专题01 两直线的位置关系【知识串讲+十大考点】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题01 两直线的位置关系 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）相交线所形成的角 两条直线相交所成的四个角中： （1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补； ①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。 （2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 ②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。 （二）垂线及其性质 （1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。 （2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 （三）三线八角 （1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。 （2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。 （3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。 模块三 考点一遍过 考点1：相交线与平行线 典例1：下列例子中，不能看作平行线的是（    ） A．人行道上的斑马线 B．长方形门窗的边框 C．五线谱 D．螺丝上的螺旋线 【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：人行道上的斑马线、长方形门窗的边框、五线谱能看作平行线， 螺丝上的螺旋线不在同一平面内，不是平行线 故选：D． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键． 根据平行线的定义判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意； 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】  观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 【答案】45 【知识点】相交线 【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案． 【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10 =90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n−1）个交点，n条直线有n（n−1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有 个交点． 【变式3】某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 【答案】45 【知识点】相交线 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 考点2：对顶角的概念 典例2：下列图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查对顶角，根据有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，进行判断即可． 【详解】解：通过观察与的位置特征，只有B中与同时满足有公共顶点，且的两边是的两边的反向延长线，故B选项，符合题意． 故选：B． 【变式1】下列图形中，与互为对顶角的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角的意义，掌握对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的意义，一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，进行判断即可． 【详解】解：根据对顶角的意义得，C选项的图象符合题意， 故选：C． 【变式2】  两条相交直线所成的四个角中，有 没有 的两个角叫作对顶角． 【答案】 公共顶点 公共边 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角的定义，解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角，即可． 【详解】解：∵对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角， ∴两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点，没有公共边的两个角叫作对顶角． 故答案为：公共顶点；公共边． 【变式3】如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知：与不是对顶角． 故答案为：不是． 考点3：余角、补角的概念 典例3：如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，， ∴，， ∴， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：C． 【变式1】如图，C是直线上一点，，图中和的关系是（  ） A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．无法确定 【答案】A 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题主要考查了互余，互补的知识，掌握各角之间的数量关系是解题的关键． 根据平角定义求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵是平角， ∴， 即， 可知和互为余角． 故选：A． 【变式2】  如果 为，就说这两个角 ，简称 ，其中每一个角是另一个角的 ． 如果 为，就说这两个角 ，简称 ，其中每一个角是另一个角的 ． 【答案】 两个角的和 互为余角 互余 余角 两个角的和 互为补角 互补 补角 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】根据余角和补角的概念求解即可． 【详解】解：如果两个角的和为，就说这两个角互为余角，简称互余，其中每一个角是另一个角的余角． 如果两个角的和为，就说这两个角互为补角，简称互补，其中每一个角是另一个角的补角． 故答案为：两个角的和；互为余角；互余；余角；两个角的和；互为补角；互补；补角． 【点睛】此题考查了余角和补角的概念，解题的关键是熟练掌握余角和补角的概念． 【变式3】若，则的余角为 ． 【答案】． 【知识点】求一个角的余角 【分析】根据余角的意义：的余角为，代入求出即可． 【详解】∵， ∴它的余角为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对余角的理解和运用，注意：若和互为余角，则 ． 考点4：对顶角、余角、补角的角度计算 典例4：如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键． 根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴, ∴， ∴选项正确； B、∵， ∴， ∴选项不正确； C、∵， ∴选项正确； D、∵, ∴选项正确． 故选：B． 【变式1】将一副三角板按不同位置摆放，下图中与互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据平角的定义可判断A，D，根据同角的余角相等可判断B，根据三角形的外角的性质可判断C，从而可得答案. 【详解】解：选项A：根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°， ∴∠α+∠β=90°， 即∠α与∠β互余；故A符合题意； 选项B：如图， 故B不符合题意； 选项C：如图， 故C不符合题意； 选项D： 故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是平角的定义，互余的含义，同角的余角相等，三角形的外角的性质，掌握“与直角三角形有关的角度的计算”是解本题的关键. 【变式2】  如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ． 【答案】40 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、余角和补角等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键． 根据题意可得，进而得到，再根据余角的定义求得，然后求得，最后根据补角的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴的补角为． 故答案为：40． 【变式3】如图，点是直线上一点，射线平分，在内部，在内部，，且，则下列四个结论正确的有 ． ①；②图中与互余的角有2个；③图中相等的角有5对；④图中互补的角有7对． 【答案】①②③④ 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，与余角和补角有的计算，根据角平分线平分角，和为90度的两个角为互为余角，和为180度的两个互为补角，以及角的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，；故①正确； ∴， ∵，， ∴与互余的角有共2个；故②正确； ∵， ∴图中相等的角有5对；故③正确； ∵， ，， ∴图中互补的角有7对；故④正确； 故答案为：①②③④． 考点5：三角板中的角度计算 典例5：如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、求一个角的余角、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等求解即可； （2）由图得，求的度数即可； （3）根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ． 【变式1】数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题： 如图所示： (1)①_______（填“>”“<”或“=”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，你能求出与的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)能， 【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算； （1）①由可得；②求解，结合，利用可得答案； （2）由，，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ② ，， ， 由（1）知， ． （2）解：当为任意锐角时，， 理由如下： ，， ． 【变式2】  如图，将一副三角板中两个直角顶点重合于点O，按如图方式叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与互补，理由见解析 【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】此题考查补角余角问题，熟练掌握余角、补角的性质是解题的关键； （1）先根据计算出，然后再根据计算即可； （2）将拆成，然后与相加即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）与互补，理由如下： ， 即与互补． 【变式3】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起．    【计算与观察】 （1）若，则_____；若，则_____； 【猜想与证明】 （2）猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由． 【拓展与运用】 （3）若，求的度数． 【答案】（1）； ；（2）；（3）； 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角和补角，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据角的和差可得，再进一步求解可得，再求解，进一步可得答案． （2）利用角的和差可得，，再进一步可得答案． （3）利用（2）的结论计算即可． 【详解】解：（1），， ， ， ； ，， ， ． （2）猜想得：（或与互补）． 理由：，， ， ， ． （3），， ， 解得． 考点6：垂线的定义及画法 典例6：如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 【变式1】如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（   ）    A．  B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】画垂线 【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可． 【详解】解：∵三角尺过点画直线的垂线： 一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上， 二、移动三角板另一直角边到已知点， 三、过已知点画垂线， 四、画垂直符合， ∴项符合题意，不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤是解题的关键． 【变式2】   如图，直线和交于O点，平分于点，则 ． 【答案】/120度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键． 根据对顶角性质可得．根据平分，可得，根据，得出，利用两角和得出即可． 【详解】解：∵、相交于点， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】如果两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的2倍少，那么这两个角的和是 ． 【答案】或 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】设一个角为，另一个角为，根据两个角的两边分别垂直得到或，求得或，即可得解； 【详解】设一个角为，另一个角为， ∵两个角的两边分别垂直， ∴或， 解得：或， ∴当时，， 当时，， 即：，， ∴这两个角的和为或； 故答案是：或． 【点睛】本题主要考查了角的计算和垂线的定义，准确分析计算是解题的关键． 考点7：垂线段的性质 典例7：立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴ ∵， ∴可能为， 故选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】如图是人行横道的示意图，若从点P通过马路，通过测量在四条路线中，距离最短的路线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了平行线间垂线段最短．熟练掌握平行线间垂线段最短是解题的关键． 根据平行线间垂线段最短判断作答即可． 【详解】解：由题意知，距离最短的路线是， 故选：C． 【变式2】 如图，三角形中，，P为直线上一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】此题考查了勾股定理和垂线段最短，根据勾股定理求出，当时，的值最小，利用等积法求出答案即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵当时，的值最小， 此时：， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 【答案】6 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查点到直线的距离，根据垂线段最短可得结论． 【详解】解：∵，且， 根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短， 所以，的最小值为的长， 所以，的最小值为6， 故答案为：6． 考点8：点到直线的距离 典例8：如果直线l外一点P与直线l上三点的连线段长分别为6cm，8cm，10cm，则点P到直线l的距离是（　　） A．不超过6cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】A 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】根据垂线段最短得出两种情况：①当4cm是垂线段的长时，②当4cm不是垂线段的长时，求出即可． 【详解】解：∵6＜8＜10， ∴根据垂线段最短得出：当6cm是垂线段的长时，点P到直线l的距离是6cm；当6cm不是垂线段的长时，点P到直线l的距离小于6cm， 即点P到直线l的距离小于或等于6cm，即不超过6cm， 故选：A． 【点睛】本题考查了点到直线的距离的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式1】是直线外一点，分别是上三点，已知．若点到的距离是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键．根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点P到直线l的距离，即． 故选：A． 【变式2】  如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 【变式3】如图，已知，，，，则图中线段的长度可以表示点到直线的距离的有 条，其中表示点到直线的距离的是 ，点到直线的距离是 ． 【答案】 线段的长度 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离：过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，根据定义即可求解． 【详解】图中线段的长度可以表示点到直线的距离的有： 表示点到直线的距离的是线段的长度 点到直线的距离是线段的长度，即为 故答案为：；线段的长度；． 考点9：与垂直有关的角度计算 典例9：如图，直线交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，对顶角性质等知识； （1）先根据角平分线的定义得出，再求出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案； （2）先求出，再得出，根据对顶角相等得出，进而根据角平分线的定义得出答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 【变式1】如图，直线、交于点O，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析，的度数为或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角相等，分两种情况讨论是解题的关键． （1）先利用对顶角相等可得：，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （2）分两种情况：当在直线的上方时；当在直线的下方时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：分两种情况： 当在直线的上方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴； 当在直线的下方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 【变式2】  如图，直线，交于点，，垂足为O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】此题考查了垂直的定义，平角、邻补角． （1）根据垂直定义求出，进而求出的度数，再利用平角的定义得到答案； （2）根据和，求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，直线，相交于点O，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差； （1）由垂直的定义得，等量代换得，即可得证； （2）由角的和差得 ，即可求解； 理解垂直的定义，熟练利用角的和差进行计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 即， 所以． （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以 ， 所以， 所以． 考点10：相交线的应用——规律探究 典例10：观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4) (5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角 【知识点】图形类规律探索、对顶角的定义、邻补角的定义理解 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （1）根据图形直接得出答案即可； （2）根据图形直接得出答案即可； （3）根据图形直接得出答案即可； （4）由特殊情况总结出一般规律； （5）再由（4）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角， 故答案为：2，4； （2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角， 故答案为：6，12； （3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角， 故答案为：12，24； （4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角， 故答案为：，； （5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角， 【变式1】观察下列图形，并阅读相关文字． 2条直线相交，3条直线相交，4条直线相交，5条直线相交； 有2对对顶角，有6对对顶角，有12对对顶角，有20对对顶角； 通过阅读分析上面的材料，计算后得出规律，当n条直线相交于一点时，有多少对对顶角出现（n为大于2的整数）． 【答案】n条直线相交，有n（n﹣1）对对顶角． 【知识点】对顶角相等 【分析】由材料可以得到：利用对顶角的个数，除以对应的相交直线的条数，就得到图形的顺序数．因而有n条直线相交时，这个图形是第(n-1)个图形，因而对顶角的个数是： n(n-1) 【详解】2条直线相交，有2×1=2对对顶角； 3条直线相交，有3×2=6对对顶角； 4条直线相交，有4×3=12对对顶角； 5条直线相交，有5×4=20对对顶角； … n条直线相交，有对对顶角． 【变式2】  观察下列图形,并阅读相关文字. 通过阅读分析上面的材料,计算后得出规律,当n条直线相交于一点时,有多少对对顶角出现?(n大于2的整数) 【答案】n(n-1) 【知识点】对顶角的定义 【详解】分析：由材料可以得到：2条直线相交，有2×1=2对对顶角，3条直线相交，有3×2=6对对顶角，4条直线相交，有4×3=12对对顶角，5条直线相交，有5×4=20对对顶角，……，依次类推，即可求得n条直线相交时对顶角的个数． 详解：2条直线相交，有2×1=2对对顶角； 3条直线相交，有3×2=6对对顶角； 4条直线相交，有4×3=12对对顶角； 5条直线相交，有5×4=20对对顶角； …； n条直线相交，有n（n-1）对对顶角． 点睛：本题是一个探索规律型的题目，解决的关键由所给图形找出规律，这是中考中经常出现的问题． 【变式3】下列各图中，直线都交于一点，请探究交于-一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律． (1)请观察上图并填写下表 交于一点的直线的条数 2 3 4 对顶角的对数 (2)若n条直线交于一点，则共有_____________对对顶角(用含n的代数式表示). (3)当100条直线交于一点时，则共有_____________对对顶角 【答案】（1）2，6，12；（2）；（3）9900. 【知识点】对顶角的定义 【分析】（1）在复杂图形中数对顶角的对数时,我们一般先确定图形中包含几个两条直线相 交的基本图形，在每个基本图形中有2对对顶角,从而计算出所有对顶角的对数. （2）根据计算写出规律即可； （3）根据规律进行计算即可． 【详解】解：（1）由图可得，2条直线交于一点，则有对对顶角；3条直线交于一点，则 对对顶角；4条直线交于一点，则有对对顶角， 故答案为2，6，12； （2）依据规律可得，n条直线交于一点，则共有n（n−1）对对顶角； 故答案为n（n−1）； （3）当n＝100时，n（n−1）＝100×99＝9900； 故答案为9900． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的概念是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 两直线的位置关系 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）相交线所形成的角 两条直线相交所成的四个角中： （1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补； ①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。 （2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 ②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。 （二）垂线及其性质 （1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。 （2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 （三）三线八角 （1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。 （2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。 （3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。 模块三 考点一遍过 考点1：相交线与平行线 典例1：下列例子中，不能看作平行线的是（    ） A．人行道上的斑马线 B．长方形门窗的边框 C．五线谱 D．螺丝上的螺旋线 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【变式2】  观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 【变式3】某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 考点2：对顶角的概念 典例2：下列图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中，与互为对顶角的是（） A． B． C． D． 【变式2】  两条相交直线所成的四个角中，有 没有 的两个角叫作对顶角． 【变式3】如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 考点3：余角、补角的概念 典例3：如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式1】如图，C是直线上一点，，图中和的关系是（  ） A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．无法确定 【变式2】  如果 为，就说这两个角 ，简称 ，其中每一个角是另一个角的 ． 如果 为，就说这两个角 ，简称 ，其中每一个角是另一个角的 ． 【变式3】若，则的余角为 ． 考点4：对顶角、余角、补角的角度计算 典例4：如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 【变式1】将一副三角板按不同位置摆放，下图中与互余的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】  如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ． 【变式3】如图，点是直线上一点，射线平分，在内部，在内部，，且，则下列四个结论正确的有 ． ①；②图中与互余的角有2个；③图中相等的角有5对；④图中互补的角有7对． 考点5：三角板中的角度计算 典例5：如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 【变式1】数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题： 如图所示： (1)①_______（填“>”“<”或“=”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，你能求出与的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由． 【变式2】  如图，将一副三角板中两个直角顶点重合于点O，按如图方式叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式3】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起．    【计算与观察】 （1）若，则_____；若，则_____； 【猜想与证明】 （2）猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由． 【拓展与运用】 （3）若，求的度数． 考点6：垂线的定义及画法 典例6：如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式1】如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（   ）    A．  B．   C．   D．   【变式2】   如图，直线和交于O点，平分于点，则 ． 【变式3】如果两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的2倍少，那么这两个角的和是 ． 考点7：垂线段的性质 典例7：立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【变式1】如图是人行横道的示意图，若从点P通过马路，通过测量在四条路线中，距离最短的路线是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 如图，三角形中，，P为直线上一动点，则线段的最小值是 ． 【变式3】如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 考点8：点到直线的距离 典例8：如果直线l外一点P与直线l上三点的连线段长分别为6cm，8cm，10cm，则点P到直线l的距离是（　　） A．不超过6cm B．6cm C．8cm D．10cm 【变式1】是直线外一点，分别是上三点，已知．若点到的距离是，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】  如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【变式3】如图，已知，，，，则图中线段的长度可以表示点到直线的距离的有 条，其中表示点到直线的距离的是 ，点到直线的距离是 ． 考点9：与垂直有关的角度计算 典例9：如图，直线交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式1】如图，直线、交于点O，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【变式2】  如图，直线，交于点，，垂足为O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式3】如图，直线，相交于点O，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 考点10：相交线的应用——规律探究 典例10：观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【变式1】观察下列图形，并阅读相关文字． 2条直线相交，3条直线相交，4条直线相交，5条直线相交； 有2对对顶角，有6对对顶角，有12对对顶角，有20对对顶角； 通过阅读分析上面的材料，计算后得出规律，当n条直线相交于一点时，有多少对对顶角出现（n为大于2的整数）． 【变式2】  观察下列图形,并阅读相关文字. 通过阅读分析上面的材料,计算后得出规律,当n条直线相交于一点时,有多少对对顶角出现?(n大于2的整数) 【变式3】下列各图中，直线都交于一点，请探究交于-一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律． (1)请观察上图并填写下表 交于一点的直线的条数 2 3 4 对顶角的对数 (2)若n条直线交于一点，则共有_____________对对顶角(用含n的代数式表示). (3)当100条直线交于一点时，则共有_____________对对顶角 学科网（北京）股份有限公司 $$