高二数学下学期期中测试卷（测试范围：北师大版选择性必修第二册）

高二数学下学期期中测试卷 （范围：北师大版2019选择性必修第二册第一章+第二章 综合卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列，则该数列的第100项为（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线是曲线在点处的切线，则（   ） A．1 B．2 C． D．0 4．在等差数列中，若，则的值为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 5．曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知函数，若任意两个不相等的正实数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．若数列 满足: 存在常数 ，使得对于任意给定的正数 (无论多小)，总存在正整数 ，使得当 时，恒有 ，就称数列 收敛于 ，称数列 为收敛数列. 则下列结论中正确的有（   ）个 ①数列 不是收敛数列 ②若数列 为收敛数列，则存在正实数 ，使得对任意正整数 ，都有 ③若数列 和 为收敛数列，则数列 不一定为收敛数列 ④若数列 和 为收敛数列，则数列 不一定为收敛数列 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设等差数列的公差为为其前项和，若，则（   ） A． B． C．与是的最大值 D．使成立的的最小值为17 10．关于函数，以下说法正确的有（   ） A． B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递增 11．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为 ． 13．函数在时有极小值0，则 ． 14．已知数列满足 ，若 恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值． 16．（15分） 已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 17．（15分） 已知函数在点处的切线斜率为． (1)求在点处的切线方程； (2)若，求证：． 18．（17分） 已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； (3)已知数列满足：，求数列的前项和. 19.（17分） 函数的导函数记为，若对的定义域内任意，存在实数，使得不等式成立，则称为上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”，求的取值范围； (3)若函数是上的“函数”，且存在，对任意，当时，都有恒成立，求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学下学期期中测试卷 （范围：北师大版2019选择性必修第二册第一章+第二章 综合卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列，则该数列的第100项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断或写出数列中的项、观察法求数列通项 【分析】通过观察得到数列的通项公式，将代入求值即可. 【详解】该数列的通项公式为， 所以. 故选：A 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求出导函数，再根据导函数大于等于0得出函数增区间即可. 【详解】因为，所以当时，，即的单调递增区间是． 故选：A. 3．如图，直线是曲线在点处的切线，则（   ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据图形，利用两点表示直线的斜率，结合导数的几何意义计算即可求解. 【详解】由图可知，切线过点，所以切线的斜率为， 又由导数的几何意义知. 故选：A 4．在等差数列中，若，则的值为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的下标和性质求出，再化简，即可得出答案. 【详解】在等差数列中，， 则. 故选：D. 5．曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 6．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 上述两个等式相除得，整理可得， 因为，解得，故. 故选：B. 7．已知函数，若任意两个不相等的正实数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将原题条件转换为函数在上单调递减，进一步转换为导函数小于等于0恒成立，分离参数即可求解. 【详解】不妨设，则由， 也就是说，函数在上单调递减， 因为，由题意恒成立， 即恒成立，令， 求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8．若数列 满足: 存在常数 ，使得对于任意给定的正数 (无论多小)，总存在正整数 ，使得当 时，恒有 ，就称数列 收敛于 ，称数列 为收敛数列. 则下列结论中正确的有（   ）个 ①数列 不是收敛数列 ②若数列 为收敛数列，则存在正实数 ，使得对任意正整数 ，都有 ③若数列 和 为收敛数列，则数列 不一定为收敛数列 ④若数列 和 为收敛数列，则数列 不一定为收敛数列 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】数列新定义 【分析】根据新定义证明是一个收敛数列，即可判断①，取即可判断②，证明、一定为收敛数列，即可判断③④，从而得到结果. 【详解】对于①：因为，当无限大时，无限趋近于， 那么无限趋近于， 即对于任意给定的正数，总存在正整数 ，使得当 时， 恒有， 所以数列 是收敛数列，故①错误； 对于②：当时，，则， 当时，中最大的项为，取， 则，故②正确； 对于③：对任意的，取，当时，恒有， 当时，， 故当时， 则， 故数列一定为收敛数列，故③错误； 对于④：对任意的，令，取， 当时，恒有，当时，恒有， 故当时，则 ， 故数列一定为收敛数列，故④错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用数列的新定义，构造类似的关系，是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设等差数列的公差为为其前项和，若，则（   ） A． B． C．与是的最大值 D．使成立的的最小值为17 【答案】AC 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质、前项和公式逐项推理判断. 【详解】对于A，由，得，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由选项A知，数列是递减等差数列，前8项都为正，第9项为0，从第10项起为负， 因此与是的最大值，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 10．关于函数，以下说法正确的有（   ） A． B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递增 【答案】AD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求某点处的导数值 【分析】求导得，代值计算可判断A选项；利用导数求出函数的增区间和减区间，可判断BCD选项. 【详解】因为，该函数的定义域为，则， 对于A选项，，A对； 对于BCD选项，由可得， 由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为，BC都错，D对. 故选：AD. 11．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据题意，构造新函数，利用导数判断函数的单调性逐一检查每个选项是否正确. 【详解】设，则， 所以在上单调递减， 对于A，由，即，即，故A正确； 对于B，由，即，又，则，故B错误； 对于C，由，即，即，故C正确； 对于D，由，即，即，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用可求，但需代入检验. 【详解】当时，有， 当时，不满足上式， 所以.     故答案为： 13．函数在时有极小值0，则 ． 【答案】11 【知识点】根据极值求参数、函数极值点的辨析、根据极值点求参数 【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在时有极小值0， 所以，① ，② 联立①②解得或， 当时，， 则函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 由解得或，由解得， 函数在单调递增，单调递减，单调递增， 满足函数在时有极小值， 所以， 故答案为：11. 14．已知数列满足 ，若 恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】对和两种情况分类讨论，即可得到结果. 【详解】①若，则. 上式对任意正整数成立，所以也有，从而有恒成立，满足条件. ②若，则，而当时，又有 . 从而至少存在一个，但至多存在有限个正整数，使得. 取其中最大的正整数，那么，，从而，不满足条件. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，由导数的几何意义即可求解； （2）求导，确定函数单调性，即可求解； 【详解】（1）易知函数的定义域为， 则，所以切线方程为 （2）令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以. 16．（15分） 已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】(1)利用可得最后一项，再检验首项，即可得通项公式； (2)利用裂项相消法即可求和. 【详解】（1）由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有， 所以； （2）当时，有 当时，有， 所以有 . 17．（15分） 已知函数在点处的切线斜率为． (1)求在点处的切线方程； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式 【分析】（1）对求导，结合条件，利用导数的几何意义得，从而有，即可求解； （2）根据题设，将问题转化成证明，构造函数，利用导数与函数性间的关系，求出的单调区间，进而求出最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，则,， 又在点处的切线斜率为， 则，即，解得， 所以，则， 故在处的切线方程为． （2）由（1）知，则， 要证，即证，即， 设，得， 令，则， 因为，故恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以时，，时，， 则在区间上单调增减，在区间上单调增增， 所以的最小值为，所以． 即. 18．（17分） 已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； (3)已知数列满足：，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由等差数列的性质可求出，进而可求得数列的公差，进而可求得数列的通项公式； （2）当时，可求出的值，当时，由得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出数列的通项公式； （3）利用错位相减法可求出. 【详解】（1）因为数列为等差数列，则，可得， 所以，数列的公差为， 故. （2）当时，，解得， 当且时，由得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以，数列是首项和公比均为的等比数列，故. （3）由（1）（2）可得， 所以，， 则， 上述两个等式作差得 ， 整理得. 19.（17分） 函数的导函数记为，若对的定义域内任意，存在实数，使得不等式成立，则称为上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”，求的取值范围； (3)若函数是上的“函数”，且存在，对任意，当时，都有恒成立，求的最大值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)6 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）根据“函数”的定义进行判断即可. （2）根据“函数”的定义，可把问题转化成在上恒成立，再分离参数，得，再分析函数单调性，求函数在上的最大值即可. （3）先根据“函数”的定义求的取值范围，再把问题 “恒成立”转化为“函数在上单调递增”，由导数在大于或等于0恒成立可求的取值范围，进而得到的最大值. 【详解】（1）因为，所以. 因为当时，， 即时，. 所以对任意恒成立，所以是上的“函数”． （2），由题意，得 所以在上恒成立． 设，，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 所以，即． 所以的取值范围是． （3），由题意，得在上恒成立， 即在上恒成立． 设，， ①若，即，则． ②若，则． ③若，则． 综上所述，． 不妨设，则， 转化为， ． 设，，则在上单调递增． 所以， 由题意得存在，对任意，使得， 所以，又． 所以． 所以的最大值为6． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$