专题03 概率（易错必刷30题6种题型专项训练）高二数学下学期湘教版

专题03 概率 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　条件概率的求算 题型二　全概率公式 题型三　贝叶斯公式 题型四　离散型随机变量的分布列 题型五　两点分布 题型六　正态分布 题型一　条件概率的求算 1．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件A与B为互斥事件 B．事件两两独立 C． D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义和条件概率公式即可解答. 【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误； 对于选项B，， ，故B正确； 对于选项C，交集为，则，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：BD. 2．2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由古典概率模型求得，再由条件概率即可取得结果. 【详解】由已知得，故. 故选：B. 3．设正整数p大于1，若正整数a与p互质，则a与p的最大公约数为1，记．若对于正整数a，，存在一个整数x，使得为整数，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．现从4到19这16个整数中随机抽取一个整数a，记事件“”，“a是10的二次剩余”，则 ， ． 【答案】 /0.375 /0.5 【分析】利用给定的信息，利用古典概率公式列式计算；利用条件概率公式列式计算. 【详解】在4到19这16个整数中与10互质的整数有，共6个，因此； 若为整数的存在，则当时，或满足题意； 当时，满足题意；当时，满足题意； 当时，满足题意的不存在，因此， 所以. 故答案为：； 4．石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， . 【答案】 【分析】根据古典概型结合排列数计算，再应用条件概率公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，事件数有，总事件数为， 故， 又事件的总数为，所以， 事件和事件同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，则事件的总数为， 所以，所以. 故答案为：. 5．从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题抽出的题不再放回，则（   ） A．“第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立 B．“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 C．“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是 D．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是 【答案】BCD 【分析】根据互斥事件，独立事件的定义判断AB，利用条件概率公式计算判断CD． 【详解】第一次抽到代数题为，第二次抽到代数题为 即不独立，故A错误； “第一次抽到代数题”与“第一次抽到几何体”显然不可能同时发生，是互斥事件，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 题型二　全概率公式 6．已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. (1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 【答案】(1)分布列见详解； (2) 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望； （2）设相应事件，根据题意可得相应概率，利用全概率公式圆求解. 【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2，则有： ， 可得随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的期望. （2）记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件， 第二次摸到的是3号球为事件B， 则， 所以. 7．下列选项中，正确的是（   ） A．甲、乙两名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知，甲加工的合格品率为80%，乙加工的合格品率为90%．加工出来的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件数分别占40%，60%，从所有零件中任取一个零件，则这个零件是合格品的概率为0.88 B．已知事件A，B满足，，，则 C．若事件满足，且，则A与B相互独立 D．若随机变量，且，，则的最小值为16 【答案】BCD 【分析】对于A选项，根据全概率公式计算即可判断；对于B选项，根据公式，求出的值即可判断；对于C选项，只须判断是否成立，即可判断A与B是否相互独立；对于D选项，由正态分布得到，再利用基本不等式，求出的最小值即可判断. 【详解】对于A选项，由全概率公式，这个零件是合格品的概率为 ，故A选项错误； 对于B选项，由， 有，可得，故B选项正确； 对于C选项，由，有， 可得A与B相互独立，故C选项正确； 对于D选项，由正态分布可知，， 所以，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故D选项正确． 故选：BCD． 8．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为，方差为. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 9．已知，，，则（   ） A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 【答案】A 【分析】根据全概率公式和对立事件的概率公式求值即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：A. 10．2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分．已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为． (1)已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率； (2)若乙同学在作答第11题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．求乙在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望． 【答案】(1) (2)乙同学选择双选AC时得分期望最大，最大值为分． 【分析】（1）先设事件为“该题的正确答案是2个选项”，为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”，再求，，再利用全概率公式计算即可； （2）先计算正确答案是两选项、三选项的概率，再分类讨论乙同学做出的决策：单选，双选，三选，分别求其期望值. 【详解】（1）设事件为“该题的正确答案是2个选项”，则为“该题的正确答案是3个选项”， 即，． 设事件为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”， 则，， 所以， 则他既选出正确选项也选出错误选项的概率为. （2）由题知选项B，D不能同时选，则乙同学可以选择单选、双选、三选， 正确答案是两选项的可能情况为AB，AD，BC，AC，CD，每种情况出现的概率均为； 正确答案是三选项的可能情况为ABC，ACD，每种情况出现的概率为． 若乙同学做出的决策是： ①单选，则（分）， （分）； ②双选，则（分）， （分）； ③三选，则（分）． 经比较，乙同学选择双选AC时得分期望最大，最大值为分． 题型三　贝叶斯公式 11．某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】依题意，该产品是由A车间生产的概率为： . 故选：A 12．中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．（结果保留两位小数） 【答案】0.36 【分析】先由古典概率计算抽到各厂产品的概率，再由全概率计算抽到次品的概率，最后由条件概率计算即可； 【详解】设B表示事件：取得次品．表示事件：该产品由第i家工厂生产（，2，3）．第i家工厂（，2，3）分别表示甲、乙、丙瓷厂． ，，． ，，，． 故取到的是次品，则其来自甲厂的概率为． 故答案为：0.36. 13．在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为 ，病人有症状时患疾病的概率为 （症状只在患有疾病，，时出现） 【答案】 / / 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果. 【详解】由题意可知：，，， ，，， 由全概率公式可知： ， 即任意一位病人有症状的概率为， 由贝叶斯公式可知： ， 即病人有症状时患疾病的概率为. 故答案为：，. 14．假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的、、，如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是 ． 【答案】 【分析】先根据全概率公式求出，再带入贝叶斯公式计算即可． 【详解】设“从待出厂产品中取出个是次品”为事件A，从待出厂产品中取出个产品是甲、乙、丙车间生产的事件分别为事件，，， 则，，，，，， 由全概率公式得 ， 现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是． 故答案为：. 15．某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 . 【答案】 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到共青团员”， 由题意，，, 所以“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为. 故答案为： 题型四　离散型随机变量的分布列 16．为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务．无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据．如下： 车次序号 乘车人数 1-10号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 11-20号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率． (1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； (2)假设微公交乘车人数相互独立，记X为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，答案见解析 【分析】（1）结合数据，20辆微公交的乘车人数为9辆的共有14辆，利用古典概型公式求出概率； （2）结合数据，求出的可能取值，求出概率，列出分布列求出期望. 【详解】（1）根据数据可得，20辆微公交的乘车人数为9辆的共有14辆， 所以该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率． （2）根据数据，20辆微公交的乘车人数为7人的共有2辆，8人的共有4辆，9人的共有14辆， 所有乘车人数为7人的概率为，乘车人数为8人的概率为，乘车人数为9人的概率为. 的所有可能取值为：14，15，16，17，18 ，， ，， ． 的分布列如下： 14 15 16 17 18 . 17．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． (1)若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； (2)若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【分析】（1）若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢，或者第一局甲输，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢， 或者第一局甲输，则甲第三局必定参加比赛，故所求概率为. （2）由题意可知，的可能取值有、、， 若，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，， 若，则第二、三局均为丙赢，所以，， 若，则前三局没有人累计胜两局，必须进行第四局，第四局后无论胜负都有人累计获胜两局， 所以，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 18．全国高考I卷数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分：若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别计算出和的分布列，然后逐项进行计算即可求得. 【详解】①由题意， 表示：若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个；若该题有3个正确选项，则小明从1个错误选项中选择1个， 则； 表示：该题有3个正确选项，则小明从3个正确选项中选择1个， 则； 表示：该题有2个正确选项，则小明从2个正确选项中选择1个， 则； ②表示：若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个， 再从两个正确选项中选择1个或选择2个错误选项； 若该题有3个正确选项，则小明从1个错误选项中选择1个， 再从3个正确选项中选一个，则； 表示：该题有3个正确选项，则小明从3个正确选项中选择2个， 则； 表示：该题有2个正确选项，则小明从2个正确选项中选择2个， 则； 对于A选项，，故 A错误； 对于B选项，；； 所以， B正确； 对于C选项，， 则，C错误； 对于D选项，，D正确. 故选：BD. 19．下列说法正确的是（    ） A．一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B．若随机变量，满足，，则 C．一组数据的线性回归方程为，若，则 D．某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布 【答案】ACD 【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的定义计算可判定A;根据方差的线性性质计算可判定B；根据回归方程必经过样本均值点，计算可判定C；根据超几何分布的概念判定D. 【详解】数据组为5，7，9，11，3，13，15，排序后为3，5，7，9，11，13，15. 计算第60百分位数： 根据人教版教材方法，位置计算为 ，向上取整到第5个位置，对应数值11,因此选项A正确; 选项分析： 随机变量，已知，根据方差性质： 方差线性变换公式为 ，选项中错误; 选项分析： 线性回归方程 必经过样本均值点,当 时，代入方程得 ，选项正确; 选项分析： 从12名候选人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人数X服从超几何分布H(12, 7, 5)，选项D正确. 故选：ACD. 20．某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）方案一 【分析】（1）由独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可得； （2）（i）先求出的分布列，再由期望公式求出期望；（ii）分别求出两种方案的期望，作差比较大小即可； 【详解】（1）设“停止比赛时小队有人投中”为事件， 则，所以. （2）（ⅰ）的所有可能取值为1，2，3 ，，； 所以的分布列为 1 2 3 . （ⅱ）设方案二所需派出人员数目，同理可得， 因为，所以 ， 所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小. 题型五　两点分布 21．若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点分布的方差公式计算. 【详解】由题意得服从两点分布，故，， 所以. 故选：B. 22．某厂一批产品的合格率是． (1)求从中抽取1件产品为正品的数量的方差； (2)若从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差． 【答案】(1)0.0196 (2)0.196 【分析】（1）根据两点分布的方差计算公式，计算出正确答案； （2）根据二项分布的方差计算公式，计算出正确答案. 【详解】（1）用Y表示抽得的正品数，则． 可知Y服从两点分布，且，， 所以． （2）用X表示抽得的正品数，则X服从二项分布， 所以正品数的方差． 23．某厂一批产品的合格率是． (1)求从中抽取一件产品为正品的数量的方差； (2)若从中有放回地随机抽取件产品，计算抽出的件产品中正品数的方差及标准差． 【答案】(1) (2)方差，标准差为 【分析】（1）根据题意，利用两点分布即可直接求解方差； （2）利用二项分布的性质，即可直接求解方差和标准差. 【详解】（1）用表示抽得的正品数，则． 则服从两点分布，且， 所以． （2）用表示抽得的正品数，则， 所以， 标准差为． 24．下列说法正确的是（    ） A．决定系数越小，模型的拟合效果越好 B．若随机变量服从两点分布，，则 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．一组数（）的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大 【答案】BC 【分析】利用决定系数的性质判断A，利用两点分布的方差公式判断B，利用正态分布的对称性判断C，举反例判断D即可. 【详解】由决定系数性质得，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故A错误， 若随机变量服从两点分布，， 则，故B正确， 若随机变量服从正态分布，， 由正态分布性质得，故C正确， 我们令，，此时平均数， 方差为，插入一个数， 此时平均数为，方差为， 方差显然变小了，即再插入一个数，则这个数的方差不可能变大，故D错误. 故选：BC 25．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量服从两点分布，也称分布，且，则 B．若随机变量满足，则 C．若随机变量，则 D．若随机变量，，则 【答案】BCD 【分析】利用两点分布的方差公式可判断A选项；利用随机变量的期望公式可判断B选项；利用二项分布的方差公式可判断C选项；利用正态分布的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，若随机变量服从两点分布，也称分布，且， 则，A错； 对于B选项，因为随机变量满足， 则随机变量的分布列如下表所示： 所以，，B对； 对于C选项， 若随机变量，则，C对； 对于D选项，若随机变量，，则，D对. 故选：BCD. 题型六　正态分布 26．给出下列命题，其中正确命题为（   ） A．随机变量，若，，则 B．随机变量X服从正态分布，，则 C．一组数据（，2，3，4，5，6）的经验回归方程为，若，则 D．对于独立性检验，随机变量的观测值k越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】AD 【分析】对于A由二项分布的期望与方差公式解方程可得；对于B由正态曲线的对称性可得；对于C先求出，由样本中心点在回归直线上，代入，可得，进而求得；对于D根据对独立性检验思想的理解可得. 【详解】对于A：随机变量，，，解得，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，所以，故C错误； 对于D：对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D正确． 故选：AD. 27．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正态分布的对称性可求得结果. 【详解】因为，则. 故选：A. 28．以下说法错误的是（ ） A．两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程度越强 B．设、为随机事件，且、，若，则与相等 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与没有关联” D．若随机变量，，则 【答案】ABC 【分析】根据相关系数性质判断A，应用条件概率计算判断B，应用独立性检验判断C，根据正态分布性质计算判断D. 【详解】对于A选项，根据相关系数的定义，当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关， 当越接近时，相关程度越大；当越接近时，相关程度越小，故A错误； 对于B：设、为随机事件，且、， 则 若，所以与不相等，故B错误； 对于C选项，独立性检验的判断标准是，若计算得出的值大于临界值，则拒绝独立性假设，说明变量与存在关联. 因此，，拒绝“与没有关联”的零假设，故C错误； 对于D，对于，则，， 则， 对于，则，，则 ， 又， 所以，，故D正确. 故选：ABC. 29．某班级的一次测验后， 随机抽取 7 名同学的成绩作为样本， 这 7 名同学的成绩分别为 80， 82， 83， 84， 85， 86， 88， 则（    ） A．根据样本数据， 估计这次考试全班成绩的上四分位数为 86 B．根据样本数据， 估计这次考试全班成绩的标准差为 6 C．当该样本中加入一个 84 形成新样本时，新样本数据的方差小于原样本数据的方差 D．若该班成绩 服从正态分布 ，用这 7 名同学的成绩估计总体，则有 【答案】ACD 【分析】根据百分位数的定义可判断A，先计算平均数，再计算标准差可判断B，根据方差公式可判断C，根据正态分布的性质可判断D. 【详解】选项A：因为，所以上四分位数为第6个数，即86，故A正确； 选项B：， ， 则标准差，故B错误； 选项C：因为新平均数为84，所以新方差为，故C正确； 选项D：，因为，，所以，故D正确. 故选：ACD. 30．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线， ，所以在正态分布曲线上，的峰值较高， 正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误. 故选：AC. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 概率 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　条件概率的求算 题型二　全概率公式 题型三　贝叶斯公式 题型四　离散型随机变量的分布列 题型五　两点分布 题型六　正态分布 题型一　条件概率的求算 1．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件A与B为互斥事件 B．事件两两独立 C． D． 2．2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 3．设正整数p大于1，若正整数a与p互质，则a与p的最大公约数为1，记．若对于正整数a，，存在一个整数x，使得为整数，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．现从4到19这16个整数中随机抽取一个整数a，记事件“”，“a是10的二次剩余”，则 ， ． 4．石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， . 5．从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题抽出的题不再放回，则（   ） A．“第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立 B．“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 C．“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是 D．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是 题型二　全概率公式 6．已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. (1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 7．下列选项中，正确的是（   ） A．甲、乙两名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知，甲加工的合格品率为80%，乙加工的合格品率为90%．加工出来的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件数分别占40%，60%，从所有零件中任取一个零件，则这个零件是合格品的概率为0.88 B．已知事件A，B满足，，，则 C．若事件满足，且，则A与B相互独立 D．若随机变量，且，，则的最小值为16 8．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 9．已知，，，则（   ） A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 10．2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分．已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为． (1)已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率； (2)若乙同学在作答第11题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．求乙在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望． 题型三　贝叶斯公式 11．某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ） A． B． C． D． 12．中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．（结果保留两位小数） 13．在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为 ，病人有症状时患疾病的概率为 （症状只在患有疾病，，时出现） 14．假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的、、，如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是 ． 15．某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 . 题型四　离散型随机变量的分布列 16．为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务．无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据．如下： 车次序号 乘车人数 1-10号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 11-20号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率． (1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； (2)假设微公交乘车人数相互独立，记X为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求X的分布列及数学期望． 17．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． (1)若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； (2)若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列与数学期望． 18．全国高考I卷数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分：若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 19．下列说法正确的是（    ） A．一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B．若随机变量，满足，，则 C．一组数据的线性回归方程为，若，则 D．某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布 20．某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 题型五　两点分布 21．若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则（    ） A． B． C． D． 22．某厂一批产品的合格率是． (1)求从中抽取1件产品为正品的数量的方差； (2)若从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差． 23．某厂一批产品的合格率是． (1)求从中抽取一件产品为正品的数量的方差； (2)若从中有放回地随机抽取件产品，计算抽出的件产品中正品数的方差及标准差． 24．下列说法正确的是（    ） A．决定系数越小，模型的拟合效果越好 B．若随机变量服从两点分布，，则 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．一组数（）的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大 25．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量服从两点分布，也称分布，且，则 B．若随机变量满足，则 C．若随机变量，则 D．若随机变量，，则 题型六　正态分布 26．给出下列命题，其中正确命题为（   ） A．随机变量，若，，则 B．随机变量X服从正态分布，，则 C．一组数据（，2，3，4，5，6）的经验回归方程为，若，则 D．对于独立性检验，随机变量的观测值k越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 27．设，则等于（    ） A． B． C． D． 28．以下说法错误的是（ ） A．两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程度越强 B．设、为随机事件，且、，若，则与相等 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与没有关联” D．若随机变量，，则 29．某班级的一次测验后， 随机抽取 7 名同学的成绩作为样本， 这 7 名同学的成绩分别为 80， 82， 83， 84， 85， 86， 88， 则（    ） A．根据样本数据， 估计这次考试全班成绩的上四分位数为 86 B．根据样本数据， 估计这次考试全班成绩的标准差为 6 C．当该样本中加入一个 84 形成新样本时，新样本数据的方差小于原样本数据的方差 D．若该班成绩 服从正态分布 ，用这 7 名同学的成绩估计总体，则有 30．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$