暑假专项提升--因数和倍数 （专项训练）-2025-2026学年数学人教版五年级下学期

**基本信息** 以“概念辨析-特征应用-规律推导-实际问题”为逻辑链，通过生活情境与数学原理结合，培养抽象能力与推理意识的因数和倍数专项训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-3题|质数合数定义判断、奇偶性运算规律|从数的基本属性（质数/合数/奇偶）到运算性质推导| |特征应用|填空6-15题|2/3/5倍数特征综合运用、因数分解法|以“个位特征+数字和特征”为核心，构建数的整除判定体系| |规律推导|解答17/22题|类比3的倍数特征推导9/6的倍数特征|通过数的分解（如123=1×99+1+2×9+2+3）建立特征推理模型| |实际问题|解答18-21题|合数应用（行数与棵数）、奇偶性周期问题|将数论知识转化为生活场景解决方案，发展应用意识|

暑假专项提升--因数和倍数 2025-2026学年小学数学人教版五年级下学期 一、选择题 1．下面的成语中所含的数都是合数的是（    ）。 A．十拿九稳 B．九牛一毛 C．七上八下 D．三心二意 2．运动会，五（1）班学生参加入场式和团体操表演。入场时的队形如下图，团体操表演时变换了队形。下面四个团体操表演的队形中，（    ）可能是五（1）班。 A． B． C． D． 3．下列描述正确的是（    ）。 A．一个数的倍数一定比它的因数大。 B．如果一个数是3的倍数，那么这个数一定是6的倍数。 C．奇数×偶数＝偶数。 D．连续两个自然数的乘积一定是合数。 4．聪聪在计数器上拨了一个数，如果在这个数的基础上继续拨数，用完选项（    ）中的全部珠子可以拨出3的倍数。 A． B． C． D． 5．若a□b是一个三位数，已知a＋b＝14，且a□b是3的倍数，则□中最小的数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．第十五届全国运动会由国家体育总局主办，广东、香港、澳门三地联合承办，于2025年11月9日在广州开幕。该届运动会设竞技项目有34个大项（含游泳、海岸赛艇等7项增项）群众项目有23个大项。（考奇偶数、质数和因数的认识） (1)上面画横线的数中：奇数有( )，偶数有( )，质数有( )。 (2)34的因数有( )。 7．从下面的四张卡片中按要求取出三张，组成三位数。 最小的奇数：( )。 最大的偶数：( )。 2的倍数的最小的数：( )。    5的倍数的最大的数：( )。 3的倍数的最小的数：( )。 既是2的倍数，又是3的倍数的最大的数：( )。 8．一个五位数，最高位上的数是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数是0，这个数写作( )。 9．立春为二十四节气之首，2026年春节联欢晚会上一首《立春》火爆全网，歌中唱到“溪水“唱哗啦啦，人间向暖草木发。”2026年立春在A月B日，A月为一年中天数最少的那个月，B恰好是最小的合数。那么立春这一天在( )月( )日。 10．周一李老师让我们帮忙记她的手机密码。她告诉我们，密码是一个四位数：千位是最小的质数，百位是最小的奇数，十位是最小的偶数，个位是最小的合数。我算了一下，密码就是( )。 11．刘华今年的年龄是个两位数，个位上既是奇数又是合数，十位上既不是质数也不是合数。他今年( )岁，至少再过( )年，他的年龄是2、3和5的倍数。 12．“古稀”“耄耋”是表达年龄称谓的词，七十岁为“古稀”，八九十岁为“耄耋”。李爷爷已过古稀未及耄耋，年龄既是2的倍数又有因数3，李爷爷最小( )岁。 13．有一个三位数45A。如果这个三位数既是2的倍数，又是3的倍数，那么A是( )；如果这个三位数同时是2、3、5的倍数，那么A是( )。 14．如图，一个杯子杯口朝上放在桌子上，翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。按这样的规律翻动下去，翻动97次杯口朝( )。 15．一个三位数52，当中填( )时，既是2的倍数，又是5的倍数；一个四位数490既是2和5的倍数，又是3的倍数，中最大填( )。 三、连线题 16．连一连。 四、解答题 17．请阅读以下材料，再解决问题。 123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？ 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面画“√”），并写出9的倍数的特征。 90（    ）        693（    ）        239（    ）        990（    ） 9的倍数特征：（                                  ）。 (2)请仿照阅读材料，说明判断693是不是9的倍数的方法的道理。 18．实验小学的长方形花圃里有几行玫瑰，每行的棵数都相等。小明数的是83棵，小刚数的是91棵，小红数的是89棵，其中只有一个小朋友数对了，这个小朋友是谁呢？请你说明理由。 19．周末大扫除，班主任按座位顺序号从1号到30号给全班30人分配任务。 ①若座位顺序号是2的倍数的同学去打扫操场，扫操场的有几人？ ②余下学生中座位顺序号是3的倍数的同学打扫教室，扫教室的有几人？ ③若再让余下座位号是5的倍数的同学整理图书角，整理图书角的有几人？ ④最后剩下的人打扫阅览室，打扫阅览室的有几人？ 20．实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。 陈明 王一 许强 张雪 41棵 43棵 45棵 47棵 21．长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 22．按照得出2、3、5倍数特征的学习经验，探索6的倍数特征。 类别 2的倍数 5的倍数 3的倍数 特征 个位上是0，2，4，6，8的数 个位上是0或5的数 一个数各位上的数的和是3的倍数 举例 4、10、22、34、68 10、35、80、95、115 9、18、54、87、141 （1）我的猜想：6的倍数特征是（    ）。 （2）我的验证：用自己喜欢的方式验证你的猜想。 （3）我的结论（    ）。 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A D C C A 1．A 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。“0”“1”既不是质数也不是合数。 A．十拿九稳中，10和9都是合数，符合题意。 B．九牛一毛中，1既不是质数也不是合数，不符合题意。 C．七上八下中，7是质数不是合数，不符合题意。 D．三心二意中，3和2都是质数，不符合题意。 上面的成语中所含的数都是合数的是十拿九稳。 2．D 根据题干中的图片，先不看最前面1人，后面是两行，两行的人数是相等的，就是2的倍数，是偶数，再加上前面的1人，可知五（1）班的人数是奇数。 A． 总人数：6×5＝30（人），30是偶数。 B．总人数：6×5＋2＝30＋2＝32（人），32是偶数。 C．总人数：5×5＋3＝25＋3＝28（人），28是偶数。 D．总人数：7×4＋3＝28＋3＝31（人），31是奇数。 3．C 在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数；整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。最小的偶数是0，没有最大的偶数，最小的奇数是1，也没有最大的奇数。偶数×奇数＝偶数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此通过举例分析各选项即可解答。 A．如数字5，5的最大因数是5，最小倍数也是5，倍数可以和因数相等，描述错误； B．例如：9是3的倍数，但不是6的倍数，描述错误； C．例如3×4＝12，奇数×偶数＝偶数，描述正确。 D．例如1×2＝2，2是质数不是合数，描述错误。 4．C 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。以拨珠子和新增珠子数字和是的3的倍数，就可以拨出3的倍数，据此分析。 A．1＋2＋3＋2＋1＋1＝10，不能被3整除，不是3的倍数，不符合题意。 B．1＋2＋3＋2＋3＝11，11不能被3整除，不是3的倍数，不符合题意。 C．1＋2＋3＋2＋4＝12，12能被3整除，是3的倍数，符合题意。 D．1＋2＋3＋2＋5＝13，13不能被3整除，不是3的倍数，不符合题意。 聪聪在计数器上拨了一个数，如果在这个数的基础上继续拨数，用完的全部珠子可以拨出3的倍数。 5．A 根据3的倍数的特征，一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。已知，要使三位数是3的倍数，需满足14与的和是的倍数，据此求出的最小值并与选项对照。 已知a＋b＝14，且a□b是3的倍数，则14＋□必须是3的倍数，如果□＝1，则14＋□＝15，15是3的倍数，符合题意，则□中最小的数是1。 6．(1) 2025、11、9、7、23 34 11、7、23 (2)1、2、17、34 （1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 （2）列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 （1）奇数有：2025、11、9、7、23； 偶数有：34； 质数有：11、7、23。 （2）1×34＝2×17＝34 34的因数有：1、2、17、34。 7． 205 752 250 750 207 750 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数； 个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数； 个位上的数字是0或5的数是5的倍数； 一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 组成的所有三位数有：570、507、572、527、502、520、750、705、702、720、752、725、257、275、250、205、270、207。 奇数有：507、527、705、725、257、275、205、207，最小的奇数：205。 偶数有：570、572、502、520、750、702、720、752、250、270，最大的偶数：752。 2的倍数有：570、572、502、520、750、702、720、752、250、270，2的倍数的最小的数：250。    5的倍数有：570、520、750、705、720、725、275、250、205、270，5的倍数的最大的数：750。 3的倍数有：570、507、750、705、702、720、270、207，3的倍数的最小的数：207。 既是2的倍数，又是3的倍数有：570、750、702、720、270，既是2的倍数，又是3的倍数的最大的数：750。 8．20104 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；奇数是指不能被2整除的整数。据此可得出答案。 万位是最小的质数，即为2；百位是最小的奇数，即为1；个位是最小的合数，即为4；其余数位上是0即千位和十位上是0。因此这个数是20104。 9． 2 4 一年中一月、三月、五月、七月、八月、十月、十二月每月有31天，四月、六月、九月、十一月每月有30天，平年二月有28天，闰年二月有29天。一个大于1的自然数，除以1和它本身外，还有别的因数，这样的数叫做合数。最小的合数是4。 一年中天数最少的月份是2月，即A等于2。 最小的合数是4，即B等于4。 2026年立春这一天在2月4日。 10．2104 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；据此解答。 根据分析： 最小的质数是2，所以千位是2； 最小的奇数是1，所以百位是1； 最小的偶数是0，所以十位是0； 最小的合数是4，所以个位是4。 因此，密码就是2104。 11． 19 11 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 1既不是质数，也不是合数，所以十位上是1；一位数中，既是奇数又是合数的数是9。所以刘华今年19岁。 2、3和5的倍数最小两位数是30。 30－19＝11（年） 12．72 李爷爷已过“古稀”，未及“耄耋”，说明李爷爷的年龄在71岁～79岁之间。年龄是2的倍数，说明年龄是偶数，71～79 之间的偶数有 72、74、76、78；有因数3：说明年龄能被3整除，判断一个数能否被3整除的方法是各位数字之和能被3整除。 李爷爷的年龄在71岁～79岁之间。 71～79 之间的偶数有 72、74、76、78； 7＋2＝9，能被3整除； 所以李爷爷最小72岁。 13． 0或6 0 2的倍数个位是0、2、4、6、8，3的倍数各位数字之和是3的倍数，5的倍数个位是0或5。先根据2的倍数特征确定A的可能取值，再结合3的倍数特征，计算三位数45A各位数字的和，判断A需要满足的条件；要同时是2、3、5的倍数，先根据2和5的倍数特征确定个位必须是0，再验证是否满足3的倍数特征即可。 2的倍数：个位是0、2、4、6、8，A可能为0、2、4、6、8； 3的倍数：4＋5＋A＝9＋A是3的倍数，A只能是0或6。 同时是2和5的倍数：个位只能是0，A＝0； 验证3的倍数：4＋5＋0＝9，是3的倍数，符合条件。 14．下 翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上，翻动3次杯口朝下，翻动4次杯口朝上，翻动5次杯口朝下，翻动6次杯口朝上，……，也就是说翻动次数是奇数时杯口朝下，翻动次数是偶数时杯口朝上。 97是奇数，此时杯口朝下。 15． 0 8 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 一个三位数52，因为2和5的倍数的个位上的数字一定是0，所以当中填0时，既是2的倍数，又是5的倍数；一个四位数490既是2和5的倍数，又是3的倍数，4＋9＋0＝13，百位最小填15－13＝2，还可以填2＋3＝5、5＋3＝8，中最大填8。 16．见详解 偶数：像0，2，4，6，8…都是2的倍数的数叫做偶数；奇数：像1，3，5，7…不是2的倍数的数叫做奇数。 质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数；据此即可解答。 据分析连线如下： 17．(1)90（√）；693（√）；239（  ）；990（√） 各位上的数的和能被9整除 (2) 6×99和9×9一定是9的倍数，剩下部分为“6＋9＋3”，也就是“各位上的数的和”，6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693是9的倍数。 （1）先计算出各数的各位数字之和，如果和是9的倍数，则这个数就是9的倍数。 （2）将693拆分成百位、十位、个位对应的数值和，即693＝6×100＋9×10＋3，再把100改写为99＋1，10改写为9＋1，算式变为6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3，利用乘法分配律展开算式，分析每项是否是9的倍数，即可判断693是不是9的倍数。 （1）90：9＋0＝9，9是9的倍数，所以90是9的倍数； 693：6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693是9的倍数； 239：2＋3＋9＝14，不是9的倍数，所以239不是9的倍数； 990：9＋9＋0＝18，18是9的倍数，所以990是9的倍数； 9的倍数特征：各位上的数的和能被9整除。 （2）693＝6×100＋9×10＋3 ＝6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3 ＝6×99＋6＋9×9＋9＋3 6×99和9×9一定是9的倍数，剩下部分为“6＋9＋3”，也就是“各位上的数的和”，6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693是9的倍数。 18．小刚；理由见详解 玫瑰的数量，可以分成几行，且每行的棵数都相等，说明玫瑰的棵数是一个合数，它有两个以上的因数，据此解答。 83只有1和83，所以83是质数； 91的因数有1、7、13、91，所以91是合数； 89的因数只有1和89，所以89是质数； 答：玫瑰的棵数是一个合数，所以小刚数对了。 19．①15人； ②5人； ③2人； ④8人 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。个位上是0或5的数都是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。①根据2的倍数的特征解答；②根据3的倍数的特征解答；③根据5的倍数的特征解答；④用30人减去扫操场、扫教室、整理图书角的人数和，求出打扫阅览室的人数。 ①根据2的倍数的特征可知：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30是2的倍数，共15个。 答：扫操场的有15人。 ②根据3的倍数的特征可知：余下的座位顺序号中3，9，15，21，27是3的倍数，共5个。 答：扫教室的有5人。 ③根据5的倍数的特征可知：再余下的座位顺序号中5和25是5的倍数，共2个。 答：整理图书角的有2人。 ④30－（15＋5＋2） ＝30－22 ＝8（人） 答：打扫阅览室的有8人。 20．这位同学是许强。 根据找一个数的因数的方法：找配对如：41＝1×41，所以41的因数有：1、41；43＝1×43，所以43的因数有：1、43；45＝1×45、45＝5×9，所以45的因数有：1、5、9、45；47＝1×47，所以47的因数有：1、47；结合题意可知只有许强数对了。 经过查找，只有45÷5＝9，表示共5行，每行植9棵；或共9行，每行植5棵，故这位同学是许强。 答：这位同学是许强。 21．（1）南岸；见详解 （2）北岸；见详解 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，记船由南岸驶向北岸为1次，也就是说摆渡第1次结束时，船在北岸；摆渡第2次结束时，船在南岸；摆渡第3次结束时，船在北岸；摆渡第4次结束时，船在南岸……由此可知，摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸，据此解答。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；10是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第103次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；103是奇数，所以船在北岸。 22．见详解 （1）6＝2×3，6的倍数特征应该与2和3的倍数的特征有关，2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。将2和3的倍数的特征整合后是6的倍数的特征； （2）举例进行验证即可； （3）根据验证情况，猜想如果成立，猜想即可以作为结论。 （1）猜想：6的倍数特征是个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 （2）验证：6、12、18、24、30、36…都是6的倍数。 1＋2＝3、1＋8＝9、2＋4＝6、3＋6＝9 个位数分别是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字的和是3的倍数，猜想成立。 （3）结论：6的倍数特征是个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。。 学科网（北京）股份有限公司 $