专题45【真题演练】鸽巢问题

学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【真题演练·专题45】鸽巢问题 基础题 1.学校航模小组有32人,航模小组至少有 )人的生日是同一个月;把蓝、绿、红、黄4 种颜色的球各6个放进1个袋子里,至少取 )个球可以保证取到两个颜色相同的球。 2. 聪聪家在“五一”假期选择了省内游,在预订宾馆时发现全家5口人只订到了2间客房。聪 聪联系学过的抽屉原理”,认为总有一间客房至少要入住( )个人。第二天在换乘景区 摆渡车的时候,聪聪发现车上61个座位全部坐满,聪聪认为如果按照12生肖给这些乘客分 类,至少有( )人是同-个属相。 3. 从一副扑克牌中取出2张王牌,在剩下的52张牌中任意抽出9张,至少有( 张是 同花色的。 4.一个袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各4个(每个球的大小、形状都相同),每次至少摸出 ( 个球才能保证一定有两个相同颜色的球 5.有红、白、蓝三种颜色的卡片各5张,至少随意抽取( )张卡片,才能保证取到两张 不同颜色的卡片。 B.4 C. 5 A.3 D.6 6. 盒子里装有2个黄球、4个白球和5个红球(这些球除颜色外完全相同)。至少摸出( _ 个球,才能保证取到两个颜色相同的球。 C.5 A.3 B.4 D.6 7.把红、黄、绿三种颜色的鞋带各一双混在一起,如果闭上眼睛拿,最少拿出几根才能保证一 定有一双同色的鞋带?( ) C.4根 A.2根 B.3根 D. 5根 中等题 8.杭州亚运会成为亚运史上规模最大、项目最多、覆盖面最广的一届运动会。中国一共派出了 886名运动员参赛,这些运动员中至少有( )人是同一个月生日。 9.李老师在课堂上做数学实验,他把同样大小的红、黄、蓝、紫、白、青颜色的铅笔各15支 放在一个硬纸盒中。李老师说:“要取两支颜色相同的铅笔,至少要取( )支铅笔才能保证 达到要求。” 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 10.在一个不透明的袋子里,放了12个除颜色外完全相同的小球,其中白球4个,黄球3个, 红球5个,每次任意摸出1个球不放回,至少摸( )次才能保证摸出的球是白球。 11袋中有7个红花片,3个绿花片(花片除颜色外其他均相同)。任意摸一次,摸到( _ 花片的可能性最大,至少要摸出( )个花片,才能保证一定摸到绿花片 12.口袋里有6个白球和3个黑球,它们只有颜色不同。要保证摸出2个白球,至少一次摸出 ( 个球;要保证摸出2个同色球,至少一次摸出( )个球。 13.有红、黄、蓝、紫4种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里。要保证取出的帽子有2种颜色 至少应取出( )顶帽子;要保证取出的帽子中至少有2顶是同色的,至少应取出 ( )顶帽子。 14.口袋里有6个红球和4个黄球,它们的大小和形状都相同,现从中任意摸出一个球,则摸 出红球的可能性是( ). 要保证摸出2个红球,至少一次要摸出( )个球。 15.将5本数学绘本分给3名学生,下面说法错误的是( ) A. 存在1名学生至少有2本数学绘本 B. 可能有1名学生有3本数学绘本 C. 可能会有2名学生均有1本数学绘本 D. 总有1名学生至少有3本数学绘本 16.在一个不透明的袋子里有8颗蓝珠子,7颗红珠子,6颗绿珠子,至少取出总颗数的 才能保证有3颗颜色相同的珠子。 17.在1、2、3、...、20中至少要取出( 个不同的数,才能保证其中一定有一个数是合数 困难题 18.体育器材室有若干个足球、篮球和排球,体育老师让44名同学到体育器材室拿球,每人最 少拿1个,最多拿2个,那么至少有 )名同学拿球的情况完全相同。 19.有黑、白、黄色袜子各10只,不用眼晴看,任意取出袜子来,使得至少有两双袜子不同色 那么至少要取出( )只袜子。 20.有黑色、白色、黄色的筷子各8根,混杂在一起,黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同 的两双筷子,至少要取出( )根才能保证达到要求 A.9 C.11 B.10 D. 12 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 21.有2016名学生参加了某次数学竞赛,试题一共12道填空题,每做对一题得10分,不做或 做错均得0分。这次考试至少有( )名学生的分数是相同的。 22.在某班学生中,有10人都订阅了<小朋友》少年报》儿童时代》三种报刊中的一种或者 几种。那么,这10个人中至少有 个人所定的报刊种类完全相同。 23.箱子里有大小相同的38张卡片,这些卡片上印有不同外卖APP的标志,分别是“美团外 卖”12张,“饿了么”13张,“肯德基宅急送”6张,“百度外卖”7张。从箱子里取卡片 至少职( )张才能保证其中5张卡片是同一家外卖APP的标志。 24.一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张,这些扑克牌有四种花色,每种花色有13张 (1)一次至少要拿出( )张牌,才能保证至少有两张牌是同花色的 (2)一次至少要拿出( )张牌,才能保证有4张牌是同一种花色。 (3)-次至少要拿出( )张牌,才能保证四种花色都有。 (4-次至少要拿出( )张牌,才能保证至少有两张牌的数字是一样的。(直接写出答案 25.班上共有60位同学,生日记为某月某号,问每个同学两个问题;班上有几个人与你生日的 月份相同,班上有几个人与你生日的号数相同(比如生日为1月12日与12月12日的号数是 相同的)。结果发现,所得到的回答中包含了由0到14的所有整数,那么,该班至少有多少 个同学生日相同高学科网·随子学 www.zxxk.com 让学习更离效 【真题演练·专题45】鸽巢问题 答案解析 题号 1 2 3 5 答案 3,5 3,6 3 D 题号 6 > 8 9 10 答案 B 74 9 题号 11 12 13 14 15 答案 红8 5,3 6,5 6 D 题号 16 17 18 19 20 答案 1 10 5 13 题号 21 22 23 24 25 513 答案 156 2 17 2 4014 1.35 【分析】由题意可知，一年有12个月，则32÷12=2（人)…8（人），所以至少有2+1=3 人的生日是同一个月； 先取4个球，分别是蓝、绿、红、黄球各一个，再取一个球无论是什么颜色就可以保证取到 两个颜色相同的球。 【详解】32÷12=2（人）…8（人）2+1=3（人） 4+1=5(个) 则学校航模小组有32人，航模小组至少有3人的生日是同一个月；把蓝、绿、红、黄4种颜 色的球各6个放进1个袋子里，至少取5个球可以保证取到两个颜色相同的球。 【点睛】确定总数和抽屉数，利用抽屉原理解题；利用最不利原则解题。 2.36 【分析】(1)先将5人平均分给2间客房，每间客房里有2人，还剩下1人，这1人，无论 分给哪间客房，总有一间客房至少要入住(2+1)人。 1 高学科同·髓子学 www.zxxk.com 让学习更离效 (2)先将61人平均分给12个生肖里，每个生肖里有5人，还剩下1人，这1人，无论分给 哪个生肖，总有一个生肖里至少有(5+1)人。 【详解】(1)5+2=2（人)…1（人）2+1=3（人》 总有一间客房至少要入住3人。 (2)61÷12=5(人)…1（人）5+1=6（人） 至少有6人是同一属相。 【点睛】本题考查鸽巢问题，根据“物体数+抽屉的个数的商+1（有余数的情况下）解答。 3.3 【分析】52张牌中，有4种花色，每种花色13张，把这四种花色看作4个抽屉，把抽出的9 张牌，看作9个元素，考虑最差情况，抽出8张是4个花色，再抽1张，无论是什么色，就 一定有3张是同一花色。 【详解】9÷4=2（张）.1（张）2+1=3（张） 所以，在剩下的52张中任意抽出9张，至少有3张是同花色的。 【点睛】本题属于抽屉原理问题，这类问题的解答思路是：元素的总个数+抽屉的个数，商+ 1(有余数的情祝下)解答。 4.4 【分析】三种颜色每种4个，最倒霉的情况下，拿出3个小球刚好是不同颜色，那么拿出的 第4个球不管是什么颜色，肯定都会有一个颜色有两个小球。 【详解】3+1=4（个） 每次至少摸出4个球才能保证一定有两个相同颜色的球。 【点睛】此题考查最不利原则，找到最不利情况+1即可。 5.D 【分析】运用最不利原则，先考虑最糟糕的抽取情况，就是先把一种颜色的卡片全部抽完， 因为每种颜色卡片有5张，所以先把一种颜色（比如红色）的5张卡片全部抽出来，此时再 抽一张，无论抽到白色还是蓝色卡片，都能保证取到两张不同颜色的卡片，所以至少要抽取 (5+1)张卡片。 【详解】根据分析：5+1=6（张） 即至少取6张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。故答案为：D 【点睛】运用最不利原则解题。 2 高学科同·酸子学 www,z××k.C0m 让学习更离效 6.B 【分析】要考虑最不利的情况，也就是先摸出的球颜色都不同，然后再摸一个球，就一定能 保证取到两个颜色相同的球。 【详解】先摸出3个球，分别是黄球、白球和红球各1个，此时再摸1个球，无论是什么颜 色，都能保证有两个球颜色相同。 3+1=4(个) 因此至少摸出4个球，才能保证取到两个颜色相同的球。故答案为：B 【点睛】运用最不利原则解题。 7.C 【分析】根据抽屉原理，如果取出的头3根分别是3种不同的颜色，那么第4根取出后，能 得到一双同色的鞋带。据此解题。 【详解】3+1=4（根）》 所以，如果闭上眼睛拿，最少拿出4根才能保证一定有一双同色的鞋带。故答案为：C 【点睛】本题考查了最不利原则，关键是要从最坏情况去考虑。 8.74 【分析】一年有12个月，把12个月看作12个抽屉”，886名运动员相当于要放进这12个抽 屉"里的物品"，先用运动员总数886除以月数12，即886+12=73（人）…10（人)。 剩下的这10人，无论放到12个月中的哪一个月，都会使得那个月的人数至少(73+1)人， 即这些运动员中至少有(73+1)人是同一个月生日。 【详解】一年有12个月。 886+12=73(人)…10（人）73+1=74（人） 【点睛】本题属于抽屉原理问题，这类问题的解答思路是：元素的总个数抽屉的个数，商十 1(有余数的情况下)解答。 9.7 【思路】关键是根据最坏情况去对问题进行分析，硬纸盒中有同样大小的红、黄、蓝、紫、 白、青颜色的铅笔各15支，最坏情况为：取出6支铅笔后，每一种颜色都不一样，即红、黄、 蓝、紫、白、青颜色的铅笔各1支，那么只要再多取1支铅笔，就能保证取到两支颜色相同 的铅笔，所以此题至少数=颜色数+1。 【详解】6+1=7（支) 3 高学科网·子学 www,z××k.C0m 让学习更离效 所以，至少要取7支铅笔才能保证达到要求。 【点睛】本题考查了最不利原则，关键是要从最坏情况去考虑。 10.9 【分析】把黄球3个、红球5个全部摸出后，再摸1个球，才能保证摸出的球其中有一个是 白球，据此解答即可。 【详解】3+5+1=9（次） 答：至少摸9次才能保证摸出的球是白球。 【点睛】此题考查了利用鸽巢问题解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 11.红8 【分析】(1)根据两种球数量的多少，直接判断可能性的大小即可；哪种颜色的球的数量越 多，摸到的可能性就越大，据此解答即可： (2)根据随机事件发生的可能性，假设前7次摸到的全是红花片，则至少摸8个花片，才能 保证有一个绿花片。 【解答】解：因为7>3，红花片的数量多，所以摸到红花片的可能性大；假设前7次摸到的 全是红花片，则至少摸8个花片，才能保证有一个绿花片。故答案为：红；8。 【点评】此题考查了利用可能性和鸽巢问题解决实际问题的灵活应用。 12.53 【分析】把白、黑两种颜色看作2个抽屉，要保证摸出两个白球，考虑最差情况：3个黑球全 部摸出，再摸出2个即可保证摸出2个白球；要保证摸出两个同色的球，摸3个球时，必有 两球同色，因此至少需要摸3个球。据此作答。 【详解】3+2=5（个）》 要保证摸出2个白球，至少一次摸出5个球。 2+1=3(个) 要保证摸出2个同色球，至少一次摸出3个球。 【点睛】利用最不利原则解题，从最坏情况开始考虑。 13.65 【分析】已知有红、黄、蓝、紫4种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，考虑最不利原则， 把一种颜色的帽子5顶全部取完，再任意取一顶，一定有2种颜色的帽子； 考虑最不利原则，把4种颜色的帽子各取1顶，再任意取1顶，则至少有2顶帽子是同色的。 【详解】5+1=6（顶） 高学科网·随子学 www,z××k.C0m 让学习更离效 4+1=5(顶) 要保证取出的帽子有2种颜色，至少应取出(6)顶帽子；要保证取出的帽子中至少有2顶是 同色的，至少应取出(5)顶帽子。 【点睛】利用最不利原则解题，从最坏情况开始考虑。 14. 6 【分析】红球有6个，合计有(6+4)个球，求摸出红球的可能性，用红球的个数除以口袋 里面球的个数即可； 要保证摸出2个红球，考虑最不利原则，把4个黄球全部摸出后，再任意摸2个，必定能摸 出2个红球，即至少一次性摸出(4+2)个。 【详解】6÷(6+4) =6÷10 3 4+2=6(个) 口袋里有6个红球和4个黄球，它们的大小和形状都相同，现从中任意摸出一个球，则摸出 红球的可能性是}，要保证摸出2个红球，至少一次要摸出6个球。 【点睛】本题考查求可能性的大小和最不利原则。可能性大小=可能的情况数÷总数。 15. D 【分析】将5本数学绘本分给3名学生，1名学生分1本，分掉了3本，还剩2本， 剩下可以分给1名学生，也可以分给2名学生，总有1名学生至少有2本数学绘本，据此解 答即可。 【解答】解：将5本数学绘本分给3名学生，1名学生分1本，分掉了3本，还剩2本； 可以分给1名学生，也可以分给2名学生，所以可能有1名学生有3本数学绘本，B正确： 可能会有2名学生各有1本数学绘本，C正确；存在1名学生至少有2本数学绘本，A正确。 所以D选项总有1名学生至少有3本数学绘本是错误的。故选：D。 【点睛】本题主要考查了鸽巢问题，关键是仔细分析。 16. 5 高学科网·随子学 www.zxxk.com 让学习更离效 【分析】要想保证有3颗颜色相同的珠子考虑最不利的情况，每种颜色的珠子都取了2颗， 此时再任意取一颗珠子一定有3颗颜色相同的珠子； 那么至少要取出(2×3十1)颗珠子，最后求出至少取出珠子的数量占珠子总数量的分率，据 此解答。 【详解】(2×3+1)÷(8+7+6) =(6+1)+21 =7+21 = 所以，至少取出总颗数的，才能保证有3颗颜色相同的珠子。 【点睛】本题考查求可能性的大小和最不利原则。可能性大小=可能的情况数+总数。 17.10 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫作质数。 除了1和它本身外还有别的因数的数叫作合数。 最不利原则是指考虑所有可能情况中，最不利于某件事情发生的情况。 在这道题里，最不利的情况就是先把不是合数的数都取出来，然后再多取一个就能保证有合 数。在1到20中，质数有2、3、5、7、11、13、17、19共8个，1既不是质数也不是合数， 所以先取出这9个数，再取1个数就一定是合数。 【详解】把1、2、3、5、7、11、13、17、19全部取出，即9个； 9+1=10(个) 即在1、2、3、.、20中至少要取出10个不同的数，才能保证其中一定有一个数是合数。 18.5 【分析】根据题意，列出所有可能的拿球情况。 拿1个球时，有足球、篮球、排球3种可能； 拿2个球时，有足球和足球、篮球和篮球、排球和排球、足球和篮球、足球和排球、篮球和 排球6种可能，一共9种拿球情况。 然后，把这9种情况看作9个“抽屉”，将44名同学看作物品”。接下来，用同学的数量除以 抽屉的数量，即44+9。最后，根据所得的商和余数，判断至少有多少名同学拿球情况相同。 【详解】因为拿球的组合情况共有9种，44名同学平均分配到这9种情况中， 44→9=4…8,4+1=5（名） 6 高学科网·随子学 www,z××k.C0m 让学习更离效 所以至少有5名同学拿球的情况完全相同。 【点睛】需要构造抽屉数，再用“总个数+抽屉的个数，商+1（有余数的情况下）解答。 19.13 【分析】因为袜子的颜色有3种，最坏的取法是先取的10只都是同一种颜色的，又取了2只 颜色还是不同的，所以只要再取1只，就能跟第二次取的配成一双袜子了；所以至少要取10 +2+1=13只，据此解答。 【详解】10+2+1=13（只) 故至少要取13只。 【点睛】本题考查的是处理抽屉原理问题最基本和常用的方法，运用最不利原则解题。 20.C 【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把8根不同颜色的筷子看作8个元素，从最不利情 况考虑，其中一种颜色取尽，然后再取其它颜色 比如一个抽屉需要先放8根黑筷子，这时没有异色筷子，再在另外两个抽屉里不论放2根白 色或2根黄色还是1根白色和一根黄色，不可能组成颜色不同的两双筷子， 所以还需要再取1根，因此至少要取出：8+2+1=11（根）；据此解答。 【解答】解：8+2+1 =10+1 =11(根) 答：至少要取出11根才能保证达到要求。 故选：C。 【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的 总个数，本题的难点是理解要求“至少数必须先取尽同色的一种8根。 21.156 【分析】抽屉原理的问题，试题得分有几种情况，就是有几个抽屉。将2016名学生尽量平均 分在这些抽屉里面，每个抽屉分了155名学生，还乘剩1名学生，随意放在哪个抽屉里面都是 156名。 【详解】试题得分有120、110、100、…、10、0这13种情况。 2016+13=155(名)…1（名） 155+1=156(名) 这次考试至少有156名学生的分数是相同的。 7 高学科网·随子学 www.zxxk.com 让学习更离效 【点睛】先构造抽屉数，再用“总个数+抽屉的个数，商十1（有余数的情况下）“解答 22.2 【分析】先求出每人订阅一种、两种、三种报刊一共有几种订阅方法，把学生的总人数看作 被分放物体的数量，订阅方法看作抽屉的数量，被分放物体的数量+抽屉的数量=平均每个抽 屉分放物体的数量…剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量=平均每个抽屉分 放物体的数量+1，据此解答。 【详解】每人订阅一种：《小朋友》或《少年报》或《儿童时代 每人订阅两种：《小朋友》和《少年报入《小朋友》和《儿童时代入《少年报》和《儿童时代》 每人订阅三种：《小朋友入《少年报》和《儿童时代% 3+3+1=7(种) 10÷7=1…3 1+1=2(人) 所以，这10个人中至少有2个人所定的报刊种类完全相同。 【点睛】本题主要考查抽屉问题，准确求出抽屉数是解答题目的关键。 23.17 【分析】从最不利情况考虑：一共有4种卡片，每种卡片各取4张，需要取(4×4)张卡片， 此时再任意取一张卡片一定有5张卡片是同一种卡片，据此解答。 【详解】4×4+1 =16+1 =17(张) 所以，至少取17张才能保证其中5张卡片是同一家外卖APP的标志。 【点睛】本题主要考查运用抽屉原理解决实际问题，从最不利情况分析问题是解答题目的关 键。 24.5134014 【分析】(1)一副牌有4种花色，根据最不利原理，先拿出4张是不同的花色，再拿出1张， 无论是什么花色都能保证这种花色有2张是同花色的： (2)从中任意抽牌，最不利情祝是把每种花色抽出3张，即4×3=12张，此时再抽出1张， 一定保证有4张牌是同一种花色的； (3)每种花色都有13张，根据最不利原则，先拿出13×3=39张，把3种花色都拿出来了， 再拿一张一定是第4种花色，由此求解： (4)一副牌有13种不同的数字，根据最不利原则，先拿出13张是不同的数字，再拿出1张， 8 高学科网·恒子学 www.z××k.C0m 让学习更离效 无论是数字几都能保证这种数字有2张。 【详解】(1)4+1=5（张） 则一次至少要拿出5张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 (2)4×3+1 =12+1 =13(张) 则一次至少要拿出13张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 (3)13×3+1 =39+1 =40(张) 则一次至少要拿出40张牌，才能保证四种花色都有。 (4)13+1=14(张) 则一次至少要拿出14张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。 25.2 【分析】回答中包含了由0到14的所有整数，因此有1-15人在同月份或同日期 日期+月份的总数一共有1+2+3++15=120（种） 因此恰好有1-~15人，每种情况出现一次且有60个月份+60个日期。 若无人同生日，设从1月到12月人数依次减少，1日到31日人数依次减少，那么1日最多有 12个人，否则1日必定有人同生日。而此时12个人生日在1日，那么说明每个月的1日都有 人，月份至少为1+2+…+12>60， 而1+2+3++10<60 因此1~12月里面最多只能有10个月有人在1日过生日，日期中最多10人相同，1~15又都要 出现，因此，11,12,13,14,15均为同月出现的回答，但此时11+12+13+14+15>60，月 份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。据此解答。 【详解】答案的数量：60x2=120(个) 日期+月份的总数一共有：1+2+3++15=120（种） 因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份+60个日期。 9 高学科网·随子学 www,z××k.C0m 让学习更离效 若无人同生日，月份至少为1+2+…+12>60，而1+2+3+…+10<60 11,12,13,14,15均为同月出现的回答，但此时11+12+13+14+15>60，月份依然超过了 最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。 答：该班至少有2个同学生日相同。 10