·期中）函数的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】换元，化简得，再换元得，令，利用得出的最大值与最小值，进而得到的值域，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 由于是奇函数且周期为，只需考虑 （值域对称）. 令，，则，（时，） 变为， 令， 对求导得： ，， 令，得或， 当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 当时，， 当时， 的最大值是， 的最大值为， 由于是奇函数， 故最小值为， 值域为，即的最大值为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·湖南·月考）函数的最小值为________. 【答案】/ 【分析】利用导数研究函数的单调性后可求最值. 【详解】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以， 即该函数的最小值为. 故答案为： 题型十五 由函数的最值求参数 解｜题｜技｜巧 1.方法选择： 分离参数法（首选）：⇔；⇔ 分类讨论法：参数影响单调性、极值、最值，分情况求最值列方程 2.步骤： 求最值（含参表达式） 列方程：最值=已知值 解方程求参数，验证最值合理性 3.含参区间最值： 讨论极值点与区间位置关系（内、左、右） 不同位置对应不同最值点，列方程求解 4.易错点： 最值表达式错（单调性分析错） 方程解错（含参方程漏解） 验证不全（参数值导致定义域/极值异常） 【典例1】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数的最小值是，则实数______． 【答案】 【分析】求导，令，再求导，从而可确定的单调性，由即可得的单调性，从而确定的最小值点，从而可求实数的值. 【详解】因为，所以， 令，则恒成立， 所以函数在上单调递增，即在上单调递增， 又， 则时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 故函数的最小值是，所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知为自然对数的底数，若函数的最大值与函数的最小值相等，则实数的值是__________. 【答案】/ 【分析】利用导数求的最小值，根据题设知先增后减，得到，应用导数及其最大值，列方程求参数值. 【详解】对于，有， 时，即在上单调递减， 时，即在上单调递增， 所以，故的最大值为1， 对于且，有， 显然先增后减，故， 时，即在上单调递增， 时，即在上单调递减， 所以，则. 故答案为： 【变式2】（24-25高三上·湖南·月考）已知函数，若存在，使得，且的最小值为1，则___________. 【答案】2 【分析】设，求得，构造，结合其单调性即可求解. 【详解】当时，单调递增，当时，单调递增， 又可得，且 因为存在，使得，所以，即. 不妨设，则， 即，所以. 设函数，则. 所以在上单调递减，，解得. 故答案为：2 【变式3】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数的最小值为0，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】令，有，换元可得，利用函数导数判断的单调性，求得.进而有解，分类讨论和结合函数单调性求得的取值范围. 【详解】令，则，由， 换元可得，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则. 因为函数的最小值为0，所以有解， 当时，不符合题意，当时，则，即有解. 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以或. 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：根据函数最小值求参数范围问题，常常构造函数结合函数导数判断函数单调性得到最值，结合参数的分类讨论得到参数范围； 题型十六 导数与不等式恒成立问题 解｜题｜技｜巧 1.核心转化（万能）： 在恒成立⇔ 在恒成立⇔ 2.方法优先级： 1.分离参数法：优先尝试，转化为求函数最值 2.构造函数法：移项构造，求 3.分类讨论法：参数无法分离时，讨论参数范围 4.放缩法：用、等放缩 3.端点效应（压轴常用）： 端点处，则（必要条件），再验证充分性 4.易错点： 分离参数时不等号方向错（乘负数未变号） 构造函数符号错（） 忽略定义域（最值在定义域外） 【典例1】（25-26高三上·河北·期中）若 对任意的恒成立，则a的取值范围是________. 【答案】 【分析】方法一：化同构，，设，利用导数的单调性与最值求解. 方法二：化同构，，设，利用导数的单调性与最值求解. 【方法一】第一步：化同构 由题意得，所以由，得，得. 第二步：换元，构造函数 设，则，设， 第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解 ，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，得， 所以的取值范围是. 【方法二】第一步：化同构 由题意得，所以由，得，得，得. 第二步：换元，构造函数 设，则，，设， 第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解 则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】（25-26高三上·吉林长春·期中）已知函数．若恒成立，求实数a的取值范围_____． 【答案】 【分析】分离参数，令，转化为，求导分析单调性，由隐零点代换求出即可. 【详解】不等式恒成立，即恒成立， 不等式等价于恒成立， 令， ， 令， 求导得，函数在上单调递增， 又，则存在唯一，使得， 则，即，于是， 函数在上单调递增，则． 当时，，，则函数在上单调递增； 当时，，，则函数在上单调递减， 因此，则， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高三上·山西大同·月考）若不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将已知不等式化为，设，结合单调性可求得；令，利用导数可求得的单调性，得到，由此可得的取值范围. 【详解】由得：， 设，则， 与均为上的增函数，在上单调递增， ，即； 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数，若在处的切线斜率为，则____________；若恒成立，则的取值范围为____________________ 【答案】 【分析】对函数求导，进而求导数值；法一：问题化为恒成立，利用导数求右侧的最小值，即可得；法二：由，应用导数及放缩法求参数范围. 【详解】，，则， 法一：恒成立，得，即， 令，则， 令，，得，则在上单调递增， 由指数函数与反比例函数，使得， 所以时，，时，， 即时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有极小值，即最小值， 由，，则，即； 法二：， 令且，则，故在上单调递增，则， 由，则，在上，即在上单调递减，在上，即在上单调递增， 所以，即， 综上，，而，当且仅当，即时取“=”， 所以. 故答案为：；. 题型十七 三次函数的极值与最值 解｜题｜技｜巧 1.三次函数标准式：， 2.极值判定（核心）： 判别式 ：2个极值点（） ：极大，极小 ：极小，极大 ：无极值，在单调 3.闭区间最值： 有极值：比较 无极值：比较 4.图像性质： ：左低右高；：左高右低 对称中心： 5.易错点： 判别式错（记成，漏系数3） 符号对极值影响错（与极值相反） 最值漏端点/极值（比较不全） 【典例1】【多选题】（25-26高三上·河北衡水·期中）若函数，则（　　） A．在上单调递减 B．当时，的值域为 C．只有一个零点 D．曲线关于点对称 【答案】ACD 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】由条件得： 选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确； 选项B：当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，的值域为，故B错误； 选项C：由于在上单调递减，在和上单调递增， 即， 又， 所以只有一个零点，故C正确； 选项D：因为， 所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：ACD. 【变式1】【多选题】（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．直线是曲线的切线 【答案】ABD 【分析】根据函数的对称性判断A；求导，利用导数研究函数的单调性、极值和零点，即可判断BC；利用导数的几何意义求的切线方程，即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，所以关于对称，故A正确； 对于B，由得，令得：， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以有两个极值点(为极大值点，为极小值点），故B正确； 又，， 而趋向于负无穷大时也趋向于负无穷大；趋向于正无穷大时也趋向于正无穷大； 所以仅有1个零点(如图所示)，故C错误； 对于D，设切点，在处的切线为， 即， 若是其切线，则，则，此时切点为时， 切线方程为，故D正确. 故选：ABD 【变式2】【多选题】（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，，则（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时，有两个极值 C．若有三个不同零点，则 D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【答案】ACD 【分析】当时，可得恒成立，即可判断A；但时，恒成立，即可判断B；设函数展开整理可判断C；利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则与图象有3个不同的交点，利用导数研究的性质，即可判断D. 【详解】当时， 恒成立， 则函数在上单调递增，故选项A正确； 有2个极值， 但时，恒成立， 此时函数在上单调递增，无极值，故选项B错误； 设函数 ，故选项C正确； 设切点， 则切线方程为：， 代入点得：， 过点且与曲线相切的直线恰有3条与图象有3个不同的交点， ，或， 函数在单调递减，上单调递增，且， ，故选项D正确. 故选：ACD. 【变式3】【多选题】（2025·陕西西安·模拟预测）设三次函数，其中，则以下正确的是（    ） A．若，且函数的对称中心为，则的极小值点为 B．若的导函数，则函数有3个零点 C．若且有三个相异且成等差的零点，则的取值范围为 D．若的两个极值点为，且，极大值为21，则极小值为17 【答案】ACD 【分析】结合三次函数的对称中心、导数与极值、零点、极值点与极值的关系等性质进行判断. 【详解】对于选项A：由可得 因为函数的对称中心为， 所以对，，即， 所以，解得，又，解得. 所以，所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，的极小值点是，A正确； 对于B：因为，所以函数在单调递增，仅有一个零点，B错误； 对于C：因为，所以， 设三个相异且成等差的零点为， 则， 所以，得，又，所以， 由得，又，所以， 即的取值范围为，C正确； 对于D：由可得，， 则是方程的两根，所以， 又，所以，所以. 又由是函数的两个极值点，可得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值. 所以，即，解得， 所以，所以，， 所以极小值，D正确； 故选：ACD. 题型十八 函数的极值最值单调性综合题型 解｜题｜技｜巧 1.综合思维：单调性→极值→最值→不等式/零点，环环相扣 2.解题流程（名师模板）： 第一步：定义域+求导+因式分解 第二步：讨论单调性（含参分类） 第三步：求极值点、极值（判符号） 第四步：求区间最值（比较极值+端点） 第五步：用单调性/极值/最值解决问题（不等式、零点、参数） 3.答题规范： 列表格：清晰展示区间、导数符号、单调性、极值 分点作答：逻辑清晰，步骤完整（防步骤分丢失） 4.压轴技巧： 隐零点：设而不求，代换消参 同构构造：复杂不等式同构为简单函数 放缩：常用不等式简化证明 5.易错点： 步骤跳跃（漏定义域、漏验证） 分类讨论不全（参数范围漏情况） 计算连环错（求导→极值→最值连锁错误） 【典例1】（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求极值点的个数； (3)当时，求函数零点的个数. 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为. (2)2 (3)4 【分析】（1）利用导数求的单调区间； （2）设，利用分析的单调性及最值，根据其正负取值情况，分析的单调性，得到极值点的个数； （3）将函数零点的个数，可转化为方程的解的个数.因为，所以可转化为的解的个数，即函数的图象与的交点的个数.构造函数，分析函数的单调性、最值，作出简图，即可求得函数的图象与的交点的个数，从而得到函数零点的个数. 【详解】（1）当时，函数. ，且是增函数. 令，得；令，得； 所以的单调减区间为，单调增区间为. （2）当时，函数，则. 令，则，且是增函数. 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 所以在和上各存在一个零点（分别记为）. 所以当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 故有两个极值点. （3）函数零点的个数，可转化为方程的解的个数. 因为，所以可转化为的解的个数，即函数的图象与的交点的个数. 令函数. 则. 令，则. 显然，恒成立，所以在上为增函数. 又，，所以在上存在唯一零点，记作，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. ，所以. 所以的大致图象如下： 所以，函数的图象与有4个交点，即函数有4个零点. 【变式1】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)当时， （i）证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）对函数求导，求出函数在切点处的函数值和导数值，根据切线方程即可求出参数. （2）（i）对函数两次求导，判断单调性，根据零点存在定理确定极小值和零点；（ii）构造新函数，进行化简，求导，判断单调性，进而证之. 【详解】（1）已知，则， 对求导得，则. 因为曲线在点处的切线方程为，所以切线斜率为1， 即，所以，解得. （2）（i）由（1）知，令，对求导得. 则在上单调递增， . 根据零点存在定理，存在，使得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； . 根据零点存在定理，存在，使得； 当时，， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在上存在唯一极小值点. ， 根据零点存在定理，存在，使得. 所以在上存在唯一零点. （ii）令， 对求导得， 因为，，所以. 所以，即在上单调递增， 因为是极小值，在上单调递增， 所以，即. 因为在上单调递增，所以. 综上，. 【变式2】（25-26高三上·辽宁·期中）已知，函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)若存在使得对任意成立，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对函数求导，然后求出切点处的导数值和函数值，进而可求出切线方程； （2）设，对其求导，判断在上的单调性，然后根据零点存在定理确定存在唯一变号零点，即可证得； （3）由已知可得恒成立，令，通过求导结合（2）可得函数的最大值，将命题转化为存在，然后构造新函数，求导判断单调性求出最小值即可求解. 【详解】（1）， 则，可得切线方程为：， 即； （2）证明函数存在唯一的极值点，即证明在上存在唯一变号零点； ，设， 求导得，则在上单调递减， 而， ， 在上存在唯一变号零点，所以存在唯一的极值点； （3）根据题意，存在，对任意， 考虑到， 令，则其导函数为：， 由（2），设的变号零点为， 即， 可得，则有， 并且可知在上，得在上递增， 在上，得在上递减， 则, 命题转化为：存在， 令， ， 当时，在上递减； 当时，在上递增； 则， ，即. 【变式3】（25-26高三上·云南红河·月考）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值. 【答案】(1)增区间为和；减区间为 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先求出函数的导数，再根据函数的正负来确定函数的单调区间即可； （2）（i）先求出导数，根据函数有两个极值点可知导数对应的方程有两个不同的正根，再结合二次函数的性质来确定参数的取值范围； （ii）先根据韦达定理得到与的关系，将表示为关于的函数，最后利用导数求该函数的最小值. 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得或， 单调递增； 单调递减； 单调递增. 综上，的增区间为和；减区间为. （2）（i）， 又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根 则，解得， 经检验，当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，则，， ， 令， 则， 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 故当时，取得最小值， 所以，即的最小值为. 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高三上·河北唐山十校·期中)已知函数，则在上的极值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据极值的定义，结合导数的运算进行求解即可. 【详解】， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以在上的极值为， 故选：A 2．(24-25高二下·山东德州优高联盟·期中)已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在给定区间上为增，可判断导函数在此期间上恒为非负数，将问题转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由可得， 因函数在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立，故得，解得. 故选：B. 3．(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导可得，结合题意，当代入，即可求得答案. 【详解】因为，则， 故， 即该质点在时的瞬时速度为， 故选：C 4．(24-25高二下·吉林松原·期中)已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义结合题设条件，列出方程组，求解即得. 【详解】依题意，，解得. 故选：B. 5．(25-26高三上·山东聊城·期中)已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】对函数求导，根据导数的几何意义结合切线方程求出结果即可. 【详解】对函数求导得， 因为函数在点处的切线方程为， 所以有，解得. 所以. 故选：A. 6．(24-25高二·辽宁抚顺六校协作体·)已知是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的定义可化简所求极限. 【详解】． 故选：A. 二、多选题 7．函数，下列说法正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．是奇函数 C．在区间上的值域为 D．若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】利用求导来判断三次函数的单调区间，从而可判断A,利用的解析式可判断B，利用三次函数的单调性求值域可判断C，利用函数零点个数可判断D. 【详解】对于A，由， 当，得或，即在上单调递增， 当，得，即在上单调递减， 从而可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A错误； 对于B，由， ，所以是奇函数，故B正确； 对于C，由在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 所以在区间上的值域为，故C错误； 对于D，由在上单调递增，在上单调递减， 且，当，，当，， 所以方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为，故D正确； 故选：BD 三、填空题 8．(25-26高三上·山东沂源县第一中学·期中)已知函数，则函数在点处的切线方程为______. 【答案】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 9．已知函数，则__________. 【答案】 【分析】根据，令，得，进而求值即可. 【详解】函数， 则，所以， 所以， 则， ， 所以. 故答案为： 四、解答题 10．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)已知函数. (1)当时，求函数在上的极值； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)的单调递增区间为，，单调递减区间为 【分析】（1）根据函数极值和导函数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间，判断函数极值. （2）根据函数单调性和函数导数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，则， 令，即，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以在上的极小值小值为，无极大值； （2）当时，函数，定义域为， 则， 令，解得或， 当，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上：的单调递增区间为，，单调递减区间为. 11．(25-26高三上·北京师范大学附属中学·月考)已知函数在处取得极大值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导后结合极值定义计算即可得，得到结果注意检验； （2）得到函数在上的单调性后结合极值定义计算即可得. 【详解】（1），由题意可得，解得， 则； 检验：当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，故成立； 故； （2）由（1）知，当时， 在、上单调递减，在上单调递增， 又，， ，， 故在区间上的最大值为，最小值为. 12．(25-26高三上·安徽部分学校·)已知函数. (1)若曲线在点处的切线与x轴平行，求实数a的值； (2)若，求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调增区间为，单调减区间为. 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，则， 又因为曲线在点处的切线与x轴平行， 故，解得. （2）时，，定义域为， ，令可得， 当时，，当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．(25-26高三上·重庆部分校·月考)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先变形得到，构造函数，求导得到其在上的单调性，从而得到，. 【详解】因为，所以. 设函数，则，当时，单调递减， 所以，所以，故. 故选：B 2．(25-26高三上·陕西西安铁一中学·月考)对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】C 【分析】求出函数的对称中心后利用倒序相加法可求诸函数值的和. 【详解】因为，故，， 令，故，故 故曲线的对称中心为，故， 设， 则， 故即， 故选：C 3．(24-25高二下·辽宁葫芦岛连山区东北师范大学连山实验高中·期中)若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围. 【详解】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离， 将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小． 而，令，则，可得， 此时，Q到直线的距离，故， 所以． 故选：B 【点睛】关键点点睛：将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离且，结合导数的几何意义、点线距离公式求m的范围. 4．若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标，最后把切点坐标代入直线方程求出． 【详解】曲线方程求导得， 直线与曲线相切，设切点为，则，解得， 代入曲线方程得，故切点坐标为， 切点同时位于直线上， ，解得． 故选：B． 二、填空题 5．(24-25高二下·广东广州第六中学·期中)已知点，分别是函数与图象上的点，则的最大值为________ 【答案】 【分析】同构变形得到，构造，求导得到单调性，可得，则，设，求导，得到单调性，故，即得到答案. 【详解】由题意可知，，即， 又，，所以，则. 设，则，所以在上单调递增， 所以，则，所以，则. 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以的最大值为. 故答案为：. 6．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期中)已知函数有两个极值点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用函数的极值点与导数的关系可知关于的方程在时有两个不等的实根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，且， 所以，关于的方程在时有两个不等的实根、， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中)若函数与函数有相等的极小值，则实数__________. 【答案】 【分析】利用导数求出函数的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，求出的极小值，根据题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为，且， 令可得，列表如下： 增 极大值 减 减 极小值 增 所以，函数的极小值为， 函数的定义域为，则， 当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，无极值； 当时，由可得， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为， 所以，函数的极小值为，解得. 故答案为：. 8．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若恒成立，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围. 【详解】由，原不等式等价于 令 所以 设， 当单调递增；当单调递减； 且所以，所以， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以. 故答案为：. 9．(24-25高二下·河北保定六校联盟·期中)定义在上的函数满足且，则满足的的取值范围为________． 【答案】 【分析】构造函数，求导，判断函数的单调性，在结合函数的定义域，可求所给不等式的解集. 【详解】设函数，，则. 所以在上单调递增. 又当时，， 所以当时，即. 故答案为： 10．(24-25高二下·福建部分名校·期中)已知是函数的导函数，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】构造新函数，利用导数的单调性即可求解不等式. 【详解】设，所以， 所以在上单调递减，由， 可得，所以， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为： 11．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知函数有两个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，把函数有两个零点转化为方程有两个不同的根，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，从而求解实数的取值范围． 【详解】函数有两个零点， 有两个不同的根， 当时，左边为，右边为，左边不等于右边，故不是方程的解； 当时，， 令，求导得， ， ， 在上单调递增，在上单调递增， 当时，，且, 当时，， 当时，，当时，，， 函数图像如下图所示， 要使与的图像有两个交点，则需满足，此时与在和上各有一个交点． 实数的取值范围为， 故答案为：． 12．(24-25高二下·北京东直门中学·期中)关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【分析】由题可知函数与的图象有3个交点，利用导数的几何意义可求相切时，然后利用数形结合即得. 【详解】因为关于的方程有3个不同的实数解， 所以函数与的图象有3个交点， 当与相切时， 由，则，所以切点坐标为， 则此时， 作出函数与的大致图象， 所以，即． 故答案为：． 13．(23-24高二下·安徽池州贵池区·期中)若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是______． 【答案】 【分析】当P为与直线平行且与曲线相切的切线的切点时，点P到直线的距离最短，根据导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果. 【详解】由可得， 设与直线平行，且与曲线相切的直线，对应切点坐标为， 则，解得，则， 则点到直线的距离，即为点P到直线的最小距离， 即为. 故答案为：. 三、解答题 14．(25-26高三上·北京朝阳区·期中)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．(25-26高三上·江苏无锡·期中)已知函数的三个零点为，，，且，则下列结论不正确的是（    ）． A．在上单调递减 B．曲线是中心对称图形 C．，都有 D．，都有 【答案】D 【分析】求导后结合定义域即可得A；计算为定值可得B；结合函数单调性可得，，取值范围，再计算出，结合在上单调性即可得C；举出反例即可得D. 【详解】对A：由，则其定义域为， ，则当时，恒成立， 故在、、上单调递减，故A正确； 对B：， 又定义域为，故曲线关于点对称， 即曲线是中心对称图形，故B正确； 对C：由在、、上单调递减， 且函数有三个零点，则，，， 则，有， 又，即， 则， 由，则，则， 又，且，在上单调递减， 故对恒成立，故C正确； 对D：取，则， 则有，， 即，，此时，故D错误. 故选：D. 2．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D 二、多选题 3．(25-26高三上·山东潍坊部分学校·期中)已知是曲线的两条互相垂直的切线的交点，则下列说法正确的是（　　） A．若，则点不存在 B．若，则点坐标为 C．若，则点在直线上 D．若，且点在图象上，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对A：求导后可得斜率恒为正，即可得解；对B：求导后令，结合定义域可解出两切线方程，联立即可得解；对C：求导后令，可得与两切点横坐标有关等式，再分别求出两切线方程并联立求出交点横坐标，结合所得与两切点横坐标有关等式即可得解；对D：设出点及切点后可表示出切线方程，代入点坐标可因式分解得到切点横坐标与点横坐标的关系，再结合切线垂直可得其斜率之积有关等式，利用换元法与根的判别式计算即可得解. 【详解】对A：恒成立，故上的点的切线斜率恒为正， 不存在两切线斜率之积为，故点不存在，故A正确； 对B：，令且， 则，由，则、， 在及处的切线方程分别为：、， 联立，解得，故点坐标为，故B正确； 对C：，令且， 则， 在及处的切线方程分别为： 、， 化简得、， 联立，消去得， 整理得，则， 由，即， 故点在直线上，故C错误； 对D：，设点， 设点、点分别是两条互相垂直的切线的切点， 则点上的切线方程为， 化简得， 则有， 整理得， 因式分解可得，则或， 同理可得或，由，结合对称性，可取，， 则点的切线斜率， 点的切线斜率， 有，即， 整理得， 令，则关于的方程有解， 故，解得， 故的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 4．(24-25高二下·北京第五十七中学·期中)已知函数和（且），若两函数图象相交，则其交点的个数以下正确的是______． （1）当函数和的图象有两个公共点； （2）当时，函数和的图象有两个公共点； （3）当时，函数和的图象有一个公共点； （4）当函数和的图象只有一个公共点． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，利用导数的知识判断这两个图象的交点个数． 【详解】（一）当时，函数和的图象呈现以下三种情况： 如图2，当函数和的图象只有一个公共点时，此公共点必在直线上，且函数图象在此公共点的切线即为直线，， 所以有，则，，所以， 即公共点为， 结合图象有以下结论： ① 当时，函数和的图象没有公共点（如图1）； ② 当函数和的图象只有一个公共点（如图2）； ③ 当函数和的图象有两个公共点（如图3）． （二）当时，函数和的图象呈现以下三种情况（把图象适当放大）： 图5中，函数和的图象只有一个公共点，此公共点在直线上，且在该公共点处，有公切线，此公切线斜率为（与直线垂直）， 所以，解得，即公共点为， 结合图象得以下结论： ④ 当时，函数和的图象有三个公共点（如图4）； ⑤ 当时，函数和的图象有一个公共点（如图5）； ⑥ 当时，函数和的图象有一个公共点（如图6）； ⑤⑥ 可合二为一：当时，函数和的图象有一个公共点． 故答案为：（1）（3）（4） 5．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知A，B两点在曲线上，C，D两点在曲线上，给出下列四个结论： ①的最小值为； ②当与坐标轴平行时，最小值为2； ③当四边形为正方形时，设正方形面积为S，则； ④当直线均为曲线和的公切线时，线段的中点在轴上． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】①结合图形，结合相切状态求解最小值；②由，构造函数求解最小值，再证明最小值大于；③先证明若四边形为正方形，则，可知与，与关于直线对称；结合对称性分析存在正方形满足题意，进而利用坐标表达面积，结合关系式利用单调性求解范围；④设切点，，利用函数的对称性、导数求切线方程，借助切线斜率建立等量关系证明即可. 【详解】对于①： 因为与互为反函数，它们的图象关于对称， 所以的最小值就是点到直线的最小距离的2倍. 对求导得，令，解得. 此时，即曲线在点处的切线斜率为1， 切线方程为，即. 切点到直线的距离为， 即点到直线的最小距离为， 所以的最小值为，故①正确； 对于②： 当与坐标轴平行时， 若与轴平行，此时，则. 令，对其求导得， 在上单调递增，且， 所以存在，使得，即. 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即； 若与轴平行，则可设，（） 则， 同理可证. 综上可知，当与坐标轴平行时，最小值不为2，故②错误； 对于③： 当四边形为正方形时， 因为与互为反函数，它们的图象关于对称. 如图，设（）， 则， 因为可由逆时针旋转得到，故，又， 可得， 且，， 故，且， 设， 设， 由， 则有；又， 联立可得（）， 由，可解得， 则由可得， ， 若，则， 所以， 可得，则，这与矛盾； 若，则， 所以， 可得，则，这与矛盾； 故，即，从而. 所以与直线平行，由此可知与，与关于直线对称； 则可设（）， 所以；； 则，可得，所以， 所以有，即. 令，（） 再令， 则，故在上单调递增， 则，所以即. 则，所以， 故在上单调递减， 由，且， 故在内有唯一零点， 即方程有唯一解，故仅存在一个这样的正方形. 且，， 且在为单调增函数， 故，故，故③正确； 对于④： 如图，由图象可知，两函数恰有两条公切线，且两公切线也关于对称. 设两公切线分别与相切的切点为，. 则点关于直线的对称点即为公切线与相切的切点， 由， 则公切线的斜率， 所以，可得， 故线段的中点在轴上，故④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题 6．(25-26高三上·江苏南通启东·期中)已知函数的导函数． (1)求的最大值； (2)当时，若是曲线在点处的切线方程． ①证明：对于定义域内任意成立； ②设过点的直线与直线垂直，，与轴的交点分别为，，表示的面积．是否存在实数，满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的最大值为 (2)①证明见解析；②存在实数，满足，的取值范围为 【分析】（1），求导，可得的单调性，进而可求得最大值； （2）①令，求导，可判断的单调性，进而可证得结论；②求得直线，的方程，进而求得与轴的交点，的坐标，表示出，结合已知可得，利用换元法可求的取值范围. 【详解】（1）令，得， 令，得，得； 当时，，所以 在单调递增； 当 时，，所以 在 单调递减。 因此，是极大值点，所以， 所以的最大值为； （2）①由题意可得 令， 当，，由（1）知在单调递增， 若，，； 若，，。 所以是的极小值点，也是最小值， 所以， 所以； ②直线 的方程为， 令，得，故， 直线与垂直，且过点， 因为，所以，所以的方程为， 令，得，所以， 所以， 所以 由，得， 所以， 由（1）知，且， 当，所以， 所以， 令，则 ， 函数，当且仅当，即时取等号， 又，， 又， 所以存在实数，满足，的取值范围为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $