精品解析：四川省射洪中学校2024-2025学年高一强基班下学期3月月考数学试题

射洪中学高2024级高一下期强基班第一学月考试 数学试题 命题人：成相 审题人：杨勇 校对：杨勇 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式进行求解 【详解】 故选：A． 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则求出复数，再确定其虚部. 【详解】因为，，. 所以. 所以复数的虚部为：. 故选：A 3. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 4. 是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A. 3 B. －3 C. －2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可. 【详解】由已知， 由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使， 即，即解得. 故选：D 5. 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移变换的意义求得变换后的解析式为，进而根据图象关于原点对称，可得，求解即可. 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为， 因为的图象关于原点对称，所以，解得， 因为，所以. 故选：B. 6. 函数（，，）的部分图像如图所示，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中图求得即可解决. 【详解】由题知，，， 所以， 所以， 所以， 因为图象过点， 所以，解得， 因为 所以， 所以， 所以， 故选：D 7. 如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，得，故以为坐标原点，OC，OA所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 因为， 所以， 即则所以. 故选：A 8. 已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值． 【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴， ∴，即，（n∈N） 即ω＝2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数， ∵f（x）在（，）上单调，则， 即T，解得：ω≤12， 当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）不单调，不满足题意； 当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）单调，满足题意； 故ω的最大值为9， 故选B． 【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦函数周期公式直接计算可得A正确，利用整体代换可求出单调区间为，可得B错误，根据零点定义计算可得C正确，结合余弦函数图象性质计算出对应值域可得D正确. 【详解】对于A，由周期公式可得，可得A正确； 对于B，令，解得， 即函数的单调递增区间为，可知B错误； 对于C，当时，可得； 只有当时，即为函数在区间上的唯一一个零点，即C正确； 对于D，由可得， 易知函数在上先减后增，其最小值为，最大值为； 因此函数在区间的值域为，可得D正确. 故选：ACD 10. （多选）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为锐角 【答案】AD 【解析】 【分析】根据垂直和平行满足的坐标关系即可求解AB，根据模长公式即可求解C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】A选项，，，，A选项正确. B选项，，，B选项错误. C选项，时 ，，，，C选项错误. D选项，当时，由上可知向量不共线，且， 所以，所以为锐角，D选项正确. 故选：AD 11. （多选）内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边即可判断A；利用同角三角函数的关系即可判断B；利用余弦定理求出，即可判断C；根据三角形的面积公式即可判断D. 【详解】对于A，因为， 由正弦定理得，整理得，即，A正确； 对于B，由可得， 则，故B正确； 对于C，由余弦定理得， 又，可得， 整理得的周长为，故C错误； 对于D，由上知：，，可得， 则的面积为，故D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为____. 【答案】## 【解析】 【分析】先运用诱导公式化简，再应用两角差余弦公式计算即可. 【详解】 . 故答案为：##. 13. i是虚教单位，若复数是纯虚数，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数，根据复数是纯虚数求出的值，即可得到复数的模. 【详解】由题意得，. ∵是纯虚数，∴，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 14. 如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； 【详解】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. 【小问2详解】 由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 16. （1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到的值，应用诱导公式化简为，分子分母同时除以，即可得到有关的式子，代入即可得到答案； （2）先根据完全平方公式得到的值，然后再利用完全平方公式得到的值，构造等式即可求得结果. 【详解】（1）由，得或， 是方程的一个实根，且是第三象限角，， . （2）， ，则， ，所以， 故， . 17. 设，，，求： （1）的解析式，对称轴和单调增区间； （2）若，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），对称轴为直线，，单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质求出吃对称轴方程和单增区间； （2）由（1）的函数式，利用正弦函数的性质求出的最大值即可. 【小问1详解】 由，， 则 . 令，，解得，； 所以函数的对称轴为直线，； 令，，解得，； 所以函数的单调递增区间为，； 【小问2详解】 当时，，根据正弦函数的图像可知， 函数的值域为 再由，都有恒成立， 则有，即， 故实数的取值范围. 18. 在中，，，分别为内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，求三角形周长的最大值. （3）点在边上，且，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边再结合余弦定理求得即可； （2）利用余弦定理可得，结合基本不等式可求三角形的周长最大值； （3）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可. 【小问1详解】 ， ，即， ，， . 【小问2详解】 因为，所以， 则，当且仅当时等号成立， 可得， 所以三角形的周长最大值为. 【小问3详解】 根据题意可得， 平方可得. 整理得，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 即面积的最大值为. 19. 已知函数. （1）求函数解析式及最小正周期； （2）若函数在上不单调，求的取值范围； （3）已知函数，当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1），最小正周期 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式与二倍角的正余弦公式，以及辅助角公式可得，进而可求最小正周期； （2）利用整体法可得在区间，上单调递增，进而可得或，可求的取值范围； （3）令，可得，结合对勾函数的图像和性质可求的取值范围. 【小问1详解】 函数 ， 所以函数的最小正周期 【小问2详解】 由， 可得函数在区间，上单调递增， 由于区间里面一定有0，而，， 所以函数在上不单调的等价条件是，， 即满足或，解得：， 故的取值范围为； 【小问3详解】 ，令， 则， 令，可得， 有，根据对勾函数的图像和性质可知：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2024级高一下期强基班第一学月考试 数学试题 命题人：成相 审题人：杨勇 校对：杨勇 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（   ） A. B. C. D. 3. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 4. 是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A. 3 B. －3 C. －2 D. 2 5. 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数（，，）的部分图像如图所示，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间的值域为 10. （多选）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为锐角 11. （多选）内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为____. 13. i是虚教单位，若复数是纯虚数，则____________． 14. 如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 16. （1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值． 17. 设，，，求： （1）的解析式，对称轴和单调增区间； （2）若，都有恒成立，求实数的取值范围. 18. 在中，，，分别为内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，求三角形周长的最大值. （3）点在边上，且，，求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）求函数解析式及最小正周期； （2）若函数在上不单调，求的取值范围； （3）已知函数，当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $