专题02 全等三角形的性质【知识串讲+八大考点】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题02 全等三角形的性质 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）全等图形 （1）概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合. （2）全等图形特征： ①形状相同。 ②大小相等。 ③对应边相等、对应角相等。 小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。 （二）全等三角形 （1）概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’ 读作：∆ABC全等于∆A’B’C’ 对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’ 对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’ 对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’ （三）全等三角形性质 ①全等三角形的对应边、对应角相等． ②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． ③全等三角形的周长等、面积等． 模块三 考点一遍过 考点1：全等图形的概念 典例1：2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等形“能够完全重合的两个图形叫做全等形”，熟练掌握全等形的定义是解题关键．根据全等形的定义即可得． 【详解】解：A、不是全等形，则此项不符合题意； B、不是全等形，则此项不符合题意； C、是全等形，则此项符合题意； D、不是全等形，则此项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等图形的定义，全等图形：大小相等且形状相同的图形，据此逐个选项分析，即可作答． 【详解】解：A、这两幅图大小不相等，故该选项不符合题意； B、这两幅图大小不相等，故该选项不符合题意； C、这两幅图大小相等且形状相同，故该选项符合题意； D、这两幅图大小相等但形状不同，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】  如图，图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有 对． 【答案】 【知识点】图形的全等 【分析】设每个小方格的边长为1，分别表示出每个图形的各边长，再根据三角形全等的判定方法，对应边相等，对应角相等的多边形是全等多边形可得答案． 【详解】解：如图，设每个小方格的边长为1， 则（1）的各边分别是 （6）的各边分别是 由边边边公理可得两个三角形全等；所以（1）（6）全等． （2）的各边长分别是：且 （3）的各边长分别是：且，    由四边形全等的定义可得：图形（2）与（3）全等， 同理：（2）（5）全等，（3）（5）全等． 故全等形有四对， 故答案为： 【点睛】此题主要考查学生对全等形的概念与判定的理解及运用，同时考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等形的判定方法． 【变式3】下图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有 对． 【答案】2 【知识点】图形的全等 【详解】本题考查了全等三角形的判定 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 根据给出的七巧板拼成的一艘帆船，可知图形中有5个等腰直角三角形，1个平行四边形，1个正方形．通过观察可知两个最大的等腰直角三角形和两个最小的等腰直角三角形分别全等，因此全等的三角形共有2对． 考点2：全等三角形的对应元素 典例2：如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【变式1】如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【知识点】全等三角形的概念 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 【变式2】  如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．    【答案】 【知识点】全等三角形的概念、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 【变式3】如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ． 【答案】 与，与 AB与BA，BC与AD 【知识点】全等三角形的概念 【分析】由，结合图形可得其余的对应角与对应边． 【详解】解：，与是对应角，AC与BD是对应边， 其余的对应角是与，与； 其余的对应边是AB与BA，BC与AD． 故答案为：，与，与，AB与BA，BC与AD 【点睛】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解题的关键． 考点3：全等三角形的性质——求线段 典例3：如图，若，点在同一条直线上，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由可得，进而得，据此即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 故选：． 【变式1】如图，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 【变式2】  如图，，点、在线段上，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，由全等三角形的性质可得，由线段的和差可得，进而即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，，的周长为，，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由，可得，的周长为，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，的周长为， ∴， 故答案为：． 考点4：全等三角形的性质——求角 典例4：如图，，点在线段上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，得到，，由三角形内角和定理求出，即可得到,关键是由，推出，，得到，． 【详解】解：， ，， ，， ， ． 故选：C． 【变式1】如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 又， ∴， 故选：B． 【变式2】  如图，两个三角形全等，则的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是本题的关键． 由全等三角形的性质可求解． 【详解】解：∵两个三角形全等，为边的夹角， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，，，，那么 ， ． 【答案】 / / 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据，，，所以，，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：，． 考点5：全等三角形的性质——角度关系 典例5：如图，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质、角的和差、三角形外角的性质等知识点逐个分析即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即①正确,,即③正确，； ∴, ∴，即②正确； ∵， ∴, ∵ ∴，即④正确； ∴正确的有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解答本题的关键． 【变式1】如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质可得∠B=∠C，∠BED=∠EFC，再利用三角形内角和定理可得出等量关系，化简即可． 【详解】解： ∵， ∴∠B=∠C，∠BED=∠EFC， ∵，，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴，, ∴， ∵在△EFC中，， ∴,即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和全等三角形的性质．熟练掌握定理，能结合图形完成角度之间的转化是解题关键． 【变式2】  如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一直线上，则下列结论中正确的是 （选填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由，可得，，，而，可得，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，，故①符合题意，④不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故②符合题意； ∴， ∴，故③符合题意； 故答案为：①②③． 【变式3】如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是 . 【答案】①②③ 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】首先延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，根据全等三角形的性质，得出∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，再根据等边对等角，得出∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD， 又因为∠ABD+∠EBC＝180°，进而得出∠ABD＝∠EBC＝90°，再利用三角形的内角和等于，得出∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，即可证明①正确；再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CEB+∠ECB＝90°，再根据全等三角形的性质，得出∠BAD＝∠BEC，进而得出∠BAD+∠ECB＝90°，即可证明②正确；再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，再根据∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，又因为∠ADB＝∠ECB，得出∠EAD＝∠ECD，即可证明③正确． 【详解】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB， ∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD， ∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°， ∴∠BAE+∠BCD＝90°， ∴∠AMC＝90°， ∴CD⊥AE，故①正确； ∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC， ∴∠BAD+∠ECB＝90°， ∴∠ANC＝90°， ∴AD⊥CE，故②正确； ∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°， ∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°， ∠ADB＝∠ECB， ∴∠EAD＝∠ECD，故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形的外角定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理． 考点6：全等三角形的性质——判断结论 典例6：如图，把绕着点D顺时针旋转得到，点A的对应点C落在边上，则下列结论不正确的是（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．由旋转的性质得 ，故可解答本题． 【详解】解：由旋转的性质得，，故选项A、D正确，不符合题意； 由旋转的性质得， ∴平分，故选项B正确，不符合题意； 由旋转得， ∴与不一定平行，故C错误，符合题意， 故选：C． 【变式1】如图，已知，点，，，在一条直线上，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得到，，，，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 综上可知，选项A、B、C正确，但无法证明，故选项D不一定成立， 故选：D 【变式2】  如图，已知ABE ACD，且∠B=∠C，则下列结论： （1）∠1=∠2；（2）∠BAD=∠CAE；（3）AD=AE；（4）DB=EC． 其中正确的有 （填序号） 【答案】（1）、（2）、（3）、（4） 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断． 【详解】解：∵ABE ACD，且∠B=∠C， ∴∠1=∠2，BE=CD，AD=AE，∠BAE=∠CAD， ∴BEDE=CD-DE，∠BAE∠DAE=∠CAD∠DAE， 即BD=CE，∠BAD=∠CAE， 综上，（1）（2）（3）（4）均正确； 故答案为：（1）、（2）、（3）、（4）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．找准两个全等三角形的对应角、对应边是解题的关键． 【变式3】如图，沿边所在直线向右平移得到，下列结论：①；②；③；④．正确的有 （只填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】利用平移的性质求解、全等三角形的性质 【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，即可选择正确答案． 【详解】解：由平移的性质可得： ∴；； ∴，即 ∴正确的有①②③ 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 考点7：全等三角形的性质——证明题 典例7：如图所示，，，三点在同一条直线上，且， (1)证明：． (2)探究当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)满足时，，理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． （1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可； （2）根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可． 【详解】（1）证明： ， ，， ， 即； （2）解：满足时，， 理由是： ， ， ， ． 【变式1】如图，，点A，F，C，E在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和； （1）由可得，即可得到； （2）由可得，再由得到，最后根据列方程计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即； （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【变式2】  如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 【答案】(1) (2)31 【知识点】全等三角形的性质 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、、、，根据三角形的周长公式计算即可． 本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 【详解】（1）解： ，， ． ∵， ， ， 即， ． （2）解：∵， ，， ∴与的周长之和， ． 【变式3】如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，延长交于点F． (1)若，，求的长度； (2)①求的度数；②求证：． 【答案】(1)； (2)①；②见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键． （1）由三角形全等的性质可得出，，从而可求出； （2）①由三角形全等的性质可得出，．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出； ②由①得．由对顶角相等即得出，从而即可求出，即可证明． 【详解】（1）解；∵， ∴，， ∴； （2）证明：①∵， ∴，． ∵点B，C，D在同一条直线上， ∴； ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 考点8：全等三角形的性质——动点问题 典例8：如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图1，当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 【答案】(1) (2) (3)Q运动的速度为或． 【知识点】列代数式、根据三角形中线求面积、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质，且即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：∵ ∴在上时，的面积等于面积的一半， ∴， ∴； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 【变式1】如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若与全等，点与点为对应点，求的长． 【答案】(1) (2) (3)3或3.5 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】（1）根据三角形内角和算出，再根据平角定义算出最后再运用三角形内角和即可求解； （2）根据得出再由三角形内角和即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解； 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）∵， ， ． （3）当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：为3或3.5． 【点睛】该题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用． 【变式2】  如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5 （1）PC＝ cm（用含t的代数式表示） （2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）(10﹣2t)；（2）当v=2或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等． 【知识点】列代数式、全等三角形的性质 【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可； （2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s， ∴ts后BP=2tcm， ∴PC=BC−BP=(10−2t)cm， 故答案为：(10﹣2t)； （2）由题意得：，∠B=∠C=90°， ∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况， 当△ABP≌△PCQ时， ∴AB=PC，BP=CQ， ∴10−2t=6，2t=vt， 解得，t=2，v=2， 当△ABP≌△QCP时， ∴AB=QC，BP=CP， ∴2t=10-2t， vt=6， 解得，t=2.5，v=2.4， ∴综上所述，当v=2或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． 【变式3】已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒． (1)的长为______（用含的代数式表示）． (2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据即可得到答案； （2）分情况讨论时对应边的关系，通过不同的对应关系列式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：若， 则，即， ∴，； 若 则，，则 得：， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形的性质 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）全等图形 （1）概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合. （2）全等图形特征： ①形状相同。 ②大小相等。 ③对应边相等、对应角相等。 小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。 （二）全等三角形 （1）概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’ 读作：∆ABC全等于∆A’B’C’ 对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’ 对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’ 对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’ （三）全等三角形性质 ①全等三角形的对应边、对应角相等． ②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． ③全等三角形的周长等、面积等． 模块三 考点一遍过 考点1：全等图形的概念 典例1：2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A．B．C．D． 【变式2】  如图，图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有 对． 【变式3】下图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有 对． 考点2：全等三角形的对应元素 典例2：如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式1】如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【变式2】  如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．    【变式3】如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ． 考点3：全等三角形的性质——求线段 典例3：如图，若，点在同一条直线上，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】  如图，，点、在线段上，，，则的长为 ． 【变式3】如图，，的周长为，，，则的长是 ． 考点4：全等三角形的性质——求角 典例4：如图，，点在线段上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】  如图，两个三角形全等，则的度数是 ． 【变式3】如图，，，，那么 ， ． 考点5：全等三角形的性质——角度关系 典例5：如图，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】  如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一直线上，则下列结论中正确的是 （选填序号）． ①；②；③；④． 【变式3】如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是 . 考点6：全等三角形的性质——判断结论 典例6：如图，把绕着点D顺时针旋转得到，点A的对应点C落在边上，则下列结论不正确的是（   ） A． B．平分 C． D． 【变式1】如图，已知，点，，，在一条直线上，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】  如图，已知ABE ACD，且∠B=∠C，则下列结论： （1）∠1=∠2；（2）∠BAD=∠CAE；（3）AD=AE；（4）DB=EC． 其中正确的有 （填序号） 【变式3】如图，沿边所在直线向右平移得到，下列结论：①；②；③；④．正确的有 （只填序号）． 考点7：全等三角形的性质——证明题 典例7：如图所示，，，三点在同一条直线上，且， (1)证明：． (2)探究当满足什么条件时，？并说明理由． 【变式1】如图，，点A，F，C，E在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【变式2】  如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 【变式3】如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，延长交于点F． (1)若，，求的长度； (2)①求的度数；②求证：． 考点8：全等三角形的性质——动点问题 典例8：如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图1，当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 【变式1】如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若与全等，点与点为对应点，求的长． 【变式2】  如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5 （1）PC＝ cm（用含t的代数式表示） （2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒． (1)的长为______（用含的代数式表示）． (2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$