专题03 全等三角形的判定【知识串讲+十大考点】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题03 全等三角形的判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）全等三角形的判定 （1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS） 书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, AB=A′B′ BC=B′C′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （2）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS） 书写格式:如图12-2-6所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如: 图12-2-6 在△ABC和△ABC′中, AB=A′B′ ∠A=∠A AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 （3）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS） 书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （4）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA） 书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ AB=A′B′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 模块三 考点一遍过 考点1：全等三角形的判定——SSS 典例1：如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 【变式1】已知：，求证：． 【变式2】  如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    【变式3】如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 考点2：全等三角形的判定——AAS、ASA 典例2：如图，，点在上，，，垂足分别为，．试说明：． 【变式1】如图，已知，点是上一点，平分交直线于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】  如图，已知平分，点为上一点，连接，． (1)请从①，②中任选一个作为条件，使得结论“”成立，并证明； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【变式3】如图，在中，过点B作，E是的中点，连接并延长交于F点．    (1)求证：； (2)当、、时，求的长． 考点3：全等三角形的判定——SAS 典例3：如图，在和中，，，．与全等吗？请说明理由． 【变式1】如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【变式2】  利用全等的知识解答下面两题 (1)如图，与交于点，，．求证：． (2)如图已知，，，求证； 【变式3】已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 考点4：全等三角形的判定——实际应用 典例4：小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一天老师带小明测操场上一棵树的高度，如图1 所示，他告诉小明，我在距树底端B 点a米的C处，使用测角仪测得，你能测出旗杆的高度吗？ 小明经过一番思考：“我若将放倒在操场上不就可以测量了吗！ ”于是他在操场上选取了一个合适的地方， 画出一个直角， 如图2， 使米， 小明说，只要量出的长度就知道旗杆的高度了． 同学甲： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的； 同学乙： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的； 同学丙： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的； 同学丁：小明的做法不正确，由他的做法不能判断． 你认为 （   ） A．甲、乙、丙的判断都正确 B．只有乙的判断正确 C．只有丁的判断正确 D．乙、丙的判断正确 【变式2】  如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使A、C、E在一条直线上，此时，只要测出的长，即可求出的长，此方案依据的数学定理或基本事实是 ． 【变式3】如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为 ． 考点5：全等三角形判定与性质综合 典例5：如图，，，点E在上． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式1】如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】  （1）如图①，点E在正方形的边上，于点F，于点G，直接写出，，三者的关系 （2）如图②， 点B、C分别在的边、上，点E、F在内部的射线上，、分别是.、的外角．已知，，求证：． （3）如图③，在等腰三角形中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为9，则与的面积之和为 【变式3】在中，，顶点在过、两点的直线上： (1)若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； (2)若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； (3)①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 考点6：选择条件判定三角形全等 典例6：如图，是的角平分线，点在射线上，点在射线上，点在射线上，连接，．请你添加一个条件，使． 小明同学写出以下条件： ①，②，③， ④，⑤，⑥． 他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使．” (1)小明的说法_______(填“正确”或“错误”)； (2)从小明写出的条件中选择一个______ (填写序号)，使得，补全图形，并写出证明过程． 【变式1】如图，已知，点E，F在线段上，且．请从“①，②，③”中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是： （只填写一个序号）．添加条件后，请证明． 【变式2】  如图，已知：B，E，C，F四点在同一条直线上，BE＝CF，∠B＝∠1． （1）在①∠2＝∠F ②AC＝DF ③AB＝DE三个条件中，任选一个条件，使△ABC≌△DEF，你选择的条件是________（填序号，填符合题意的一个即可）； （2）在（1）题选择的条件下，证明△ABC≌△DEF． 【变式3】如图，已知，． （1）若添加条件，则吗？请说明理由； （2）若运用“”判定与全等，则需添加条件：_________； （3）若运用“”判定与全等，则需添加条件：___________． 考点7：全等三角形综合——动点问题 典例7：如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 【变式1】如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______ (2)若，试说明． 【变式2】  如图，与相交于点． (1)求证：； (2)如图2，过点O作交于E，交于F，求证：； (3)如图3，若，点E从点A出发，沿方向以的速度运动，点F从点C出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点E到达点A时，两点同时停止运动，设点E的运动时间为．连接，当线段恰好经过点O时，求出t的值． 【变式3】如图，的两条高与交于点，，． (1)若，则______； (2)求的长； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 考点8：全等三角形综合——辅助线 典例8：综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【变式1】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【变式2】  数学课上，老师给出了如下问题： 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CB到点D，∠DBE=45°，点F是边BC上一点，连结AF，作FE⊥AF，交BE于点E． （1）求证：∠CAF=∠DFE； （2）求证：AF=EF．经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，又考虑到第(1)题中的结论，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），再证明Rt△ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．”你同意小辉的方法吗？如果同意，请给出证明过程；不同意，请给出理由； （3）小亮同学说：“按小辉同学的思路，我还可以有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成证明．    【变式3】综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    考点9：全等三角形综合——测距离 典例9：某学校八年级的数学综合实践课活动中，数学学习小组要测量某公园内池塘两岸相对的两点A，B的距离．如图所示，组长小聪建议在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上． 此时组员小慧马上就明白了测量哪条线段就可以得到A，B两点的距离了． (1)请你直接写出小慧要测量的这条线段是 ； (2)请说明你的理由． 【变式1】如图1，2，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD＝CA，连结BC并延长到E，使CE＝CB．连结DE，那么DE的长就是A、B的距离．你知道其中的道理吗？ 请根据题意将“已知”和“求证”部分补充完整，然后进行证明． （1）已知：AD与BE相交于点C，　 　． （2）求证：　 　． （3）证明： 【变式2】  池塘两端A，B的距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案测量A，B的距离．老师查看后发现只有甲的方案可行． 甲：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使； ③连接，测出的长即可． 乙：如图2，①确定直线，过点作直线； ②在直线BE上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交直线于点； ④测量的长即可． (1)请说明甲同学方案中的理由； (2)请在乙同学的方案中“①”里面增加一个条件，使他的方案变得可行，你增加的条件是___________． 【变式3】如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小航设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得∠___________=，标记此时梯子的底端点D；③此时___________的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． (1)补全设计方案，并说明小航设计方案的正确性； (2)测得，，求梯子下滑的高度. 考点10：尺规作全等三角形 典例10：作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【变式1】已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为． （1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． 【变式2】  求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，，AD是△ABC的中线． （1）求作的中线（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证： 【变式3】如图，B，C分别为射线的端点，连接，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法，标明各顶点字母） （1）在的右侧，作，交射线于点E； （2）在（1）的条件下，求作（点F在内）使得． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形的判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）全等三角形的判定 （1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS） 书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, AB=A′B′ BC=B′C′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （2）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS） 书写格式:如图12-2-6所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如: 图12-2-6 在△ABC和△ABC′中, AB=A′B′ ∠A=∠A AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 （3）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS） 书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （4）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA） 书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ AB=A′B′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 模块三 考点一遍过 考点1：全等三角形的判定——SSS 典例1：如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ． 【变式1】已知：，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 本题根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 【变式2】  如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    【答案】见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】由可得，然后利用证明即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式3】如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得 ， ，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴ ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 考点2：全等三角形的判定——AAS、ASA 典例2：如图，，点在上，，，垂足分别为，．试说明：． 【答案】见解析． 【知识点】垂线的定义理解、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键． 根据垂直的定义可得，然后利用全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解： ，， ， 在和中， ， ． 【变式1】如图，已知，点是上一点，平分交直线于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定的方法是解题的关键． （1）根据，，平分，推出，，运用证明； （2）根据，推出，再利用已知条件求出的长． 【详解】（1）证明： 平分， ， ， ． 在和中， （2）解：， 在和中， ， ， ． ， ． 【变式2】  如图，已知平分，点为上一点，连接，． (1)请从①，②中任选一个作为条件，使得结论“”成立，并证明； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用SAS证明三角形全等（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质． （1）选择①，结合，利用即可判定；选择②，结合，利用即可判定； （2）由角平分线的定义求出，由（1）中结论可得，再利用三角形外角的性质即可求出，由即可解答． 【详解】（1）解：两个条件任选一个均可证明， 选择条件①． 平分， ， 在和中 ， ． 选择条件②． 平分， ， 在和中 ， ； （2）解：，平分， ， ， ， ， ． 【变式3】如图，在中，过点B作，E是的中点，连接并延长交于F点．    (1)求证：； (2)当、、时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行，得到，中点，得到，利用，证明即可； （2）全等三角形的性质，得到，进而得到，证明，得到即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点3：全等三角形的判定——SAS 典例3：如图，在和中，，，．与全等吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得到，利用“”即可证明． 【详解】解：．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中 ， ∴． 【变式1】如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）证明，再由可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴, 又 ∴ ∴． 【变式2】  利用全等的知识解答下面两题 (1)如图，与交于点，，．求证：． (2)如图已知，，，求证； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）结合对顶角相等，证明，即可得到结论； （2）由可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）解：， ，即， 在和中， ， ． 【变式3】已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 考点4：全等三角形的判定——实际应用 典例4：小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， 则证明的依据的是， 故选：C． 【变式1】一天老师带小明测操场上一棵树的高度，如图1 所示，他告诉小明，我在距树底端B 点a米的C处，使用测角仪测得，你能测出旗杆的高度吗？ 小明经过一番思考：“我若将放倒在操场上不就可以测量了吗！ ”于是他在操场上选取了一个合适的地方， 画出一个直角， 如图2， 使米， 小明说，只要量出的长度就知道旗杆的高度了． 同学甲： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的； 同学乙： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的； 同学丙： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的； 同学丁：小明的做法不正确，由他的做法不能判断． 你认为 （   ） A．甲、乙、丙的判断都正确 B．只有乙的判断正确 C．只有丁的判断正确 D．乙、丙的判断正确 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要查了全等三角形的判定．利用“”证明，即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴ ∴只有乙的判断正确． 故选：B 【变式2】  如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使A、C、E在一条直线上，此时，只要测出的长，即可求出的长，此方案依据的数学定理或基本事实是 ． 【答案】全等三角形的对应边相等 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 故根据全等三角形的对应边相等，只要测出的长，即可求出的长 故答案为：全等三角形的对应边相等 【变式3】如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为 ． 【答案】 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用：解题的关键是熟练掌握全等三角的判定法方法． 利用证明，即可解答． 【详解】解： 点既是的中点，也是的中点， ， 在和中， ， ， ， 故答案为： 考点5：全等三角形判定与性质综合 典例5：如图，，，点E在上． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键． （1）由题中条件易知：，可得平分； （2）利用（1）的结论，可得，得出 【详解】（1）证明：在与中， ， 即平分； （2）证明：由（1）得， 在与中，得 ， 【变式1】如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先得到，然后根据证明出即可； （2）根据三角形全等的性质结合三角形外角的性质可得，即可求解； 【详解】（1）证明： ∵， ， ∴， 在和中 ； （2）解：， ∴； 【变式2】  （1）如图①，点E在正方形的边上，于点F，于点G，直接写出，，三者的关系 （2）如图②， 点B、C分别在的边、上，点E、F在内部的射线上，、分别是.、的外角．已知，，求证：． （3）如图③，在等腰三角形中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为9，则与的面积之和为 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）6 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． （1）根据正方形的性质得，，根据垂直的定义和三角形的内角和得，再证，根据全等三角形的性质及等量代换即可得出结论； （2）先根据邻补角的定义可得，再根据三角形的外角性质、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （3）先根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形全等的性质可得与的面积相等，由此即可得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）， ，即， 由三角形的外角性质得：， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （3）的边上的高与的边上的高相等，且， 的面积等于的面积的， 的面积为9， 的面积为， 由（2）知：， 与的面积相等，即， ， 即与的面积之和为6， 故答案为：6． 【变式3】在中，，顶点在过、两点的直线上： (1)若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； (2)若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； (3)①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)①；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理、外角定理． （1）①利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明； ②由得到，，进而求解即可； （2）根据得，据此即可求解； （3）①利用三角形的外角性质得出，再利用证明，得，可得答案； ②设，，根据，及三角形的内角和证出，再利用证明，得，，可得答案． 【详解】（1）①证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵ ∴， ∴； （2）解：， 理由：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）①， 理由：∵， ∴， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ， ∴； ②， 理由：如图所示，设和交于点F， 设，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点6：选择条件判定三角形全等 典例6：如图，是的角平分线，点在射线上，点在射线上，点在射线上，连接，．请你添加一个条件，使． 小明同学写出以下条件： ①，②，③， ④，⑤，⑥． 他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使．” (1)小明的说法_______(填“正确”或“错误”)； (2)从小明写出的条件中选择一个______ (填写序号)，使得，补全图形，并写出证明过程． 【答案】(1)错误 (2)①或②或③或⑤或⑥，图见解析，证明见解析 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定方法对小明同学写出的个条件逐一分析判断即可； （2）补全图形，从小明写出的条件中选择一个，然后利用全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：对于小明同学写出的个条件， 选择条件①时，可以利用证明， 选择条件②时，可以利用证明， 选择条件③时，可以利用证明， 选择条件④时，利用不能证明， 选择条件⑤时，可以利用证明， 选择条件⑥时，可以利用证明， 小明的说法错误， 故答案为：错误； （2）解：补全图形如下： 选择条件①时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件②时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件③时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件④时，利用不能证明； 选择条件⑤时，证明如下： 是的角平分线， ， ， ， 即：， 在和中， ， ； 选择条件⑥时，证明如下： 是的角平分线， ， ， ， 即：， 在和中， ， ； 故答案为：①或②或③或⑤或⑥． 【变式1】如图，已知，点E，F在线段上，且．请从“①，②，③”中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是： （只填写一个序号）．添加条件后，请证明． 【答案】①或②，证明见解析 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定并灵活运用是解题的关键．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行证明即可． 【详解】证明：当选择添加的条件是①， 在和中， ， ； 当选择添加的条件是②， 在和中， ， ； 当选择添加的条件是③，添加的条件与已知条件结合不满足全等三角形的判定定理，故不能选择③． 【变式2】  如图，已知：B，E，C，F四点在同一条直线上，BE＝CF，∠B＝∠1． （1）在①∠2＝∠F ②AC＝DF ③AB＝DE三个条件中，任选一个条件，使△ABC≌△DEF，你选择的条件是________（填序号，填符合题意的一个即可）； （2）在（1）题选择的条件下，证明△ABC≌△DEF． 【答案】（1）①（答案不唯一）；（2）详见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）由可得，再加上条件∠B＝∠1，只需要添加一个能得出角相等的条件，或AB＝DE的条件即可证明两个三角形全等； （2）利用ASA判定△ABC≌△DEF即可． 【详解】（1）解：①（答案不唯一）； （2）证明：， ， 即： 在和中， ， △ABC≌△DEF（ASA）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式3】如图，已知，． （1）若添加条件，则吗？请说明理由； （2）若运用“”判定与全等，则需添加条件：_________； （3）若运用“”判定与全等，则需添加条件：___________． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】(1)添加条件，只要再推导出AF=BE，便可利用“AAS”证明出，即可得； (2)要利用“”判定与全等，已经有了，。可以得到AF=BE，只要再找到图形中以AF、BE为边另外一组角相等即可； (3)要运用“”判定与全等，已知条件中已经有了，，即一边一角的条件，由“”的特点，再找到，的另外一边相等即可． 【详解】解：（1）. 理由如下：因为，所以，即. 在和中，因为，，. 所以， 所以.（全等三角形的对应边相等）. （2）； （3）. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，熟记各判定定理的内容并理解它们的要点是解决此类题型的关键． 考点7：全等三角形综合——动点问题 典例7：如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 【答案】(1)见解析 (2)点的速度为 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握三角形全等的判定定理． （1）先求得，，则可判断； （2）由得，求出点的运动时间，进而可求出点运动的速度． 【详解】（1）解：点的速度与点的速度相等，都是， 经1s后，， ， ， ， 点为的中点，， ， ， 在和中，， ∴； （2）解：， ， 点是的中点，， ， 点的运动时间为：， 点运动的时间为， 点运动的速度是：， 当点的速度为时，能够使； 【变式1】如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______ (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角的和差关系可求出，再利用三角形外角性质即可求出； （2）由三角形外角性质可得，结合，进而由即可证明； 【详解】（1）解：， ， ∵， ， 故答案为：； （2）证明：∵， ， ，， ， 在和中， ， ． 【变式2】  如图，与相交于点． (1)求证：； (2)如图2，过点O作交于E，交于F，求证：； (3)如图3，若，点E从点A出发，沿方向以的速度运动，点F从点C出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点E到达点A时，两点同时停止运动，设点E的运动时间为．连接，当线段恰好经过点O时，求出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，动点与几何图形的综合，掌握三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可证，可得； （2）根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）由（2）可知，当线段恰好经过点O时，由（1）（2）可得，由此可用含的式子列方程表示数量关系，由此即可求解． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ； （3）解：由（2）可知，当线段经过点O时，，则， 由（1）得，则， 或， 或， 当或时，线段经过点O． 【变式3】如图，的两条高与交于点，，． (1)若，则______； (2)求的长； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键． （1）根据的两条高与交于点，利用同角的余角相等得出即可得答案； （2）利用可证明，利用全等三角形的性质即可得答案； （3）分点在延长线上和点在线段上两种情况，利用全等三角形的性质，分别用表示出、，解方程求出值，即可得答案． 【详解】（1）解：∵的两条高与交于点， ∴， ∴． 故答案为： （2）在和中，， ∴， ∴． （3）与全等时 ①如图，当点在延长线上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． ②如图，当点在线段上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． 综上所述：或时，与全等． 考点8：全等三角形综合——辅助线 典例8：综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 【变式2】  数学课上，老师给出了如下问题： 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CB到点D，∠DBE=45°，点F是边BC上一点，连结AF，作FE⊥AF，交BE于点E． （1）求证：∠CAF=∠DFE； （2）求证：AF=EF．经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，又考虑到第(1)题中的结论，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），再证明Rt△ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．”你同意小辉的方法吗？如果同意，请给出证明过程；不同意，请给出理由； （3）小亮同学说：“按小辉同学的思路，我还可以有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成证明．    【答案】（1）见解析；（2）不同意小辉的方法，理由见解析；（3）见解析 【知识点】其他模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】(1)依据“同角的余角相等”，即可得到∠CAF=∠DFE； (2) 不同意小辉的方法，理由是两个三角形中只有两个角对应相等无法判定其是否全等； (3)在AC 上截取AG=BF，连结FG，依据ASA即可判定△AGF≌△FBE，进而得出AF=EF． 【详解】解：证明：（1）∵∠C＝90°， ∴∠CAF+∠AFC＝90°． ∵FE⊥AF， ∴∠DFE+∠AFC＝90°． ∴∠CAF＝∠DFE． （2）不同意小辉的方法，理由：根据已知条件，两个三角形中只有两个角对应相等即∠CAF＝∠DFE和∠C=∠EGF=90°，没有对应边相等，故不能判定两个三角形全等． （3）如图3，在AC上截取AG＝BF，连结FG，    ∵AC＝BC， ∴AC﹣AG＝BC﹣BF，即CG＝CF． ∵∠C＝90°， ∴△CGF为等腰直角三角形， ∴∠CGF＝∠CFG＝45°． ∴∠AGF＝180°﹣∠CGF＝135°． ∵∠DBE＝45°， ∴∠FBE＝180°﹣∠DBE＝135°． ∴∠AGF＝∠FBE． 在△AGF和△FBE中： ∴△AGF≌△FBE（ASA）． ∴AF＝EF． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是在AC上截取AG=BF，构造辅助线后证明△AGE≌△FBE． 【变式3】综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：延长到G，使得，连接，    在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）；理由如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 考点9：全等三角形综合——测距离 典例9：某学校八年级的数学综合实践课活动中，数学学习小组要测量某公园内池塘两岸相对的两点A，B的距离．如图所示，组长小聪建议在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上． 此时组员小慧马上就明白了测量哪条线段就可以得到A，B两点的距离了． (1)请你直接写出小慧要测量的这条线段是 ； (2)请说明你的理由． 【答案】(1) (2)理由见解析. 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）观察图形，找出线段的对应边即可； （2）先根据题意得出，结合，根据证明全等即可． 【详解】（1）解：观察图形可得，线段的对应边是， 因此小慧要测量的这条线段是， 故答案为：； （2）解：理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【变式1】如图1，2，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD＝CA，连结BC并延长到E，使CE＝CB．连结DE，那么DE的长就是A、B的距离．你知道其中的道理吗？ 请根据题意将“已知”和“求证”部分补充完整，然后进行证明． （1）已知：AD与BE相交于点C，　 　． （2）求证：　 　． （3）证明： 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）根据题意即可补充已知条件； （2）根据题意即可补充“求证”部分； （3）由题可证明，由全等的性质即可得出． 【详解】（1）由题目意思，已知补充为：， 故答案为：； （2）求证：， 故答案为：； （3）在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 【变式2】  池塘两端A，B的距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案测量A，B的距离．老师查看后发现只有甲的方案可行． 甲：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使； ③连接，测出的长即可． 乙：如图2，①确定直线，过点作直线； ②在直线BE上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交直线于点； ④测量的长即可． (1)请说明甲同学方案中的理由； (2)请在乙同学的方案中“①”里面增加一个条件，使他的方案变得可行，你增加的条件是___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用． （1）利用证明，即可证明； （2）增加，利用证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：增加， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小航设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得∠___________=，标记此时梯子的底端点D；③此时___________的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． (1)补全设计方案，并说明小航设计方案的正确性； (2)测得，，求梯子下滑的高度. 【答案】(1)，，说明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 对于（1），根据证明，再根据全等三角形的性质得出答案； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等可得答案． 【详解】（1）①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． 故答案为：，． 由题意可知，，， 在和中，， 所以 ， 所以． （2）由， ∴，． 因为，， 所以（m）． 所以梯子下滑的高度为． 考点10：尺规作全等三角形 典例10：作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据证明即可； （2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 【详解】（1）解：证明：在和中， ， ， ． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 【变式1】已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为． （1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形； （2）能，可在40°角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与40°角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形； （3）分情况考虑即可：40°角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角． 【详解】（1）作一个角等于已知角40°，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形，如图1所示； （2）能，可在40°角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与40°角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件，如图2所示； （3）40°角是边长为3cm与4cm两边的夹角，如图3所示的△ABC； 40°角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：及；40°角是3cm边的对角，如图5中的，故共有4个这样的三角形满足条件． 故答案为：4． 【点睛】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同． 【变式2】  求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，，AD是△ABC的中线． （1）求作的中线（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）做线段的垂直平分线，找到的中点，连接 与中点即可． （2）由已知全等三角形得到相关条件，从而证明，就可得出对应线段相等． 【详解】解：（1）如图：即为所求． （2）， ， ∵，分别是与的中线， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查线段中垂线的画法、三角形全等的证明等相关知识点，能够根据条件灵活选用定理是解题的关键． 【变式3】如图，B，C分别为射线的端点，连接，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法，标明各顶点字母） （1）在的右侧，作，交射线于点E； （2）在（1）的条件下，求作（点F在内）使得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）利用基本作图作出∠BCE； （2）分别以C、B点为圆心，BE、CE为半径画弧，两弧交于点F，则△CBF为所作． 【详解】解：（1）如图，为所作； （2）如图，为所作． 【点睛】本题考查了作图，解决此类问题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图． 学科网（北京）股份有限公司 $$