专题08期中压轴大题考前培优必刷50题（七下苏科，11大类型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（江苏专用）

期中压轴大题考前培优必刷50题（七下苏科，11大类型） 目录 类型一、幂的运算的逆运用问题 1 类型二、幂的运算的新定义问题 2 类型三、整式乘法的规律性探究问题 4 类型四、多项式乘多项式与面积综合问题 6 类型五、利用乘法公式进行求值综合问题 9 类型六、整式的乘法与新定义综合问题 11 类型七、完全平方公式与最值综合问题 13 类型八、乘法公式与几何综合问题 14 类型九、平移的有关计算与证明综合问题 18 类型十、轴对称与翻折的有关计算与证明综合问题 20 类型十一、旋转的有关计算与证明综合问题 21 类型一、幂的运算的逆运用问题 1．（2024七年级下·全国·专题练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． 2．（23-24七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）已知， (1)______； (2)当时，求的值； (3)求的值． 4．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，求： ①的值； ②的值． 5．（21-22七年级下·江苏淮安·期中）（1）计算判断：　　，　　（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）猜想发现：___（a≠0，b≠0，m是正整数，填“＞”“＜”或“＝”）； （3）拓展应用：计算 类型二、幂的运算的新定义问题 6．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 7．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：_________； (2)计算：． 8．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_______；若，则_______； (2)已知，若，则_______； (3)若，令． ①求的值； ②求的值． 9．（22-23七年级下·江苏南京·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______， ______； ②若，则______． (2)若，，，试说明下列等式成立的理由：． 10．（22-23七年级下·江苏·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：　　，，　　； (2)有同学在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设， ， 即， ． ①若，，，请你尝试运用上述这种方法证明； ②猜想（结果化成最简形式）． 类型三、整式乘法的规律性探究问题 11．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 12．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得：________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：； (3)【拓展】请运用上面的方法，求的值． 13．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， … (1)根据你的观察，直接写出结果：________；________； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，用相关等式进行表述，并说明理由； (3)应用：直接写出计算结果________． 14．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 15．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数……这就是著名的杨辉三角： (1)的展开式共有____________项，系数和为____________． (2)根据上面的规律，则的展开式=____________． (3)利用上面的规律计算：． 类型四、多项式乘多项式与面积综合问题 16．（24-25八年级上·江苏南通·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 17．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)________． (2)的商是________，余式是________． (3)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图3）．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长（用只含有的代数式表示）． 18．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）数学课上，张老师准备了图①中、、三种型号的卡片做拼图游戏，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应选取_____张B型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为_____（用含a，b的代数式表示）； (2)选取4张B型卡片，按图②的方式拼图，则中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为_____． (3)现有A，B，C型号卡片各8张，且，从中选取张拼正方形，每种卡片至少选一张，当所拼正方形边长最大时，的最大值为_____； (4)选取1张图②中的D型卡片，3张B型卡片，不重叠的放在长方形内（如图③），当的长度不变，的长度变化时，两块阴影部分（均为长方形）的面积差S始终为定值，探索a与b的关系，并说明理由． 19．（23-24七年级下·江苏常州·期中）在计算如图1所示的正方形的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：因此，可得到等式：．    (1)类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式：________； (2)试在图2右边空白处画出面积为的长方形的示意图（标注好a，b），由图形可知，多项式可分解因式为：________； (3)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有________项． 20．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可得到等式．请利用．解决下面问题：已知，，求代数式的值； (2)如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②若，，记直角三角形的面积为，正方形的面积为，则 ． 21．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）通过前面的学习，我们知道可以运用图形的面积解释代数恒等式．如图，现有甲、乙、丙三种不同的卡片若干张，其中甲类卡片是边长为a的正方形，乙类卡片是边长为的正方形，丙类卡片是长为b、宽为a的长方形． (1)取甲类卡片1张，乙类卡片2张，丙类卡片3张拼成如图的长方形，可以解释等式： ； (2)取适当数量的甲、乙、丙三类卡片，拼出面积为的长方形，在方框内画出拼法示意图； (3)取甲类卡片1张，乙类卡片4张，则应取丙类卡片 张才能用它们拼成一个新的正方形； (4)取甲类卡片1张，乙类卡片12张，丙类卡片若干张拼成一个长方形，则丙类纸片的取法有 种． 类型五、利用乘法公式进行求值综合问题 22．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______． (2)若，求的值． (3)已知，求的值． 23．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：若，求m、n的值． 解：， ，，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的值． 24．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）（1）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为，试求的值； （2）已知：．求：①；②． 25．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）阅读材料：已知，，求的值． 解：， ， ， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______； (2)若，求的值； (3)若，，求的值． 类型六、整式的乘法与新定义综合问题 26．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）对于任意有理数a、b，规定新运算，例如，所以． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)记，，判断M，N的大小关系，并说明理由． 27．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若一个正整数x能表示成 （a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”． ∵ （其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：48是否是“优美数”，如果是，请写出48的所有平方差分解；如果不是，说明理由． (2)已知 （x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 28．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4） 已知x，y满足，求的最小值． 29．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)写出一个30到50之间的“正巧数”； (2)设两个连续正奇数为和（其中k是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)m，n为正整数，且，若是“正巧数”，求的值． 30．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 类型七、完全平方公式与最值综合问题 31．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式 的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法∶ 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 (2)多项式有最 （填“大”或“小”）值，该值为 (3)已知，求的最值 (4)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 32．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）【阅读材料】若，求a、b的值．解：因为， 所以 即， 因为和都是非负的， 所以且， 所以． 【读后思考】若，则_____， _____； 【深入探索】若，求的值； 【知识迁移】若a、b都是正整数，且满足，求的值． 33．（23-24七年级下·江苏南京·期中）问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 尝试应用 (1)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 拓展提高 (2)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 类型八、乘法公式与几何综合问题 34．（22-23七年级下·江苏徐州·期中）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 35．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）【问题呈现】 借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图1是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图1中的阴影部分面积，请直接写出来． 方法一：______________________；方法二：_____________________． 因此，可以得出等式：__________________． 【数学应用】 根据图1所得的等式，若，，则 ． 【拓展应用】 如图2，在正方形中，点E在边上，，．以、为一边在上方分别作正方形和正方形，连接．若，则阴影部分的面积为 ； 【延伸应用】 如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，请求出种草区域的面积和． 36．（23-24七年级下·江苏南京·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 37．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如，若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)若，，则_________（直接填出结果）； (2)若，，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外作正方形和，在长方形内作长方形，若长方形的面积为，求阴影部分图形的面积． 38．（23-24七年级下·江苏南京·期中）综合与实践． 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形．    (1)选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上抆照图2的方式排成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式______． (2)如果用若干张，，三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图．    (3)选取1张型卡片，4张型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，且为定值，则与的关系是______． 39．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，中，，、、的对边分别记为，，． 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形 （1）在图2中，正方形的面积可表示为________，正方形的面积可表示为________．（用含，的式子表示） （2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系． 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3、4、5所示的图形．他们根据面积法得到了一个关于边、、的等式，整理后发现． （3）请你从图3、4、5中选一个合适的图形用面积法证明． 你的选择是图________， 你的证明： （4）根据（3）中的结论回答，当，时，的值为________． 类型九、平移的有关计算与证明综合问题 40．如图，在三角形中，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点D，连接． (1)若，试求和的度数． (2)若落在边的中点处，且，求四边形的面积． (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形的位置后，点P的对应点为点，连接．若三角形的周长为a，四边形的周长为，求的长度． 41．如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 42．如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，． (1)图中的度数是 　　°； (2)将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 类型十、轴对称与翻折的有关计算与证明综合问题 43．【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 44．操作与探究： 如图，已知长方形的每个内角都是直角，将一张长方形纸片沿折叠后，点D、C的对应点分别是的延长线与相交于点与相交于； (1)若，求的度数； (2)与的角平分线相交于点，求的度数； (3)设与的角平分线相交于，图中与之间存在某种关系，你能找出这个关系吗？说明理由； 45．在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 类型十一、旋转的有关计算与证明综合问题 46．如图，直线一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．    (1)求的度数． (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点为．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值． 47．一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度； (2)如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．． ①用含的代数式表示：（________）°； （________）°； ②当为何值时，边平分； ③直接写出当为何值时， 48．【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，，、是直线上的两点，连接、交于点 【探索发现】（1）判断，和之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作分别交、于点，． （2）若平分，，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 49．已知直线，点M和点N分别在直线和上，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，则_________°． (2)如图2，若点F是直线下方一点，连接与直线交于点O，连接，分别是、的角平分线，已知，，求的度数？ (3)如图3，连接，点P在点N右侧且在直线上，过点P在下方作，垂足为点P，若，，平分，将射线绕点P以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为t秒，直接写出与的任意一条边平行时t的值． 50．如图，直线，直线交直线m，n分别于点A，B，点C，D在直线m上，点M在直线n上，且满足．垂直于交的延长线于点E，交直线n于点F，平分交于点H，交直线n于点G．    (1)请用等式表示之间的数量关系 ； (2)若． ①求的度数； ②将绕点B以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当与射线重合时停止，则在旋转的过程中，当与的某一边平行时，请直接写出t的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中压轴大题考前培优必刷50题（七下苏科，11大类型） 目录 类型一、幂的运算的逆运用问题 1 类型二、幂的运算的新定义问题 4 类型三、整式乘法的规律性探究问题 9 类型四、多项式乘多项式与面积综合问题 13 类型五、利用乘法公式进行求值综合问题 22 类型六、整式的乘法与新定义综合问题 25 类型七、完全平方公式与最值综合问题 30 类型八、乘法公式与几何综合问题 34 类型九、平移的有关计算与证明综合问题 44 类型十、轴对称与翻折的有关计算与证明综合问题 49 类型十一、旋转的有关计算与证明综合问题 56 类型一、幂的运算的逆运用问题 1．（2024七年级下·全国·专题练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方计算及其逆运算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则和幂的乘方计算法则得到，再根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则和幂的乘方的逆运算法则得到，进而得到再根据题意求解即可； （3）先求出，，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 2．（23-24七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)1，6； (2)6； (3)见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为1； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是6； 故答案为：1，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）已知， (1)______； (2)当时，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)64 【分析】本题考查幂的运算，掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的除法，求解即可； （3）逆用幂的乘方，化成同底数幂的除法进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）， ∴， ∴； （3）， 由（2）知：， ∴原式． 4．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，求： ①的值； ②的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘、除法，解题的关键是掌握幂的乘方． （1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （2）①利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；②利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【详解】解：（1） ， ，      ， ，   ；    （2）①；     ②． 5．（21-22七年级下·江苏淮安·期中）（1）计算判断：　　，　　（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）猜想发现：___（a≠0，b≠0，m是正整数，填“＞”“＜”或“＝”）； （3）拓展应用：计算 【答案】（1）= 、=；（2）= ；（3）9 【分析】（1）根据有理数的乘方和负整数指数幂进行计算，然后比较大小； （2）观察（1）中计算的结果可得出结论； （3）利用上述结论和积的乘方的逆运算解答即可． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴，， 故答案为：= 、=； （2）由（1）中计算的结果可得：， 故答案为：=； （3）原式． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂的意义，积的乘方的逆运算，本题是探求规律型题目，反映了由特殊到一般的规律性． 类型二、幂的运算的新定义问题 6．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据新定义列式计算即可求解； （）根据新定义列式，再根据同底数幂乘法的逆运算计算即可求解； 本题考查了乘方及同底数幂乘法的逆运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：_________； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）模仿题干过程，根据同底数幂的乘法解决此题． （2）模仿题干过程，根据同底数幂的乘法解决此题． 本题主要考查乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． 【详解】（1）解：依题意， ， ． （2）解：依题意， , ． , ． 8．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_______；若，则_______； (2)已知，若，则_______； (3)若，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2)15 (3)①；② 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及新定义的实数运算，掌握同底数幂的乘法以及幂的乘方是解题的关键． （1）根据新定义即可得到； （2）根据新定义得到 ，，，根据即可得解； （3）根据新定义得到，，即可判断． 【详解】（1）解：， ∴； ∵， ， 故答案为：4，64； （2）解：∵， ，，， ， ∵， ， 故答案为：15； （3）解：∵ ，， ①； ② ，，， ， ， ∴ 9．（22-23七年级下·江苏南京·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______， ______； ②若，则______． (2)若，，，试说明下列等式成立的理由：． 【答案】(1)①3，5；② (2)见解析 【分析】（1）①由，，以及题意可知，，，然后作答即可；②由，以及题意可知，，计算求解即可； （2）由题意知，，，，由，可得，即，进而结论得证． 【详解】（1）①解：∵，， ∴由题意知，，， 故答案为：3，5； ②解：∵， ∴由题意知，，即，解得，， 故答案为：； （2）证明：∵，，， ∴由题意知，，，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了乘方，平方根，同底数幂的乘法运算，负整数指数幂．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10．（22-23七年级下·江苏·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：　　，，　　； (2)有同学在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设， ， 即， ． ①若，，，请你尝试运用上述这种方法证明； ②猜想（结果化成最简形式）． 【答案】(1)2，，3； (2)①见解析；②， 【分析】（1）根据已知规定，结合乘方的运算法则进行计算，即可得到答案； （2）①根据已知规定，结合同底数幂乘法运算法则进行计算，即可证明结论； ②根据规定，结合同底数幂乘法已知的运算法则以及多项式乘以多项式的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ； ， ； ， ， 故答案为：2，，3； （2）解：①，，， ，，， ， ， ； ②设，， ， 由上述结论可知，，， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题以阅读理解形式考查乘方、同底数幂的乘法、整式的乘法等运算，理解题意，掌握相关运算法则是解题的关键． 类型三、整式乘法的规律性探究问题 11．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键. （1）根据题意得到规律即可； （2）由即可得到答案； （3）设①，则②，①＋②后即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得， 故答案为： （2）由题意可得， ， ∴ 故答案为： （3）设① 则② ①＋②得， ∴ 12．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得：________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：； (3)【拓展】请运用上面的方法，求的值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】此题主要考查了平方差公式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键． （1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案； （2）利用（1）中变化规律进而得出答案； （3）将转化为，再利用（2）中变化规律进而得出答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ……； ∴， 故答案为：． （2） ； （3） ； 13．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， … (1)根据你的观察，直接写出结果：________；________； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，用相关等式进行表述，并说明理由； (3)应用：直接写出计算结果________． 【答案】(1)3025；5625 (2)；理由见解析 (3)38025 【分析】（1）根据题干给出的计算方法进行计算即可； （2）根据已知计算，推出相应的计算规律即可； （3）根据规律进行计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：3025；5625； （2）解： 理由： ； 即：； （3）解：； 故答案为：38025． 【点睛】本题考查有理数计算中的规律探究．根据已知计算，推断出相应的数字规律，是解题的关键． 14．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 【答案】(1) (2) (3)①，② 【分析】（1）根据题中条件总结归纳即可求解； （2）根据题中条件总结归纳即可求解； （3）①根据题中条件可得，即可求出答案；②由题意可得：，从而求得答案． 【详解】（1）解：根据上式总结归纳得：， 故答案为：； （2）解：根据上式猜想得：， 故答案为：； （3）解：① ∴， ∴原式； ②由题意可得：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，灵活运用题中条件是解题关键． 15．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数……这就是著名的杨辉三角： (1)的展开式共有____________项，系数和为____________． (2)根据上面的规律，则的展开式=____________． (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1)、 (2) (3)32 【分析】（1）根据展开式的系数规律可得答案； （2）根据规律写出即可； （3）根据前面的规律可得原式等于，再计算即可． 【详解】（1）解：由杨辉三角的系数规律可得： 的展开式共有项，系数和为． 故答案为：，； （2）解：由杨辉三角的系数规律可得： ． 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查因式分解的应用，完全平方公式，根据题中所给式子找到规律是解题关键． 类型四、多项式乘多项式与面积综合问题 16．（24-25八年级上·江苏南通·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)1，2，3 (3)①7；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的运算，换元法． （1）用不同方式求大正方形的面积求解即可； （2）利用多项式乘多项式的运算法则计算，然后再根据三种纸片的面积，进而得出答案； （3）①根据已知条件，利用完全平方公式，先求出，然后求出即可； ②设，则，，根据已知得出，利用完全平方公式展开，进而得出答案． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的面积为，也可以为， ∴，，之间的等量关系为：； （2）解： ， ∵一张A种纸片的面积为，一张B种纸片的面积为，一张C种纸片的面积为， ∴要拼出一个面积为的矩形，需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片3张． 故答案为：1，2，3； （3）解：①∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值是． 17．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)________． (2)的商是________，余式是________． (3)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图3）．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长（用只含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式乘法和除法；根据题意找出规律是解决此题的关键． （1）根据题意，结合法则找规律计算即可； （2）结合题意，根据多项式除以多项式的法则列竖式计算即可； （3）利用面积关系求长方形的边长即可． 【详解】（1）解：， 用竖式计算如下： 故答案为：； （2）解：．用竖式计算如下， 的商是，余式是， 故答案为：； （3）长方形的周长为：， 长方形的周长为：， ∵长方形的周长是周长的2倍， ， ， ∴长方形的面积为：， ∴长方形的面积为：， ∴长方形的另一边长为：， ∴长方形的另一边长为：． 18．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）数学课上，张老师准备了图①中、、三种型号的卡片做拼图游戏，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应选取_____张B型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为_____（用含a，b的代数式表示）； (2)选取4张B型卡片，按图②的方式拼图，则中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为_____． (3)现有A，B，C型号卡片各8张，且，从中选取张拼正方形，每种卡片至少选一张，当所拼正方形边长最大时，的最大值为_____； (4)选取1张图②中的D型卡片，3张B型卡片，不重叠的放在长方形内（如图③），当的长度不变，的长度变化时，两块阴影部分（均为长方形）的面积差S始终为定值，探索a与b的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)21 (4)，见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据多项式与多项式相乘的法则即可进行计算； （2）根据正方形的性质即可解决问题； （3）利用正方形的面积即可解决问题； （4）设，根据题意可得，根据 ，列出等式，整理后得，进而可以解决问题．． 【详解】（1）解：； 1张型卡片，4张型卡片，则应选取4张型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为， 故答案为：； （2）根据题意可知：， 故答案为：； （3）1张型卡片的面积为张型卡片的面积为张型卡片的面积为，因此这张卡片的面积为， 而， 因此可以拼成一个边长为的正方形，而卡片一共只有， ， 至少选7张型卡片，要使最大，则8张型卡全用上， ， 因此的值为， 故答案为：21； （4）设，根据题意，得， ， ∵根据， ， ， ， ， ， ， 或， ∴与的关系为． 19．（23-24七年级下·江苏常州·期中）在计算如图1所示的正方形的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：因此，可得到等式：．    (1)类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式：________； (2)试在图2右边空白处画出面积为的长方形的示意图（标注好a，b），由图形可知，多项式可分解因式为：________； (3)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有________项． 【答案】(1) (2)画图见解析； (3)55 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式与因式分解，解题的关键是数形结合，熟练掌握多项式乘多项式运算法则． （1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形，得出多项式分解因式的结果即可； （3）由，共有项. 共有项， 知展开后合并同类项共项． 【详解】（1）解：图2中大正方形的边长为，则面积为， 将图2中大正方形看作有9个图形的面积之和，则大正方形面积为： ， ∴可以得出等式：． （2）解：面积为的长方形的示意图，如图所示：    ∴多项式分解因式为：． （3）解：∵，共有项， 共有项， ∴按照此规律可知：展开后合并同类项后的项数为： （项）． 20．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可得到等式．请利用．解决下面问题：已知，，求代数式的值； (2)如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②若，，记直角三角形的面积为，正方形的面积为，则 ． 【答案】(1) (2)①，见解析；② 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和完全平方公式． （1）先利用已知条件，根据完全平方公式求出，，再利用多项式乘多项式法则进行化简，再把和的值整体代入计算即可； （2）①观察图形得出，，的关系，并用面积法进行证明即可； ②先根据已知条件，求出，，再求出直角三角形和正方形的面积，进行解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：①，，之间的数量关系是：，推理过程如下： 由题意可知：正方形的面积个三角形的面积， ， 正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积个三角形的面积， ； ②，， ， 即，， 直角三角形的面积为：， 正方形的面积个正方形的面积， ， 故答案为：． 21．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）通过前面的学习，我们知道可以运用图形的面积解释代数恒等式．如图，现有甲、乙、丙三种不同的卡片若干张，其中甲类卡片是边长为a的正方形，乙类卡片是边长为的正方形，丙类卡片是长为b、宽为a的长方形． (1)取甲类卡片1张，乙类卡片2张，丙类卡片3张拼成如图的长方形，可以解释等式： ； (2)取适当数量的甲、乙、丙三类卡片，拼出面积为的长方形，在方框内画出拼法示意图； (3)取甲类卡片1张，乙类卡片4张，则应取丙类卡片 张才能用它们拼成一个新的正方形； (4)取甲类卡片1张，乙类卡片12张，丙类卡片若干张拼成一个长方形，则丙类纸片的取法有 种． 【答案】(1) (2)见详解 (3)4 (4)3 【分析】此题考查了整式的运算与完全平方公式的几何背景以及应用设计与作图，此题的立意较新颖，注意对此类问题的深入理解． （1）根据甲类，乙类，丙类卡片的面积之和等于长方形的面积即可求解； （2）取甲类卡片1张，乙类卡片3张，丙类卡片4张，即可拼出面积为的长方形； （3）根据根据甲类，乙类，丙类卡片的面积之和等于正方形的面积，列出完全平方公式，即可求解； （4）直接根据（1）中所求结合，得出或或，进而得出符合题意的个数； 【详解】（1）根据题中图形可得，可以解释等式：； （2）如图，即为所求； （3）根据，故取甲类卡片1张，乙类卡片4张，则应取丙类卡片4张才能用它们拼成一个新的正方形， 故答案为：4． （4）假设取甲类卡片1张，乙类卡片12张，丙类卡片n张可以拼成一个长方形， 则正方形面积， 则或或， 即或或， 则丙类纸片的取法有3种， 故答案为：3． 类型五、利用乘法公式进行求值综合问题 22．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______． (2)若，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)31 (2)15 (3)11 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）由题意得到，根据完全平方公式得出，化简即可求解． （3）两边同时除以x得，，两边平方得，化简即可求解． 【详解】（1） ，， ，， ，即， ， 故答案为：31． （2） ，， ， ， ， ； （3） ， 即， ， 23．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：若，求m、n的值． 解：， ，，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的值． 【答案】(1)9 (2)2 【分析】（1）根据求出x、y的值，代入计算即可； （2）根据，应用因式分解的方法，判断出，求出a、b的值，然后根据三角形的三条边的关系，求出c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c为正整数， ∴． 【点睛】本题考查配方法的应用，以及三角形三条边的关系，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题． 24．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）（1）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为，试求的值； （2）已知：．求：①；②． 【答案】（1）；（2）①4；②544 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，二元一次方程组的应用，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． （1）先利用多项式乘以多项式法则计算，再根据不含的二次项，且常数项为可得一个关于的方程组，解方程组求出的值，然后代入计算即可得； （2）利用完全平方公式的变形将所求的式子变形为进行求解即可； 先根据完全平方公式的变形和积的乘方计算法则得到，，再根据进行求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵中不含的二次项，且常数项为， ，解得， 则； （2）①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴． 25．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）阅读材料：已知，，求的值． 解：， ， ， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______； (2)若，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式的形式，掌握整体思想是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：， ∴． 类型六、整式的乘法与新定义综合问题 26．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）对于任意有理数a、b，规定新运算，例如，所以． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)记，，判断M，N的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)4 (2)x的值为15或 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解一元一次方程，完全平方式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）分两种情况∶当；当；然后分别进行计算即可解答 （3）利用作差法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）分两种情况： 当，即时， ， ， 解得：； 当，即时， ， ， 解得：， 综上所述：x的值为15或； （3）， 理由： ，， ， ， ； = ， = ， ． 27．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若一个正整数x能表示成 （a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”． ∵ （其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：48是否是“优美数”，如果是，请写出48的所有平方差分解；如果不是，说明理由． (2)已知 （x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】(1)48是“优美数”，13与11，8与4，7与1都是48的平方差分解 (2)当时，N为“优美数” 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据“优美数”的定义进行解答即可； （2）将化简为：，根据N是“优美数”得出，求出k的值即可． 【详解】（1）解：48是“优美数” ∵， ， ， ∴48是“优美数”，13与11，8与4，7与1都是48的平方差分解； （2）解：∵， ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 28．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4）已知x，y满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）2；（3）当时，为“完美数”，理由见解析；（4）4 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式可得 ，再利用新定义可得答案； （4）由条件可得，再结合非负数的性质可得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； （3）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 有最小值，最小值为4． 29．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)写出一个30到50之间的“正巧数”； (2)设两个连续正奇数为和（其中k是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)m，n为正整数，且，若是“正巧数”，求的值． 【答案】(1)32，40，48（选择其中一个即可）； (2)能被8整除，理由见详解 (3)9 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算；难点是理解“正巧数”都是8的倍数，如果一个数是8的倍数，那么这个数一定是“正巧数”． （1）根据“正巧数”的定义设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数，则，解不等式求出的值即可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）将整理为，据此可得出的值． 【详解】（1）解：根据“正巧数”的定义：“正巧数”等于两个正奇数的平方差， 设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数， 则：， 整理得：， 解得：， 为正整数， ，5，6， 到50之间的“正巧数”共有3个，它们分别是：32，40，48． 即：，，． ∴在32，40，48中任选一个即可； （2）解：“正巧数”能被8整除，理由如下： ， 又是正整数， 能被8整除 能被8整除， “正巧数”能被8整除； （3）解：， ． 30．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 【答案】（1）1，；（2）的最小值，；（3）的最大值13，；（4）（包含和2） 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据题干提供的方法，即可解决问题； （3）根据题干提供的方法，即可解决问题； （4）首先判断的最小值，求出或4时的值，即可判断的取值范围． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴， ∴最小值为1，此时， 即； （2）∵， 又∵， ∴， ∴有最小值，此时，即； （3）∵， 又∵， ∴， ∴有最大值13，此时； （4）∵， ∴有最小值，此时， 令，则， 令，则， ∴当x的值在（包含和4）之间变化时，． 【点睛】本题考查非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用非负数可以确定最值问题． 类型七、完全平方公式与最值综合问题 31．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式 的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法∶ 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 (2)多项式有最 （填“大”或“小”）值，该值为 (3)已知，求的最值 (4)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)； (2)大；19 (3) (4)9 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （4）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】（1） ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为，； （2） ∵ ∴当时，的值最大，最大值是0． ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，19； （3）∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （4）， ， 边长的范围为． ，，都是正整数， 边长的值为4，则的周长为 32．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）【阅读材料】若，求a、b的值．解：因为， 所以 即， 因为和都是非负的， 所以且， 所以． 【读后思考】若，则_____， _____； 【深入探索】若，求的值； 【知识迁移】若a、b都是正整数，且满足，求的值． 【答案】读后思考：；；深入探索：；知识迁移：3或 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质： 读后思考：把所求式子变形为，再仿照题意求解即可； 深入探索：把所求式子变形为，再仿照题意求解即可； 知识迁移：把所求式子变形为，根据都是正整数，推出或，据此求解即可． 【详解】解：读后思考：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； 深入探索：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 知识迁移：∵， ∴， ∴， ∵都是正整数， ∴都是整数，即都是非负整数， ∴或， 解得，或， ∴或． 33．（23-24七年级下·江苏南京·期中）问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 尝试应用 (1)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 拓展提高 (2)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)的最大值为59，此时x的值是7； (2)有，最小值为18cm2． 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法． （1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）设一段铁丝长度为x，则另一段长度为，则可分别求出两个正方形边长为和，根据正方形面积为边长的平方，列出面积之和的代数式，仿照例题构建完全平方即可求解． 【详解】（1）解： 因为， 所以， ∴当时，的值最大，最大值为59， 解方程得， 所以的最大值为59，此时x的值是7； （2）解：设其中一段铁丝的长度为x(cm)，则另一段铁丝的长度为， 所以这两段铁丝做成的正方形边长分别为和， 所以这两个正方形的面积之和为： ， ∵时，最小，最小值是18． 类型八、乘法公式与几何综合问题 34．（22-23七年级下·江苏徐州·期中）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)①56；②2 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，化简后代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． 故答案为：． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． 故答案为：． （3）解：①根据定义，得 ， 当时， 原式． ②解：根据题意，得 ． 又图中阴影部分的面积为45，， 故， 解得． 【点睛】本题考查了实数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 35．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）【问题呈现】 借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图1是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图1中的阴影部分面积，请直接写出来． 方法一：______________________；方法二：_____________________． 因此，可以得出等式：__________________． 【数学应用】 根据图1所得的等式，若，，则 ． 【拓展应用】 如图2，在正方形中，点E在边上，，．以、为一边在上方分别作正方形和正方形，连接．若，则阴影部分的面积为 ； 【延伸应用】 如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，请求出种草区域的面积和． 【答案】【问题呈现】，，；数学应用：88；拓展应用：20；延伸应用：27 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的面积、，熟练掌握完全平方公式与几何图形的面积是解题的关键； 问题呈现：根据图形可直接进行求解； 数学应用：由以上的结论及题意可直接进行求解； 拓展应用：根据正方形的特征可知，则有，然后根据可进行求解； 延伸应用：设，则有，然后根据题意及（1）中结论可进行求解． 【详解】解：问题呈现：由图可知：阴影部分的面积为： 方法一：，方法二：， 综上所得等式为； 故答案为，，； 数学应用： ∵，， ∴； 故答案为88； 拓展应用： 由题意得：∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为20； 延伸应用： 设，由可知， ∵种花区域的面积和为， ∴，即， ∴种草区域的面积和为， ∵， ∴， ∴种草区域的面积和为27． 36．（23-24七年级下·江苏南京·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)画图见解析， (3)9或21或12 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答． 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 37．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如，若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)若，，则_________（直接填出结果）； (2)若，，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外作正方形和，在长方形内作长方形，若长方形的面积为，求阴影部分图形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用， （1）由，得，再根据，可得结论； （2）由，得，根据，可得结论； （3）设，，则，，，继而得到，所以，得，即可求得的值； 掌握完全平方公式的结构特征及等式的变形是解题的关键．也考查了正方形和长方形的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴的值是； （3）设，， ∵在长方形中，，，四边形和都是正方形，长方形的面积为， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，． ∴阴影部分图形的面积为． 38．（23-24七年级下·江苏南京·期中）综合与实践． 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形．    (1)选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上抆照图2的方式排成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式______． (2)如果用若干张，，三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图．    (3)选取1张型卡片，4张型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，且为定值，则与的关系是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式、多项式乘以多项式、整式的加减中的无关题型，熟练掌握运算法则，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）依据题意，用两种方法表示图2的面积，即可得出公式； （2）根据题意画出图形即可； （3）设的长为，表示出，从而得出，结合为定值，即可得出答案． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为， 方法2：图2中四部分的面积为：， 故有：， 故答案为：； （2）解：拼图如图所示：   ； （3）解：设的长为， ，， ， 为定值， ， ， 故答案为：． 39．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，中，，、、的对边分别记为，，． 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形 （1）在图2中，正方形的面积可表示为________，正方形的面积可表示为________．（用含，的式子表示） （2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系． 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3、4、5所示的图形．他们根据面积法得到了一个关于边、、的等式，整理后发现． （3）请你从图3、4、5中选一个合适的图形用面积法证明． 你的选择是图________， 你的证明： （4）根据（3）中的结论回答，当，时，的值为________． 【答案】（1），  （2）  （3）图，见解析（答案不唯一）（4） 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）直接表示出正方形的面积即可解题； （2）运用两种不同的方法表示正方形的面积，然后整理解题； （3）运用两种不同的方法表示正方形的面积，然后整理即可； （4）根据题意可以得到，，然后利用解题即可． 【详解】解：（1）在图2中，正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：，； （2）由图可知：，即； （3）选择是图，正方形的面积为 即， ∴； 选择是图4，正方形的面积为 即， ∴； （4）∵，， ∴，， ∴， ∴或（舍）． 类型九、平移的有关计算与证明综合问题 40．如图，在三角形中，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点D，连接． (1)若，试求和的度数． (2)若落在边的中点处，且，求四边形的面积． (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形的位置后，点P的对应点为点，连接．若三角形的周长为a，四边形的周长为，求的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了平移的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质和三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据平移的性质和三角形面积公式即可求出答案； （3）根据平移性质、三角形和四边形的周长即可求出答案． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，，， ∴， ∵， ∴ （2）∵点落在边的中点，且 ∴, ∴ （3）由平移可知，， ∵三角形周长为，四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴ 41．如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【答案】(1)90 (2)①；②或 【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点左侧时， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 42．如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，． (1)图中的度数是 　　°； (2)将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 【答案】(1)45 (2)15° (3)或或或 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出答案； （2）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，再次利用三角形内角和定理可求出答案； （3）结合题意，画出图形：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，分两种情况进行讨论，画出图形，分别进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或或， 理由如下： 分两种情况，Ⅰ．当向上平移时， ①如图所示1：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴； ②如图2所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵ ∴， ∵， ∴； ③如图3所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时 ∵，， ∴， ∵， ∴； Ⅱ．当向下平移时，如图4所示： ④当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴， ∴； 综上可知：将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，解题关键是识别图形，找出角与角之间的关系． 类型十、轴对称与翻折的有关计算与证明综合问题 43．【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的性质，角平分线的性质，平行线的判定及性质． （1）根据折叠的性质得，，，进而得，由平角的性质即可得解； （2）先由平行线的性质得，再由角平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理可得答案； （3）过点作平分，过点作平分，先由角平分线的性质和平角的性质得出，，进而得，过点作，得，根据两直线平行内错角相等得，，再结合角平线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）根据折叠的性质得，，， ∴，即， 故答案为：； （2）解：， ， ，分别平分和， ，， ． ， ； （3）解：，证明如下： 如图，过点作平分，过点作平分， 平分，平分， ，， ， ， 同理可得：， ， 过点作， ， ，， ， 平分，平分， ，， ． 44．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）操作与探究： 如图，已知长方形的每个内角都是直角，将一张长方形纸片沿折叠后，点D、C的对应点分别是的延长线与相交于点与相交于； (1)若，求的度数； (2)与的角平分线相交于点，求的度数； (3)设与的角平分线相交于，图中与之间存在某种关系，你能找出这个关系吗？说明理由； 【答案】(1) (2) (3)，详见解析 【分析】（1）由长方形的性质和折叠的性质可得，再由三角形的内角和即可得解； （2）过点作，先证出，再由平行线的性质和三角形的内角和得出，进而即可得解； （3）利用角平分线的性质得，再利用内角和得出，等量代换即可得解． 【详解】（1）解：∵将一张长方形纸片沿折叠， ∴，， ， ，， ； （2）解：如图，过点作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下， ∵与的角平分线相交于， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形的内角和，角平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 45．在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 【答案】(1)垂直；；平行 (2)①；② (3)10或85或130；55或或145 【分析】（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案； ②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角． （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和垂直的定义，列出方程，解题方程即可． 【详解】（1）解：如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直；；平行； （2）解：①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ∵， ∴， ∴两条射线的夹角为． （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10或85或130时，两灯的光束互相平行． ②当时，如图， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当为55或或145时，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． 类型十一、旋转的有关计算与证明综合问题 46．如图，直线一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．    (1)求的度数． (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点为．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值． 【答案】(1) (2)①12.5秒  ②画图见解析； 【分析】题目主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解； （2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解； ②分三种情况：当时，当，当，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒    ②当时，分别延长和，交于点I，交于点J，交于点O，如图所示：    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 延长，交于点O，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得：； 当，    同理得 当    同理得       同理得 综上可得：t的值为． 47．一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度； (2)如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．． ①用含的代数式表示：（________）°； （________）°； ②当为何值时，边平分； ③直接写出当为何值时， 【答案】(1) (2)①，②③t为5秒或秒 【分析】（1）先求解时，旋转的角度，从而可得答案； （2）①根据旋转和角的和差关系进行求解即可； ②根据角平分线平分角，结合平角的定义，列出方程，解方程即可得到答案； ③分与相遇前和相遇后两种情况分析解答即可； 【详解】（1）解：当时，旋转的角度为， ∴边经过的量角器刻度线对应的度数是； （2）①当旋转时间为时，则，； 故答案为：，； ②如图， 由旋转可得，， 平分，， ， ， ， ， ， 解得：， 当秒时，边平分； ③在三角尺和三角尺旋转前，， 而， 分两种情况：与相遇前， 则： ， 解得：， 与相遇后，则： ， 解得：， ∴当t为5秒或秒时，． 48．【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，，、是直线上的两点，连接、交于点 【探索发现】（1）判断，和之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作分别交、于点，． （2）若平分，，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3），， 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，根据三角形的外角的性质可得，等量代换，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义，以及，得出，则，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）设旋转后的三角形为，的对应点为，分三种情况讨论，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ， 是 的外角， ， ， （2） ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 是 的外角， ； （3）由（2）可得，， 设旋转后的三角形为，的对应点为 ①当时，延长交于点， 如图所示， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ②当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ ∴ ③当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，，， 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，旋转的性质，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 49．已知直线，点M和点N分别在直线和上，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，则_________°． (2)如图2，若点F是直线下方一点，连接与直线交于点O，连接，分别是、的角平分线，已知，，求的度数？ (3)如图3，连接，点P在点N右侧且在直线上，过点P在下方作，垂足为点P，若，，平分，将射线绕点P以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为t秒，直接写出与的任意一条边平行时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线，旋转的性质等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线，旋转的性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，证明，则，根据，计算求解即可； （2）由分别是、的角平分线，可得，，由（1）可知，，可求，则，如图2，作，则，证明，则，根据，计算求解即可； （3）由平分，，可得，由，可得，则，过作与的一条边平行，由题意知，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别是、的角平分线， ∴，， 由（1）可知，， ∴， 解得，， ∴， 如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作与的一条边平行，由题意知，分，，，三种情况求解； 当即时，如图， ∴， ∴，此情况不成立； 当时，此情况不成立； 当，即时，如图， 同理，， ∴， ∴旋转， ∴（秒）； 同理，当时，此情况不成立； 当，即时，如图， 同理，， ∴， ∴旋转， ∴（秒）； 同理，当时，此情况不成立； 综上所述，t的值为或． 50．如图，直线，直线交直线m，n分别于点A，B，点C，D在直线m上，点M在直线n上，且满足．垂直于交的延长线于点E，交直线n于点F，平分交于点H，交直线n于点G．    (1)请用等式表示之间的数量关系 ； (2)若． ①求的度数； ②将绕点B以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当与射线重合时停止，则在旋转的过程中，当与的某一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①；②6秒或秒或秒 【分析】（1）由，可得，则； （2）①设，则，，由，可得，由平分，可得，由，可得，可求，根据，计算求解即可；②由（2）①可知，，，，由题意知，当与的某一边平行，分，，三种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）①解：设，则，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴； ②解：由（2）①可知，，，， 由题意知，当与的某一边平行，分，，三种情况求解； 当时，旋转到，如图1，延长交于，               图1 ∴， ∴， ∴旋转角为， ∴旋转时间为（秒）； 当，旋转到，如图2，            图2 ∴， ∴， ∴旋转角为， ∴旋转时间为（秒）； 当时，旋转到，如图3，               图3 ∴， ∴旋转角为， ∴旋转时间为（秒）； 综上所述，当与的某一边平行时，t的值为6秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线，旋转的性质等知识．熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线，旋转的性质并分情况求解是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$