高一数学下学期期中测试卷（测试范围：北师大版2019必修第二册）高一数学下学期北师大版

高一数学下学期期中测试卷 （范围：北师大版2019必修第二册第一章+第二章 综合卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为的三等分点且靠近点，为的中点，设，，则向量（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 5．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 6．在中，，，点在的内部，的延长线与交于点，若，则的面积是（   ） A．1 B． C．2 D． 7．在中，，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，，点为射线上两动点，且，若射线上至多有一个点，使得，则长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知角的终边为射线，则下列错误的是（   ） A． B． C． D． 10．已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为钝角，则且 11．在平面中，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.若在坐标系中，，向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的充要条件为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则与的夹角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则方向上的单位向量的坐标为 ． 13．若为第二象限角，且， 14．如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 16．（15分） 已知向量. (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角 17．（15分） 已知函数的一段图象如下图所示：    (1)求函数的解析式． (2)将函数的图象上所有点保持纵坐标不变，把图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再把图象上所有点向右平移个单位，得到的图象．则当时，求函数的值域． 18．（17分） 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线， (1)求边的长度； (2)求的面积； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围. 19.（17分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求C； (2)若D为AB的中点，且，，求的面积； (3)若O为的内心，，求周长的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学下学期期中测试卷 （范围：北师大版2019必修第二册第一章+第二章 综合卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式化简即可求出. 【详解】 , 故选： 2．如图，在中，为的三等分点且靠近点，为的中点，设，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】因为为的三等分点且靠近点， 则 为的中点，． 故选：D． 3．已知，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】利用已知可求得，利用投影向量的定义可求向量在向量方向上的投影向量. 【详解】因为，所以，即， 又，，所以，则， 设向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为： ． 故选：B． 4．已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、基本不等式求和的最小值 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 5．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可. 【详解】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得， 由转一周大约需要，得，解得，又当时，， 即，而，解得， 因此，或，A正确，BCD错误. 故选：A 6．在中，，，点在的内部，的延长线与交于点，若，则的面积是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积 【分析】由，，可得，然后由，可得，据此可得答案. 【详解】，因， 则，，得. 又，则，过A，M做BC垂线，垂足为G，F， 则，，又底边相同， 则. 故选：C 7．在中，，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示 【分析】由结合向量的运算分析可知，再结合数量积可得，即可得结果. 【详解】设，， 则、均为单位向量，且与同向，与同向， 可知与的角平分线的方向向量共线， 因为，可知的角平分线与垂直， 即的角平分线与高线重合，所以为等腰三角形，且， 又因为， 且，可得， 则边上的高为，. 所以的周长为. 故选：B. 8．如图，，点为射线上两动点，且，若射线上至多有一个点，使得，则长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，，，利用两点距离公式可得，再利用和向量垂直的坐标表示可得，根据题意该一元二次方程至多有一个解，令即可. 【详解】以为原点，为轴建立如图所示平面直角坐标系， 因为，所以设，，，， 由可得，解得， 因为，，， 所以，整理得， 由题意可得关于的一元二次方程至多有一个解， 所以，将代入整理得， 解得，所以， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知角的终边为射线，则下列错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据角的终边的知识来确定正确答案. 【详解】由于角的终边为射线，所以 则A选项错误. B选项，，B选项错误. C选项，， C选项正确. D选项，，D选项错误. 故选：ABD 10．已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为钝角，则且 【答案】ACD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】根据给定条件，求出的坐标，再逐项计算判断各个选项即得. 【详解】由点，，，得， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，由，的夹角为钝角，得且与不共线， 即且，D正确. 故选：ACD 11．在平面中，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.若在坐标系中，，向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的充要条件为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则与的夹角为 【答案】ACD 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】根据新定义，利用数量积的运算法则计算可判断A，根据垂直的充要条件数量积为0运算可判断B，根据数量积为正数且不共线可判断C，根据夹角公式化简运算可判断D. 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，当时，，即， 所以， 所以的充分条件为，故B错误； 对于C，，故， 若与共线，则，所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D，， ， 所以， 因为，所以故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则方向上的单位向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】零向量与单位向量、坐标计算向量的模 【分析】根据单位向量的定义直接可得解. 【详解】由已知， 则， 则方向上的单位向量为， 故答案为：. 13．若为第二象限角，且， 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为为第二象限角，且，则， 因此，. 故答案为：. 14．如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先由题意得，进而由共线定理得，接着结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意知， 又因，，所以，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的单位圆的定义即可求值； （2）由（1）及余弦函数的定义可得，借助诱导公式化简代入即可. 【详解】（1）因为，所以点在单位圆上. 由正弦函数的定义得. （2）由（1）及余弦函数的定义可得， 原式， 故所求式子的值为. 16．（15分） 已知向量. (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】（1）由向量的坐标运算法则求得和的坐标，再由，求得的值； （2）由向量的坐标运算法则先求得的坐标，由当，求得的值，再由向量的夹角公式求得夹角的大小. 【详解】（1）因为向量，所以， ， 又因为，所以， 所以，解得或， 又因为，所以. （2）由，，可得， 又，又，所以，解得， 所以，可得，， ， 所以， 又，所以. 17．（15分） 已知函数的一段图象如下图所示：    (1)求函数的解析式． (2)将函数的图象上所有点保持纵坐标不变，把图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再把图象上所有点向右平移个单位，得到的图象．则当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据图象信息结合的范围，分别求出，即可得到函数的解析式； （2）先根据伸缩平移变换得到函数的表达式，再求函数在区间上的最值，即可得到函数的值域. 【详解】（1），如图知： ， . 又代入得： ，解得， ， （2） 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍 再把图象上所有点向右平移个单位即： 18．（17分） 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线， (1)求边的长度； (2)求的面积； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】(1)8 (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、向量在几何中的其他应用、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）由题意，利用正弦定理和余弦定理，转化求解，即可求出的值． （2）设，利用中线的向量表示，计算以及，利用求出，再计算的面积． （3）设，，，其中，，,，根据，得出，由、、三点共线得，计算的取值范围即可． 【详解】（1）由已知条件可知：， 在中，由正弦定理， 得， 在中，由余弦定理，得， ，又. （2）设为边上中线,， 则 ①， ， 或 由①，得， . （3）设， ， 根据三点共线，得， （，为） . 19.（17分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求C； (2)若D为AB的中点，且，，求的面积； (3)若O为的内心，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、数量积的运算律 【分析】（1）利用余弦定理边角转化得出角C； （2）由向量的运算得出，结合（1）得出，即可得出面积； （3）根据内心的性质可得的内角关系，结合正弦定理边角转化，再结合三角知识求取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 即，即， 且，所以. （2）因为D为AB的中点，则， 可得，即， 由（1）可得：，即， 可得，可得， 所以的面积. （3）由题意可知：分别为的角平分线，且， 设，则， 在中，由正弦定理可得， 即， 则， 可得周长为 ， 因为，则，可得， 则， 所以周长的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：对于（3）：，根据内心的性质可得，利用正弦定理边化角，结合三角知识求取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$